高中数学 考点37 立体几何中的向量方法（含2013年高考试题）新人教A版

1、考点37 立体几何中的向量方法1.（2013北京高考理科17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（1）求证：AA1平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.【解题指南】（1）利用面面垂直证明线面垂直.（2）建系，求出二面角对应两个面的法向量，利用法向量的夹角求二面角的余弦值.（3）设出D点坐标，利用向量解题.【解析】（1）是正方形，。又，。（2），。分别以为建立如图所示的空间直线坐标系。则，设平面的法向量为，平面的法向量，。可得可取。由图可

2、知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为。（3）点D的竖轴坐标为t(0t0)(1)求证:CD平面ADD1A1.(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为,求k的值.(3)现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的解析式.(直接写出答案,不必说明理由)【解题指南】运用几何法,通过证明CD垂直平面ADD1A1的两条相交直线获证,建立空间直角坐标系,按线面角公式列式求k,第三小题,要注意

3、不同的叠法,不同的长度度量就发生了改变,从而影响表面积.【解析】(1)取CD中点E,连接BE,因为ABDE,AB=DE=3k,所以四边形ABED为平行四边形,所以BEAD且BE=AD=4k.在BCE中,因为BE=4k,CE=3k,BC=5k,所以BE2+CE2=BC2,所以BEC=90,即BECD,又因为BEAD,所以CDAD.因为AA1平面ABCD,CD平面ABCD,所以AA1CD,又AA1AD=A,所以CD平面ADD1A1.(2)以D为原点, 的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1),所

4、以，,设平面AB1C的法向量n=(x,y,z),则由得取y=2,得n=(3,2,-6k).设AA1与平面AB1C所成角为,则,解得k=1.故所求k的值为1.(3)共有4种不同的方案 14.（2013广东高考理科18）如图，在等腰直角三角形ABC中，A =90，BC=6，D,E分别是AC，AB上的点，CD=BE=，O为BC的中点.将ADE沿DE折起，得到如图所示的四棱椎，其中.（1） 证明：平面；（2） 求二面角的平面角的余弦值【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面垂直的证明及空间二面角的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变，求空间角则要注意空间向量的应用.【解析】（1）因为

5、在中，A =90，BC=6，CD=BE=，O为BC的中点，故AD=AE=2（即）；连接，在中，根据余弦定理可得，则，,从而平面；（2）方法一：过O作DC的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角.在中，由此得，即二面角的平面角的余弦值为.方法二：设F为DE的中点，则两两垂直，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意可写出平面中的三个点的坐标，由此.设是平面的一个法向量，则即取，由此得，是平面的一个法向量，即二面角的平面角的余弦值为.15. （2013山东高考理科18）如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2

6、BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.（）求证：AB/GH；（）求二面角D-GH-E的余弦值. 【解析】(1)因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EFAB,DCAB.所以EF/DC.又EF平面PCD,DC平面PCD,所以EF平面PCD.又EF平面EFQ,平面EFQ平面PCD=GH,所以EFGH,又EFAB,所以ABGH.(2)方法一:在ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90,即ABBQ.因为PB平面ABQ,所以ABPB,又BPBQ=B,所以AB平面PBQ,由(1)知ABGH,所以GH平面PBQ.又FH平面PBQ,所以GHFH.同理可得GHH

7、C,所以FHC为二面角D-GH-E的平面角.设BA=BQ=BP=2,连接FC,在RtFBC中,由勾股定理得FC=在RtPBC中,由勾股定理得PC=又H为PBQ的重心,所以HC=PC=.同理FH=在FHC中,由余弦定理得cosFHC= 即二面角D-GH-E的余弦值为.方法二:由AQ=2BD,D为AQ的中点可得,ABQ为直角三角形,以B为坐标原点,分别以BA,BC,BP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),设A(2,0,0),P(0,0,2),Q(0,2,0),则E(1,0,1),F(0,0,1),D(1,1,0),C(0,1,0),所以=(0,1,-2),=(-1,0,0

8、),=(1,0,0),=(1,-2,1).设平面GCD的一个法向量为=(x1,y1,z1),则 得设平面EFG的一个法向量为=(x2,y2,z2),则取=(0,1,2),可得 因为二面角D-GH-E为钝角,所以二面角D-GH-E的余弦值为16. （2013陕西高考理科18）如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. 【解题指南】线面垂直问题只需证直线A1C垂直平面BB1D1D内的两条相交直线即可;平面与平面的夹角需建系后,求得两个平面的法向

9、量,代入公式即可求得.【解析】(1)因为A1O平面ABCD,且BD平面ABCD,所以A1OBD,又因为在正方形ABCD中,ACBD,且A1OAC=O,所以BD平面A1AC且A1C平面A1AC,故A1CBD.在正方形ABCD中,AO=1.在RtA1OA中,A1O=1.设B1D1的中点为E1,则四边形A1OCE1为正方形,所以A1CE1O.又BD平面BB1D1D,E1O平面BB1D1D,且BDE1O=O,所以可得A1C平面BB1D1D.(2)建立直角坐标系,使用向量解题。以O为原点，以为X轴正方向，以为Y轴正方向，以为z轴正方向,建立直角坐标系如图,则.由(1)知, 平面BB1D1D的一个法向量设平面OCB1的法向量为。所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为17. （2013新课标全国高考理科18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB.（1）证明：BC1/平面A1CD,（2）求二面角D-A1C-E的正弦值BCAA1B1C1DE【解题指南】（1）连接AC1,构造中位线,利用线线平行证线面平行.(2)建立空间直角坐标系,求平面A1CD与平面A1CE的法向量,借助求得的二面角的余弦值,从而得正弦值.【解析】（1）连接，交于点F，连结，则F为的中点，因为D为AB的中点，所以DF/，