高中数学 考点31 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（含2016年高考试题）新人教A版

1、考点31 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系1、 选择题1.(2016全国卷文科T6)同(2016全国卷理科T4)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A. B. C. D.2【解题指南】化圆的一般方程为标准方程,求出圆的圆心坐标,利用圆心到直线的距离等于1,建立a的方程.【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d=1,解得a=.2.(2016山东高考文科T7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1

2、)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离【解题指南】根据弦长求出圆M的圆心与半径,再根据圆心距与半径的和差关系判断两圆位置关系.3.(2016北京高考文科T5)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1 B.2 C.D.2【解题指南】找到圆心坐标,把直线化成一般方程,再代入点到直线的距离公式求解.【解析】选C.圆心(-1,0),直线x-y+3=0.所以圆心到直线的距离为=.2、 填空题4.(2016全国卷高考文科T15)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.【解析】由圆C:x2+y2-2ay-

3、2=0可得x2+(y-a)2=a2+2,所以圆心C(0,a),由题意可知,解得a2=2,所以圆C的面积为(a2+2)=4.答案:45.16.(2016全国卷理科T16)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=.【解题指南】通过点到直线的距离求出弦AB的一半,之后在CDF中求CD的长.【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=,所以在RtOBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d=3,得m=-,又在CDF中,FCD=30,所以CD=4.答案:46.(201

4、6全国卷文科T15)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=.【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=3,所以在RtOBE中,BE2=OB2-d2=3,所以AB=2=CF,又在CDF中FCD=30,所以CD=4.答案:47.(2016浙江高考文科T10)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.【解题指南】若方程表示圆,则x2的系数与y2的系数相等.【解析】由题意知a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时方程为x2+y2+

5、4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,圆心为(-2,-4),半径为5,当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即+(y+1)2=-不表示圆.答案:(-2,-4)5【解析】选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a0)可化为:x2+=a2,由题意,d=,所以有,a2=+2,解得a=2.所以圆M:x2+=22,圆心距=,半径和=3,半径差=1,所以二者相交.8.(2016天津高考文科T12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.【解题指南】设出圆心的坐标,利用点到直线的距离公式得出方程求解.【解析】设C

6、(a,0)(a0),由题意知,解得a=2,所以r=3,故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.答案:(x-2)2+y2=93、 解答题9.(2016江苏高考T18)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程.(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.【解题指南】(1)根据两个圆外切建立等量关系,求出圆N的圆心坐标.(

7、2)先求出OA及直线OA的斜率,再由OA直线l,设出直线的方程,根据直线与圆相交,由几何法得出BC,根据BC=OA求出直线方程.(3)根据题意得,所以PQTA,由|2r解得t的取值范围.【解析】(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为(x-6)2+(y-n)2=n2,n0,又圆N与圆M外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)由题意得OA=2,kOA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离d=,则BC=2=2,BC=2,即2=2b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-15.(3)因为,所以,根据|10,即10t2-2,2+2,