2.3.2圆的一般方程

1、圆 的 一 般 方 程,圆的标准方程的形式是怎样的？,其中圆心的坐标和半径各是什么？,上节课我们学习圆的标准方程，请回答：,圆心C(a,b),半径r,y,O,B,C,1.圆的标准方程,2.圆心,两条直线（弦的垂直平分线）的交点；,直径的中点.,3.半径,圆心到圆上一点；,圆心到切线的距离.,T,练习:已知两点 ,求以线段 为直径的圆的方程,并判断点M(6,9), (3,3),Q(5,3) 与圆的位置关系.,M: 圆上 N: 圆外 Q: 圆内,2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, 5)，并且与直线 x7y20相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y2x上， 且与直

2、线y2x5相切,想一想，若把圆的标准方程,展开后，会得出怎样的形式？,任何一个圆的方程都是二元二次方程.,再想一想，是不是任何一个形如,的二元二次方程表示的曲线都是圆？,将上式配方整理可得,圆的一般方程：,结论:,探究:方程 在什么条件下表示圆?,1)当 时,2)当 时,3)当 时,方程表示以为 圆心, 为半径的圆.,方程表示点 .,方程不表示任何图形.,圆的一般方程：,结论:,圆的方程,一般方程:,标准方程:,圆心:,半径:,圆心:,半径:,练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.,点( 0 , 0 ),半径:,圆心:,半径:,圆心:,半径:,圆心:,半径:,圆心:,当

3、 时,当 时,半径:,圆心:,表示点:,思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆 的位置分别有什么特点？,D=0,E=0,F=0,例1:求过点 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.,解:设圆的方程为:,因为 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,所以,圆的方程为:,求圆方程的步骤:,1.根据题意,选择标准方程或一般方程.,若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;,若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程;,2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F的方程组.,3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.,(待定系数法),课本P124 2/

4、求下列各圆的方程 (1)圆心在C(8, -3),且过点A(5,1) (2)过A(-1, 5), B(5, 5), C(6,-2)三点.,(一般方程),(标准方程),代入A点坐标,练习4:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.,3,解:设圆的方程为:,因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,圆的方程:,即:,圆心:,半径:,课本P134 6/平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上?,分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有,A,B,C三点确

5、定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同一方程,求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.,例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.,解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 .,由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以,即:,因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:,点M的轨迹方程,轨迹方程求法,求轨迹方程的方法:,若生成轨迹的动点 随另一动点 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程,关键:列出P,Q两点的关系式.,求动点轨迹的步骤:,1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y);,2.列出动点M满足的等式并化简;,3.说明轨迹的形状.,练习方程 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.,例4 已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.,练习:过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=