静电学一章习题答案

1、静电学一章习题答案习题71 半径为R的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为：E r R E1/r2 (A) O E r R O E1/r2 (B) E O r R E1/r2 (C) E r O R E1/r2 E1/r (D) 习题71图 习题72半径为R的均匀带电球面，总电量为Q，设无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电势U随离球心的距离r变化的分布曲线为：U r O U1/r R (A) U r O R U1/r (B) U r O R U1/r (C) U r O R U1/r2 (D) U r O R U1/r2 (E) 习题72图 A a

2、b c d q 习题73图 习题73 如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：解：可以设想再补上与图示立方体完全相同的七个立方体，使得点电荷位于一个边长扩大一倍的新的立方体的中心，这样，根据高斯定理，通过这个新立方体的六个面的总电通量为，通过其中任何一个面的电通量为，而因原abcd面只是新立方体一个面的四分之一，故通过abcd面的电场强度通量为。选择答案(C)R1 R2 r P O Q1 Q2 习题74图 习题74 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电量Q1，外球面半径为R2、带电量为Q2。设无穷远处为电势零点，则在内球面里

3、面，距球心为r的P点处的电势为：(A) 。 (B) 。 (C) 0。(D) 。解：根据场强叠加原理，内球面单独在P点产生的电势为外球面单独在P点产生的电势为因此，P点最终的电势为所以选择答案(B)注：对典型电荷分布的场，应用叠加原理可以非常方便地求得结果。X Y Z P O 习题75 有N个电量均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则的分布，另一种是均匀分布，比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的Z轴上任一点P的场强与电势，则有：(A) 场强相等，电势相等。 (B) 场强不等，电势不等。 习题75图 (C) 场强分量EZ相等，电势相等。 (D) 场强分量EZ相等，电势

4、不等。解：因为电势是标量，而且仅与点电荷到场点的距离有关，所以各点电荷在P点产生的电势都相等，与点电荷在圆周上的位置无关，这样一来，根据电势叠加原理，两种情况下的电势都一样，都是对于场强，因为它是矢量，即不仅有大小还有方向，各点电荷产生的场强方向与其在圆周上的位置有关，也就是说，P点的场强应当与各点电荷在圆周上的分布有关，所以两种情况下的场强是不同的。但是，由于P点对于圆周上的各点是对称的，各点电荷场强的Z分量(标量)大小与其在圆周上的位置无关，因此，两种情况下P点的场强分量EZ 都相同。综上，应该选择答案(C)。习题76 如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量

5、分别为q、2q、3q，若将另一点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为：(A) (B) (C) (D) a a a q 2q 3q O 习题76图 解：根据电势叠加原理，三角形的中心O处的电势为因为无穷远处电势为零，所以外力的功为因此，应当选择答案(C)。O a a q q X Y P (0，y) 习题77图 习题77 如图所示，在坐标(a，0)处放置一点电荷+q，在坐标(a，0)处放置另一点电荷q。P点是Y轴的一点，坐标为(0，y)，当ya时，该点场强的大小为：(A) (B) (C) (D) 解：由图示，两个点电荷在P点产生的场强的Y分量相抵消，P点最终的场强只是两场强X分量的

6、叠加，因此，P点的场强为所以应该选择答案(C)。X E O (A) X E O Ex (B) X E O (C) X E O (D) 习题78图 习题78 设有一“无限大”均匀带正电荷的平面，取X轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围空间各点的电场强度随距离平面的位置坐标x的变化的关系曲线为(规定场强方向沿X轴正方向为正，反之为负)： 解：“无限大”均匀带正电荷的平面产生的场强大小是与到平面的距离x无关的常量，但是平面两侧的场强方向不同：在x0区间，场强方向与X轴正向相同，应为正；反之在x0区间，场强方向与X轴正向相反，应为负。所以，应该选择答案(C)。R r E O E1/r2 习题

7、79图 习题79 图中所示曲线表示某种球对称静电场的场强大小E随径向距离r变化的关系，请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的。(A) 半径为R的均匀带电球面。(B) 半径为R的均匀带电球体。(C) 点电荷。(D) 外半径为R，内半径为R/2的均匀带电球壳体。解：容易看出该电场是由半径为R的均匀带电球面产生的，所以，应该选择答案(A)。O R r P q Q 习题710图 习题710 真空中一半径为R的球面均匀带电Q，在球心O处有一带电量为q的点电荷，如图所示。设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O为r的P 处的电势为：(A) (B) (C) (D) 解：根据电势叠加原理，P点的电势应为均匀带电

8、球面和球心处的点电荷各自单独存在时所产生电势的叠加，即所以，应该选择答案(B)。习题711 把一个带电量为+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1Rr2)的高斯球面上任一点的场强大小E由变为；电势由变为(选无穷远为电势零点)。解：在吹胀过程中，高斯球面上任一点先在球形肥皂泡外，后在肥皂泡内，而带电的球形肥皂泡可看作均匀带电球面，因此，高斯球面上任一点的场强大小由变到 E = 0；该点的电势由变到注：从本题求解可以看出，我们应该对均匀带电球面的场强和电势公式非常熟悉才行S q1 q2 q3 q4 习题712图习题712 点电荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如图所示，图中S为闭

9、合曲面，则通过该闭合曲面的电通量，式中是点电荷在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和。解：根据静电场高斯定理，通过该闭合曲面的电通量等于被闭合曲面包围的电荷之代数和的分之一，即 =高斯定理中的是高斯面上任一点的场强，它是由高斯面内、外的所有电荷共同产生的，即由q1、q2、q3和q4共同产生的。S1 S2 S3 q q 习题713图 习题713 在点电荷+q和q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S1、S2、S3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别为1= ；2= ；3=。解：根据高斯定理容易知道，通过三个闭合曲面的电通量分别为、0、。l 2l A B C D q q 习题714图 O 习题714

10、如图，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为中心、以l为半径的半圆路径，A、B两处各放有一点电荷带，电量分别为+q和-q，则把另一带电量为Q(Q0)的点电荷从D点沿路径DCO移到O点的过程中，电场力所作的功为。解：放在A、B两处的点电荷+q和-q是场源电荷，设无穷远处为电势零点，则D点的电势为同理，O点的的电势为因此，把另一带电量为Q(Q2R)。求两球心间的电势差。解：选择两球心连线为积分路径，在该路径上距O1为r的某点的电场强度大小为电场强度的方向是从O1指向O2。两个非导体球壳都在表面上均匀带电，它们均可视为均匀带电球面，因此每个球壳各自都是个等势体，故而两球心间的电势差即为两球表面间的电

11、势差，所以有注：此题原来给出的答案可能是错的。习题727 电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，设无穷远处为电势零点，试证明离球心r(rR)处的电势为：证明：由高斯定理容易算出该球体内外的场分布：0rRrR因此，离球心为r(rR)处的电势为习题728 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为式中q为一正的常数。试求：(1) 带电球体的总电量；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势。解：(1) 带电球体的总电量为(2) 取半径为r的同心球形高斯面，则有在rR区间：所以场强分布为 (3) 根据场强与电势的积分关系在rR区间：所以电势分布为X O d 习题729图 x x S 习题7

12、29 图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为。试求板内外的场强分布并画出场强在X轴的投影值随坐标x变化的图线，即Exx图线( 设原点在带电平板的中央平面上，OX轴垂直于平板)。解：以X轴为轴线取一闭合圆柱面S，使其两个端面距带电平板的中央平面等距，即两端面分别在x和x处，同时设端面积为，根据高斯定理在平板内有： ()在平板外有：X E O d/2 d/2 题解729图 ()场强在X轴的投影值随坐标x变化的图线如图所示。静电场一章补充习题及答案O R 窄条面元 题解1552图1 习题1552(2000.1习题集) 一“无限长”均匀带电半圆柱面，半径为R，若半圆柱面沿轴线单位长度上

13、的电量为，试求轴线上任一点的电场强度。分析：该题求解的关键在如何取“元电荷”，根据“无限长”的对称性，应当在柱面上、沿轴线方向取 “无限长” 窄条元电荷，这样的“窄条”可以看成是“无限长”均匀带电直线。R X Y O 题解1552图2 解：如图所示是该半圆柱面的垂直于轴线的横截面（在XOY平面内），轴线沿Z轴方向。设所取“窄条”宽度为，其电荷线密度为其在轴线上某点的元场强的大小为元场的方向如图所标。现把进行分解由于对称性，。因此，轴线上最终的场强为 写成矢量式有习题1561(2000.1习题集) 一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点O的电势

14、。(以无穷远处为电势零点)O R1 r R2 dr dl dl 题解1561图 分析：此题的关键仍是取“元电荷”的问题，根据带电体的形状，应该在圆台面上取与其共轴的窄圆环（球带），该球带可视为均匀带电圆环。解：如图，取半径为r()、母线长为dl的球带（环形电荷元），其侧面积为，带电量为，由于，因此，其在O点产生的元电势为故顶点O的电势为O 习题1569图 习题1569(2000.1习题集) 如图所示，在一个电荷体密度为的均匀带电球体中，挖出一个以为球心的球状小空腔，空腔的球心相对于带电球体中心O的位置矢量用表示，试证明球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为分析：均匀带电球体中挖去一个球状空腔，

15、电荷分布及场分布已经不具有对称性，所以不能直接用高斯定理求解，但是可以间接使用高斯定理求解。如图所示，该球体可以看成一个与其等大的、电荷体密度为的完整无损的均匀带电球体和另一个与球形小空腔等大的、电荷体密度为的完整无损的均匀带电小球体叠加而成，按叠加原理，空间任一点的场应等于上述两个带电球体各自单独存在时产生的场之叠加。 题解1569图 解：设空腔内任一点P对O点的位置矢量为，电荷体密度为的完整无损的均匀带电球体单独存在时在P点产生的场为同理，电荷体密度为的完整无损的均匀带电小球体单独存在时在P点产生的电场为式中为场点P对点的位置矢量。所以，P点最终的场为注：对这样“破缺”型问题，应当考虑采用

16、反号电荷补偿法进行拆分，拆分原则是能方便地应用叠加原理求得结果，类似问题在磁学中还会遇到，不过在那里是采用反向电流补偿法进行拆分处理。习题78(李子芳主编的教材，第七章) 半径为R的球体内电荷体密度为，式中为常量，r为球内某点到球心的距离。试求球内、外的场强分布。分析：电荷在球体内尽管分布不均匀，但因只是r的函数，所以仍为球对称分布，仍然可以用高斯定理；不过计算面内电荷时需积分，因为这时并非常数。解：取同心球形高斯面，半径为r。在rR区间： 而 (rR)在区间：而()习题1533(2000.1习题集) 一“无限长”均匀带电直线沿Z轴放置，线外某区域的电势表达式为，式中A为常数，则该区域场强的两个为：Ex=；Ey=。解：由场强与电势的微分关系可得习题152(2000.1习题集) 电荷面密度为和的两块“