线性代数总复习题

1、线性代数总复习题(2004.6.25)一、填空题1、设向量组1 =（1，1，1），2 = （1，2，1），3=（1，3，t）的秩为2，则t =_现在要。2、设向量组a1=（1，2，3），a2=（1，1，1 ），a3=（1，2，t）线性相关，则t=_。3、设向量组a1=（1，2，3），a2=（1，1，1 ），a3=（1，2，t），则t_时线力量性无关。4、设A为3阶方阵，且满足A2+A=E，则R（A+E）= _。5、设A为4阶方阵，且满足A3-A=E，则R（A-E）= _。6、设a = （1，3，5），b =（3，-2，1），令A=aTb，则An = _。7、设A，且AE，则A ；8、设1是矩阵

2、A的一个特征值，且B= A3- A，则|B|=_。9、已知4阶行列式D的第二行元素分别为-1，0，2，4，第4行元素的余子式依次为2，10，y，4，则y = _。10、设A、B均为3阶方阵，且|A|=2，|B|=4，则|2A*B-1|= _。11、设3阶方阵A=（）的特征值为1，3，5，则|A|=_。12、设A、B均为3阶方阵，且|A|=2，|B|=4，则|A*B-1|= _。13、设3阶方阵A=（）的特征值为1，3，5，则Tr=_。14、设实矩阵A0，且，（为的代数余子式），则A;15、设A，则A，A ;16、设A为二阶方阵，B为三阶方阵，且A，则;17、设A为四阶可逆方阵，且A2，则3(A

3、)2A;18、设三阶方阵A=（）的特征值为1，2，3，则=_。19、设为正定二次型，则l的取值范围_。20、设为正定二次型，则l的取值范围_。21、设为正定二次型，则l的取值范围_。22、设3阶矩阵其中， ， 1， 2均为3维的行向量，且|A|=18，|B|=2，则|A-B|= 。二、单项选择题（每小题3分，共计15分）1、设n阶方阵A、B、C满足BCA = E，则下面的结论正确的是（ ）。（A） ACB = E； （B）CBA = E； （C）CAB = E； （D）BAC = E。2、设n阶方阵A、B、C满足CBA=E,则下面结论正确的是（ ）。（A）CAB=E； （B）ACB=E； （C

4、）ABC=E； （D）BCA=E。3、若A，B为同阶方阵，且满足AB0，则有（）（A）A0或B0； （B）|A|0或|B|0；（C）(AB)AB； （D）A与B均可逆；4、若由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（）（A）A0； （B）A0；（C）|A|0； （D）|AB|0。5、若A，B为同阶方阵，则有（） （A）(AB)AB；（B）|-AB|AB|； (C)E(AB)（EAB）（EAB）；（D）|AB|A|B|。6、已知A为n阶方阵，若有n阶方阵B使ABBAA则（）（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（C）BA；（D）不一定。7、若A，B，(B+A)为同阶可逆方阵，则

5、(B+A)（）（A）B+A；（B）BA；（C）(B+A)；（D）B(B+A)A。8、设b，a1，a2线性相关，b，a2，a3线性无关，则下面结论正确的是（ ）。 （A）a1，a2，a3线性相关； （B）a1，a2，a3线性无关； （C）a1能由b，a2，a3线性表示； （D）b 能由a1，a2线性表示。9、已知b可由a1，a2，a3线性表示，而b不能由a1，a2线性表示，则下面结论正确的是（ ）。（A）a3 能由a1，a2，b 线性表示，也能由a1，a2线性表示； （B）a3 能由a1，a2，b 线性表示，但不能由a1，a2线性表示； （C）a3不能由a1，a2，b 线性表示，也不能由a1，a

6、2线性表示； （D）a3不能由a1，a2，b 线性表示，但能由a1，a2，线性表示。10、设1，2，3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。（A）1，2，3 - 1； （B）1，1+2，1+3；（C）1+2，2+3，3+1； （D）1-2，2-3，3-1。11、设n元线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为n-3，且1，2，3为线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ ）。（A）1+2，2+3，3+1； （B）2 -1，3 -2，1 -3；（C）22 -1，3 -2，1 -3； （D）1+2+3，3-2，-1-23。12、设A为n阶方阵，且A3=2E，又B=A2

7、+A+E，则R（B）= （ ）。 （A）0； （B） 1； （C） 3； （D）n。13、设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则R(A)和R(B)满足（ ）。（A）必有一个等于零； （B）都等于n；（C）一个小于n，一个等于n； （D）都等于n。14、已知，B为3阶非零方阵，且AB=O，则（ ）。（A）t = 6时，R(B)必为1； （B）t = 6时，R(B)必为2；（C）t6时，R(B)必为1； （D）t6时，R(B)必为2。15、设A为矩阵，B为矩阵，则线性方程组ABx=0( )。（A）当nm时，仅有零解；（B）当nm时，必有非零解；（B） 当mn时，仅有零解；（D）当mn时，必有非零

8、解。16、设Ax=b,其中Amn,R(A)=r,则（ ）。（A）r=m时，Ax=b有解； （B）r m时，Ax=b有无穷多解；（C） rm时，Ax=b有唯一解；（D）r=m时，Ax=b有唯一解。17、设b1，b2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解， a1，a2是其对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则线性方程组Ax=b的通解为（ ）。(A) k1a1+k2a2+ ； (B) k1a1+k2(a1+a2)+ ； (C) k1a1+k2( a1-a2)+； (D) k1a1+k2(b1-b2)+ 。18、已知a1，a2是齐次线性方组Ax=0 的基础解系，b1，b2是

9、非齐次线性方程Ax=b的两个不同的解向量，k1,k2为任意常数,则Ax=b的通解为（ ）。（A）k1a1 + k2a2 +（b1-b2）； （B）k1b1 + k2b2 + （a1-a2）；（C）k1a2 +k2（a1+a2）+（b1+b2）； （D）k1a1+ k2(b1-b2)+（b1+b2）。19、 设A为mn矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）。（A） 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解；（B） 若Ax=b有无穷多组解，则Ax=0只有零解；（C） 若Ax=b有无穷多组解，则Ax=0有非零解；（D）若Ax=0有非零解，则Ax=b有

10、无穷多组解。20、设1，2是n元线性方程组Ax=0的两个不同的解向量，k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为（ ）。（A）k1； （B）k2； （C）k(1-2)； （D）k(1+2)。 21、设矩阵 则B=（ ）。 （A）P2P1A； （B）P1P2A； （C）AP1P2； （D）AP2P1。22、已知矩阵 则B=（ ）。 （A） P1P2A； （B） P2P1A； （C） AP1P2； （D） AP2P1。23、已知矩阵 则B=（ ）。 （A） P1P2A； （B）AP2P1； （C）AP1P2； （D） P2P1A。24、设矩阵则B =（ ）；25、（A）P1P2A； （B）P2P1A；

11、 （C）P1AP2； （D）AP1P2。已知正定矩阵 则A相似的对角矩阵为（ ）。 （A） ；（B）；（C）；（D）。26、已知正定矩阵 则A相似的对角矩阵为（ ）。（A） ；（B）；（C）；（D）。三、计算题1、已知向量组（1） 验证a1，a2，a3是R3的一个基；（2） 将b用这个基线性表示。2、已知向量组（1） 证a1，a2，a3是R3的一个基；（2） 将b用这个基线性表示。3、已知向量组（1） a1，a2，a3是R3的一个基；（2） 将b用这个基线性表示。4、已知矩阵相似，求x与y。5、已知矩阵相似，求x。6、已知矩阵相似，求x与y。7、已知四元线性方程组Ax=b的三个不同解a1，a2

12、，a3，且R（A）=3，其中求线性方程组Ax=b的通解。8、已知四元线性方程组Ax=b的三个不同解a1，a2，a3，且R（A）=3，其中求线性方程组Ax=b的通解。9、已知四元线性方程组Ax=b的三个不同解a1，a2，a3，且R（A）=3，其中求线性方程组Ax=b的通解。10、已知矩阵求R（A）及其列向量组的一个极大无关组。11、已知矩阵求R（A）及其行向量组的一个极大无关组。12、已知向量组求向量组的秩及其一个极大无关组。13、设三阶方阵A、B满足关系式A-1BA=6A+BA，其中求矩阵B。14、设三阶方阵A、B满足关系式A-1BA=6A+BA，其中求矩阵A。15、设矩阵且满足ABA*+BA

13、*+16E=0，求矩阵B。16、已知A，B，C，求解下列矩阵方程：（1）AX=X+C ，(2)AXB=C。17、设四维向量组a1，a2，a3，a4，其中a2，a3，a4线性无关，a1=- a2 - a3，令A=（a1，a2，a3，a4）， = a1 + a2 + a3 + a4。求Ax = 的通解。18、已知线性方程组（1）求出线性方程组的通解；（2）写出该线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系；（3）写出该线性方程组的一个特解。19、已知线性方程组（1）线性方程组的通解；（2）写出该线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系；（3）写出该线性方程组的一个特解。20、求解齐次线性方程组 2

14、1、求解非齐次线性方程组22、设向量组试问（1）当a、b为何值时，能由1，2，3，4唯一的线性表示？ （2）当a、b为何值时，不能由1，2，3，4线性表示？（3）a、b为何值时，能由1，2，3，4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式。23、已知4阶方阵A=（），其中均为4维的列向量，并且线性无关，而，若，求Ax=b 的通解。24、求一个正交变换x=py，把二次型f(x1,x2,x3) = 2x12+3x22+2x2x3+3x32 化成标准型。25、求一个正交变换x=py，把二次型f(x1,x2,x3) = 4x12+3x22+2x2x3+3x32化成标准型。26、求一正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)5x12+5x223x322x1x2+6x1x36x2x3化为标准形，并指出f(x1，x2，x3)1表示何种二次曲面。27、已知二次型f(x1，x2，x3)x12+x22+x322ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换化为标准形fy22+2y32，求参数a、b及所用的正交变换矩阵。四、证明题1、设三阶方阵A满足A3-3A2+2A=O，且R(A)=2, A的非零特征值不同，求（1）A的迹；（2）|A|；（3）A能否化成对角阵，并说明理由，若能化成对角阵，并写出对角矩阵。2、设A为n阶正定矩阵，B为mn矩阵，若BABT正定，则R(B)=m