第一章概率论的基本概念练习题

1、第一章 概率论的基本概念练习题1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。2. 在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。4. 甲、乙

2、、丙三人各射击一次，事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：, , , , , .5. 设事件满足，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：，.6. 若事件满足，试问是否成立？举例说明。7. 对于事件，试问是否成立？举例说明。8. 设，试就以下三种情况分别求：（1）， （2）， （3）.9. 已知，求事件全不发生的概率。10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：“三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。11. 设一

3、批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1） （1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2） （2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。12. 从中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：，。13. 从中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出

4、的3张牌中至少有2张花色相同的概率。16. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。17. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。18. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1） （1）两种报警系统I和II都有效的概率；（2） （2）系统II失灵而系统I有效的概率；（3） （3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概

5、率。19. 设，证明事件与独立的充要条件是20. 设事件与相互独立，两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都是，求和.21. 证明 若0，0，则有（1） （1） 当与独立时，与相容；（2） （2） 当与不相容时，与不独立。22. 已知事件相互独立，求证与也独立。23. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。24. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统I12nn+1n+22n系统II1n+12n+2

6、n2n25. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1） （1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2） （2）第二人中奖的概率。26. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。27. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品

7、。28. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：（1）抽取的1件产品为正品的概率；（2）该箱产品通过验收的概率。29. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2件不能出厂的概率；（3）其中至少有2件不能出厂的概率。30.

8、 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：（1）直到第次才成功；（2）第次成功之前恰失败次；（3）在次中取得次成功；（4）直到第次才取得次成功。31. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。第二章 随机变量及其分布练习题1. 1. 设为随机变量，且(), 则（1） （1）判断上面的式子是否为的概率分布；（2） （2）若是，试求和.2.设随机变量X的概率分布为(), 且，求常数.3. 设一

9、次试验成功的概率为，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量表示试验的次数，求的概率分布。4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）的概率分布； （2）。5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有设备100台，1台

10、发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？7. 设随机变量服从参数为的Poisson(泊松)分布，且，求（1）； （2）.8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概

11、率；10. 已知的概率分布为：-2-101232a3a a a 2a试求（1）； （2）的概率分布。11. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图1.3.8所示.f (x)图1.3.8xto1230.5试求:（1）的值； （2）的概率密度； （3）.12. 设连续型随机变量的概率密度为试确定常数并求.13. 乘以什么常数将使变成概率密度函数?14. 随机变量，其概率密度函数为()试求；若已知，求.15. 设连续型随机变量的概率密度为以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数，试求概率.16. 设随机变量服从1,5上的均匀分布，试求. 如果（1）； （2）.17. 设顾客排队等待服务的时间（以分计）

12、服从的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求的概率分布和.18. 已知随机变量的概率分布为，试求的分布函数；画出的曲线。19. 设连续型随机变量的分布函数为试求:（1）的概率分布； （2）.20. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设为途中遇到红灯的次数，试求（1）的概率分布； （2） 的分布函数。21. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图1.3.8所示.f (x)图1.3.8xto1230.5试求的分布函数，并画出的曲线。22. 设连续型随机变量的分布

13、函数为试求:（1）的值； （2）； （3）概率密度函数.23. 设为连续型随机变量，其分布函数为试确定中的的值。24. 设随机变量的概率密度函数为，试确定的值并求和.25. 假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson(泊松)分布，表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:（1）证明服从指数分布并求出的分布函数；（2）今后3年内再次发生地震的概率；（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。26. 设，试计算（1）； （2）；（3）； （4）.27. 某科统考成绩近似服从正态分布，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？28. 设随机变量和均

14、服从正态分布，而，试证明 .29. 设随机变量服从a,b上的均匀分布，令，试求随机变量的密度函数。第三章 多维随机变量及其分布练习题1设随机变量只取下列数组中的值：、且相应的概率依次为、.求随机变量的分布律与关于、的边缘分布律.2一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以与表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求与的联合分布律与关于、的边缘分布律.3设随机变量的概率密度 试求： 常数； 的分布函数； .4设随机变量的概率密度为求关于、的边缘概率密度.5设随机变量在上服从均匀分布，其中由轴、轴及直线所围成，试求： 的概率密

15、度； 求关于、的边缘概率密度.*6设某班车起点站上车的人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为乘客中途下车与否相互独立，并以表示在中途下车的人数.求： 在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率； 的分布律.7设随机变量与相互独立, 右表给出二维随机变量的分布律及边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.123128设随机变量分布律如右: 、为何值时与相互独立？写出的分布律与边缘分布律.9设随机变量在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量在中等可能地取一个整数.求：2时的条件分布律；1时的条件分布律.10设随机变量的概率密度为. 求； 求； 说明与的独立性.

16、*11 箱子中装有只开关(其中只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随机变量如下：； ，试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于与的条件分布律，并说明与的独立性.* 12设随机变量的概率密度为求参数与条件概率密度.012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.0513. 设的分布律如右,求； 的分布律； 的分布律； 的分布律.14设与是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为、的泊松分布. 证明服从参数为的泊松分布.15设随机变量与相

17、互独立,且都服从参数为的两点分布，记随机变量为 求与的联合分布律与.16设随机变量与相互独立，其概率密度分别为求随机变量的概率密度.17某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为. 设各周的需求量是相互独立的，试求： 两周； 三周的需求量的概率密度.18设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地服从分布. 随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过小时的概率。 19设随机变量且,求随机变量的概率密度.20设随机变量与相互独立，且都在上服从均匀分布，求二次方程有实根的概率.第四章 随机变量的数字特征习题1单项选择题： 设与的相关系数为0，则 ( ).与相互独立; .与不一定

18、相关; .与必不相关; .与必相关. 设与的期望与方差都存在,且,则以下不正确的是( ).; .;.与不相关;.与相互独立.2填空题： 设随机变量的概率密度为，则 ， ， ， . 设随机变量与互相独立，且则 ， .3一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.4设随机变量的概率密度为求. 5设随机变量的概率密度为求与.6某路公汽起点站每分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的分钟内均匀分布. 求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).7某工厂生产的设备的寿命(以年计)的概率密度为，工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换. 若出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. *8某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利500元，而积压一件将损失2000元. 而且预测到这种产