3.1变化率与导数(上课用)(1)

1、3.1变化率与导数,问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数, 那么,思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台

2、跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均变化率定义:,若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2 同样f=y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,1、式子中x 、 y 的值可正、可负，但 x的值不能为0， y 的值可以为0,2、若函数f

3、(x)为常函数时， y =0,理解,3、变式:,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率,观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么?,思考,f (x2)-f (x1),x2-x1,直线AB的斜率,例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1上的平均变化率 ；,(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。,(1)解： y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2,(2)解： y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2,练习,3.已知函数f(x)

4、=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x,D,A,做两个题吧!,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 、 3 B、 3x-(x)2 C 、 3-(x)2 D 、3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x,练习：,5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.,小结：,1.函数的平均变化率,2.求

5、函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率,二新课讲授 1瞬时速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的

6、导数的一般方法:,求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值,一差、二比、三极限,例1.求y=x2在点x=1处的导数,解：,f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算x=2和x=6时的导数.,根据导数的定义,所以,同理可得,例1,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,什么是导函数?,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,1.曲线的切线,如图,曲线C是函数y= f(x) 的图象

7、,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是

8、否有极限位置来判断与求解切线。,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: (1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 (2)利用点斜式求切线方程.,变式: 设f(x)为可导函数，且满足 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=3x-4.,练习:如图已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,练习,练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、