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文档简介

1、 05级普招本科数学与应用数学专业常微分方程试题1参考答案及评分细则一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、对于初值问题,如果取, 则其二次皮卡近似解 。 2、在区域上关于 满足李普希兹条件，其李普希兹常数最好取为。 3、微分方程有积分因子。4、曲线族的正交轨线所满足的微分方程为。5、已知方程有解,则可由刘维尔公式求得另一 无关解。二、判断题（10分）（本大题共5小题，每题4分，共20分） 判断下述结论的正误，正确的在括号中打钩，错误的在括号中打叉。1、 对于微分方程,可作变量替换, 将其化为变量 可分离方程。 （）2、微分方程的奇解为。 （） 3、微分方程的通解为。 （）4、方

2、程的通解为。（）5、如果微分方程组有基解,则。 （） 三、证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）求证：原点为系统：的中心 。证明：， 3分。 5分 因为特征根为共轭纯虚根， 8分所以，原点为中心。 10分四、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)1、（10分）设曲线上任一点的法线、向径与x轴构成等腰三角形（以法线为底边），求曲线。解：设，过的法线方程为 1分。 3分易知，与轴交于。 5分由题设，即， 7分化简得，或， 8分， 9分化简得 10分2、（10分）求解微分方程。解：原方程可变形为 4分积分得，即 ， 7分这是以为未知函数的一阶线性微分方程， 8分其通解为 10分3、（10分）求解微分方程。解：， 2分齐次方程的基解为。 4分因为，不是特征根，不是特征根， 6分所以，可设特解，代入原方程解得 7分， 9分故通解为。 10分4、（10分）用拉普拉斯变换求解初值问题。解： 2分， 4分， 6分 8分。 10分5、（10分）求解常系数线性微分方程组。解：两式相加得， 2分， 4分二倍第

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