初二三角形四边形动点问题知识点及题问题详解

1、标准文档 三角形四边形动点问题适用学科 初中 适用年级 初二适用区域 人教版 课时时长（分钟） 60分钟 知识点 几何综合动点 教学目标数形结合思、能掌握几何动点类问题的思想方法：数学思想：分类思想 1 转化思想想 、培养学生的几何动点问题中动中求静的思考能力2 教学重点培养学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、. 推理能力问题 教学难点 培养学生主动探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，. 激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质 教学过程 复习预习一、 复习所学过的几何图形及其性质1. . 列出所有几何图形的面积边长公式2. 二、知识讲解 动点., 一函

2、数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律是初中数学的重要内容专题一：引起未知量与已知,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化问题反映的是一种函数思想我们怎样建立这种函,.量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系那么. ?下面结合中考试题举例分析数解析式呢 一、应用勾股定理建立函数解析式。 实用文案标准文档 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直

3、是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、 以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。 （二）线动问题。 （三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。2、动手实践，操作确认。3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数 2以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；

4、研究特殊情况下的函数值。 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵 实用文案标准文档 活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者 欣赏. 1 以双动点为载体，探求函数图象问题。 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3 以双动点为载体，探求存在性问题。 4 以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学

5、的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 三、例题精析 【例题1】 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A

6、开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B 实用文案标准文档 以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ ：解析 PQCD为平行四边形时PD=CQ（1）四边形 QC-PD=2CE为等腰梯形时（2）四边形PQCD QC-PD=EC）四边形PQCD为直角梯形时3（所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可 解答： 解：（1）四边形PQCD

7、平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t 解得：t=6 实用文案标准文档 平行为四边形 时，四边形PQCD即当t=6E 于BC2）过D作DE（ 为矩形则四边形ABEDBE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm PQCD为等腰梯形四边形QC-PD=2CE =4 24-t）即3t-（ ）（解得：t=7s 为等腰梯形s）时，四边形PQCD即当t=7（ QC-PD=EC）由题意知：时，（3=2 ）24-t为直角梯形即3t-（PQCD四边形 ）（st=6.5解得： 为直角梯形s（）时，四边形PQCDt=6.5即当 点评： 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中 实用文案标准

8、文档 【例题2】 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm（x0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由 解析： 以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的

9、一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MCBC即x+3x20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm所以可以根据这两种情况来求解x的值 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD所以可以根据这些条件列出方程关系式 实用文案标准文档 如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+NDAD即2x+

10、x220cm，BQ+MCBC即x+3x20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形 解答： 解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去） -1）20，此时点Q与点M不重合（因为BQ+CM=x+3x=4 符合题意x= 所以-1 当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5 此时DN=x2=2520，不符合题意 故点Q与点M不能重合 所以所求x的值为 -1 （2）由（1）知，点Q只

11、能在点M的左侧， 当点P在点N的左侧时， 由20-（x+3x）=20-（2x+x2）， 解得x1=0（舍去），x2=2 当x=2时四边形PQMN是平行四边形 当点P在点N的右侧时， 由20-（x+3x）=（2x+x2）-20， 解得x1=-10（舍去），x2=4 当x=4时四边形NQMP是平行四边形 实用文案标准文档 所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形 （3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F 由于2xx， 所以点E一定在点P的左侧 若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF， 即2x-x=x2-3x 解得x1

12、=0（舍去），x2=4 由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评： 本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点 【例题3】 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s） （1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系； （2）当t为何值时，以B、P、Q三点

13、为顶点的三角形是等腰三角形？ 实用文案标准文档 解析： （1）若过点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t， s= PMQB=96-6t；可知： （2）本题应分三种情况进行讨论，若PQ=BQ，在RtPQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出； 若BP=BQ，在RtPMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出； 若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出 解答： 解：（1）过点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形 PM=DC=12， QB=16-t， ）

14、 （0ts= ?QB?（PM= 16-t）12=96-6t 为顶点的三角形是等腰三角形，可、P、QCM=PD=2t（2）由图可知，CQ=t，若以B 以分三种情况 四、课堂运用 【基础】 ABCDADCDEDDA以每秒，点=4出发，沿线段如图，已知在矩形1.从点中，=8，1AFCCD方向以每秒2个单位长的速度向点出发，沿射线方向移动，同时点从点个单位BEFEt（秒） 长的速度移动，当，三点共线时，两点同时停止运动设点移动的时间为 实用文案标准文档 BCFESStt的取值范围；与1）设四边形的面积为 ，求之间的函数关系式，并写出（tEFC三点为顶点的三角形是等腰三角形；，（2）求当 为何值时，以，

15、解析 11 22ttED=tCF=2tSSSt=4+ =28（1）， =16+ 2BCFBCEStt 4）；（0 即=16+ 2EF=ECFCD的延长线上， （2）若只能在时，则点222?16t?54)(2t?t?t16EF， =2222224?t?t?165t?16t?16t?16tt=EC0（舍去）；=4，=或 24 3t?22221616t?t?4?t?3tFCEC=FCECt；=4 ，若，时，=42222222?16t?t16?5(2t?4)tFCEF=FCEFt，时，若= =4222 16?8316?832165t?16t?ttt= ，=（舍去）=42214 3 16?833EFtC

16、三点为顶点的三角形是等腰三角形，时，以，当4的值为 【巩固】 2.如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿ABCD路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿DCBA运动，到A点停止若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）如图2是点P2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点（的面积ScmQ出发x秒后APDx出发秒后12）与x（秒）的函数关系图象根据图象：（SAQD的面积cm 2 实用文案标准文档 （1）求a、b、c的值； （2）设点P离开点A的路程为

17、y（cm），点Q到点A还需要走的路程为y（cm），请分21别写出改变速度后y、y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇21时x的值 【答案】(1) a=8；b=2；c=1 =2x8（x8）;y=22x（x8）; 出发10秒时，P与Q相遇 y (2) 21【解析】 AD=（1a）6=24，（1）观察图象得，SPA=? APQ解得a=8（秒） b=2（厘米/秒） （228）c=（122+6）28 解得c=1（厘米/秒） （2）依题意得：y=18+2（x8）， 1即：y=2x8（x8）， 1 实用文案标准文档 y=（3028）1（x8） 2=22x（x8） 又据题意，当y=y时，P

18、与Q相遇，即 212x8=22x， 解得x=10（秒） 出发10秒时，P与Q相遇 【拔高】 3.如图1，在矩形ABCD中，点P从B点出发沿着四边按BCDA方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m个单位匀速运动在运动过程中，ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图2所示 （1）求矩形ABCD的长和宽； （2）求m、a、b的值 【答案】(1) 长方形的长为8，宽为4 (2) m=1;a=4；b=11 【解析】 （1）从图象可知，当6t8时，ABP面积不变 即6t8时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位 CD=2（86）=4 AB=CD=

19、4 当t=6时（点P运动到点C），S=16 ABP AB?BC=16 4BC=16 BC=8 实用文案标准文档 长方形的长为8，宽为4 =8=16 时，2）当t=aS（ABP即点P此时在BC的中点处 BC=8=4 PC=2（6a）=4 a=4 BP=PC=4 m=BPa=44=1， =ABS?AP=4 当t=b时，ABP 4AP=4，AP=2 b=132=11； 课程小结 本节重点讲解常考题型即一次函数动点类综合题，着重讲解几何中解决动点问题的思路，讲解过程中需让学生学会如何运用数形结合思想解决问题，学会动中求静。 课后作业 【基础】 1.如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=14

20、cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒 实用文案 标准文档 为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（1）当t MNCD是等腰梯形？为何值时，四边形（2）当t MNCD是平行四边形【答案】(1) t=5时，四边形 MNCD是等腰梯形 (2) t=9时，四边形 【解析】 是平行四边形；，t=5时，四边形MNCDMD=NC1）MDNC，当，即15-t=2t（，=12（15-t）E，垂足为，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（2）作DEBC 是等腰梯形t=9时，四边形MNCD 【巩固】BCNBCCDABCDMM上、上的两个动点，2.正方形4边长为， 、当分别是点在yyxABCN?BMxMNAM之间的函求，梯形设，的面积为运动时，保持与和垂直，ABCNM 点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积数关系式；当A D N B 解析： C M MCNRtABMRt ， x4ABBM?， CNx?