太原理工大学2009矩阵论试题

1、太原理工大学2002级攻读硕士学位研究生矩阵分析试卷1、选择题：（10分）（1）设T是上的线性变换，A, 则下列集合不构成子空间的为（ ）(A) (B)(C) (D)（2）设T是线性空间上的线性变换，则下列不正确的是（ ）(A) ; (B) T()=;(C) 若线性相关，则线性相关。(D) 若线性无关，则线性无关。（3）设V为酉空间，则有（ ）(A) (x, y)=(y, x) (B) (x, y)=(x, y)(C)但 (D) +（4）设A为酉矩阵，则下列等式不正确的是（ ）(A) (B) (C) (D)（5）给定矩阵，则可逆的充要条件是（ ）(A) 满秩 (B) (C) 与E相似 (D)

2、与E等价2、填空题（20分）（1）设， 则 , ，= ，= ;（2）已知，则的约当标准形是 ;（3）已知，则存在可逆阵 ，使，此时 ;（4）已知, ,= , 则 .3、简答题：（10分）（1）设的子空间，写出与的和是直和的四个等价说法。（2）设是线性空间上的线性变换，写出为正交变换的三个等价说法。 （3）设为厄米特阵，写出为正定阵的两个等价说法。（4）设是矩阵，写出为的一个广义逆的一个等价说法。4、（10分）已知 实线性空间上的变换定义为: （1）验证是线性变换；（2）求的一组基，使在该基下的矩阵为对角阵。5、（8分）在实数域上的次数小于的多项式全体中，对于多项式与，定义实数（1）验证是中与的

3、内积（2）当时，取问为何值时，与正交？6、（10分）设与（1）验证与均为的一组基，（2）求由基到的过渡矩阵，（3）元在下的坐标。7、（8分）已知，求解柯西问题：8、（8分）已知, 求9、（8分）设，用圆盘定理（1）估计的特征值的分布范围；（2）证明至少有两个实特征值。10、（8分）证明在上的每一种方阵范数，在上都存在与它相容的向量范数。太原理工大学2002级工程硕士矩阵分析试卷1. （4分）设，是线性空间的两个子空间，试写出与的和为直 和的四个等价说法。2. （6分）已知，其中，试求, , .3. （10分）已知，试求：1）A的最小多项式； 2）.4. （15分）设是上次数小于等于2的多项式全

4、体组成的线性空间， 1）证明为上的一个内积； 2）求正交于的子空间的一组基； 3）从基，求一组正交规范基（标准正交基）。5. （10分）设是维酉空间的线性变换，证明下列说法等价： 1）是酉变换； 2）保持向量的长度不变； 3）将中的标准正交基变为标准正交基； 4）在任一组标准正交基下的矩阵是酉矩阵。6. （10分）设，且为厄米特阵， 1）证明； 2）已知厄米特阵，试求。7. （15分）已知及 为的两组基，求： 1）从基到基的过渡矩阵； 2）在两组基下的坐标； 3）线性变换在两组基下的矩阵。8. （15分）已知，1） 求；2） 应用矩阵函数法求微分方程满足初始条件的解。9. （15分）设为中的线

5、性变换，使对任一有，其 中，1） 求在基， ，下的矩阵；2） 问的特征值是如何定义的，试说明其合理性并求之；3） 求的一组基，使得在该基下的矩阵为对角阵。太原理工大学2003级攻读硕士学位研究生矩阵分析试卷1. 填空题：（本题20分） （1）已知，则的Jordan标准形（2）已知，则，。（3）已知，且幂级数的收敛半径为6，则矩阵幂级数是，其理由是。（4）设为阶方阵，则。（5）设，则2. （本题10分）在矩阵空间中，已知，定义变换（1）验证是线性变换；（2）求的特征值与特征向量。3. （本题10分）给定实线性空间的基，设，在该基下的坐标分别为：和，定义实数，证明：（1）实数是的内积；（2）在该内积下，基是的标准正交基。4. （本题10分）设，定义实数，证明：是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。5.（本题15分）已知，（1）求（2）求，的解。6.（本题15分）已知，（1）求；（2）用广义逆矩阵方法判断方程组是否有解。（3）求方程组的最小范数解。7.