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文档简介

1、第三节 函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义 ：设函数当大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的（任意小）总存在正数，当时，一定有那么常数称为函数当时的极限，记为，或。例1 ：证明 1） ； 2）证明：1）对于任给的（任意小），取，当时有所以。（如图6）注 1：直线称为函数的水平渐近线。2）对于任给的（任意小），要使，即当时，指数函数是递减的，所以令，则当时有当时有即当时总有所以。注2:有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。我们来考虑函数（如图7）。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。注

2、 3：当时，且无限增大。即。则定义中的改为，极限记为。当时，且无限增大。即。则定义中的改为，极限记为。例2：证明：证明：对于任给的（任意小），取，当时有所以。二、自变量趋于有限值时函数的极限 1）、函数极限的定义定义 ：设函数在点的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数（任意小），总存在正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当的极限。记为，或。例3 ：证明 。证明：对于任给的（任意小），令，则有取，当时有所以。例4：证明。证明：对于任给的（任意小），令，则有取，当时有所以。例5：证明。证明：证明：对于任给的（任意小），（注解）取，当时有所以。注4：函数

3、极限的几何意义（如图9）。前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。如函数当时，此函数从左右两边越来越接近的数是不一样的。（如图10）注5：当从右边趋近于时，即，我们记作，只需把上面定义中的（去心邻域）改为（右半邻域）；把或改为或； 当从左边趋近于时，即，我们记作，只需把上面定义中的（去心邻域）改为（左半邻域）；把或改为或。例6：证明：证明：对于任给的（任意小），（注意）取，当时有所以。2）、函数极限的性质性质1 ：（唯一性）如果数是函数当时的极限，则一定有。证明 ：假设。无妨设，取。因为，所以存在正数，当时有又因为，因此存在正数，当时有取，当时有这是一个矛盾，从而证明成立。性质2 ：（局部有界性）如果，则存在正数，当时，一定有。证明 ：因为，取，则存在正数，当时有即有取则得所证结论。性质3：（局部保号性）如果而且（或）那么就存在着点的某一去心邻域当在该邻域内时就有（或）。证明 ：如果，我们取，因为，所以一定存在正数当时有即有。性质4：如果在的某个去心邻域内有（或）,而且，那么（或）。证明 ：设当时有。用反证法，假设这时有，根据性质3，存在的一个去心邻域有，这与当时有矛盾。所以。作业：1题1、4小题

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