初中数学竞赛专题辅导生活中的数学4(初二

1、第三十讲 生活中的数学(四)买鱼的学问鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为1310，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！在平面几何中，我们已经知道以下定理定理1 相似形周长的比等于相似比定理2 相似形面积的比等于相似比的平方例1 已知：ABCABC，并且AB=2c，BC2a，AC=2b，AB3c， BC=3a

2、，AC=3b求证：ABC和ABC周长的比是23(图2-172)证 ABC的周长是2a2b2c=2(abc)，ABC的周长是3a3b+3c=3(abc)，所以ABC和ABC的周长的比是2(a+b+c)3(abc)=23例2 图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是34，求证：它们面积的比是3242证 矩形ABCD的面积是3a3b=32ab，矩形ABCD的面积是4a4b=42ab，所以矩形ABCD和矩形ABCD的面积之比是32ab42ab=3242从定理1和定理2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子例3 图2-174是两个相似的长方体，

3、它们的相似比为35，求它们的体积之比解 长方体(a)的体积是3a3b3c=33abc，长方体(b)的体积是5a5b5c=53abc，所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是33abc53abc3353例4 图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为23，求它们的体积之比解 小圆柱的体积是(2a)22b23a2b，大圆柱的体积是(3a)23b33a2b，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为2333定理3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方有了上面的知识，我们回到本题，是买小鱼便宜呢？还是买大鱼便宜呢？我们假定同一种鱼的体形是相似形，对于鱼A和鱼B来说，A与B的相似比为1310，因此，根据定理3，

4、A与B的体积之比为由于A鱼的价格是1.5元，B鱼的价格是1元，所以价格比是1.51=1.5，我们可以看到，A的体积是B的体积的2.197倍，可是A的价格却是B的价格的1.5倍，所以买大鱼A比买小鱼B更合算下面我们进一步考虑一下鱼的高度和体积的关系，为此，我们先规定标准：设M鱼高1厘米时，体积是2厘米3，那么N鱼高是x厘米时，体积是y厘米3由于M和N是相似形，所以由相似形体积之比与相似根据上式，当x的值变化时，y的值相应地跟着变化，于是，我们就得到表30.1从表中可以看到：当x=1时，x3=1，y=2x3=2这就是M鱼的身高与体积的关系当x的长度由1厘米增长到2厘米，即增长2倍时，其体积y相应地

5、由2厘米3增长到16厘米3，即增长了8(23)倍当x的长度由1厘米增长到3厘米，即增长3倍时，其体积y相应地由2厘米3增长到54厘米3，即增长了27(33)倍一般地，当x增长n倍时，则体积y相应地增长n3倍根据上表中的x和y的对应数值，可以画出y=2x3的图像(图2-176)例5 利用y=2x3的图像(图2-176)，解答下列问题：(1)当x=2.75时，y的值是多少？(2)当y=10时，x的值是多少？解 (1)在x轴上，对应于x2.75取一个点，通过这一点作y轴平行线交y=2x3的图像上的某一点，过这一点再作x轴的平行线交y轴于一点，这一点对应的数值是40，这样，就在y轴上得到了x=2.75

6、时对应的y值，即y=40这就说明，当鱼N的高度为2.75厘米时，它的体积约为40厘米3(2)在y轴上对应于y=10取一点，过此点作x轴的平行线，交y=2x3的图像于某点，再过这点作y轴的平行线，在x轴上得到了y=10对应的x值1.75这说明当N的体积为10厘米3时，高度约为1.75厘米上面我们研究了鱼的身高和体积的图像，下面我们进一步考虑鱼的身高和价格的关系为此，引用前面的条件，设鱼B的身高为10厘米，价格是每斤1元，其体积假定为50厘米3由于鱼是相似的，在买鱼的时候，考虑到价格的便宜，假设鱼的价格和体积成正比例，那么鱼的身高和价格之间有着怎样的关系呢？为此，设鱼C的身高为x厘米，体积是y厘米

7、3，价格是z元，那么我们列出表30.2首先，由于“鱼的体积与其身高的三次方成正比例”，所yax3， 考虑到鱼B的身高和体积，即x=10时，y=50，代入式，就有50=a103，所以a=0.05于是式就成为y=0.05x3 其次，根据“鱼的价格和体积成正比例”的假定，对于鱼C则有z=by， 由于式对于鱼B也是成立的，即y=50时，z=100，代入式，有100=b50，所以b=2，这样式就成为z=2y 再把代入，就得到z=20.05x3，所以 z=0.1x3 这就是鱼的身高和价格的关系表达式利用式就可以计算下面的问题例6 设鱼的身高为13厘米，它的价格每斤是多少元？解 把x=13代入式，z0.11

8、330.12197=219.7 =220(分)=2.2(元)即每斤约二元二角如果把式中x和z的关系用数值来表示，就有表30.3这个表中，以x=10时，z=100作标准，联系到前面表中的结果，可以看出：(1)鱼的身高增到1.5倍，价格便增到3.375倍(1.53倍)；(2)鱼的身高增到2倍，价格便增到8倍(23倍)；(3)鱼的身高增到2.5倍，价格便增到15.625倍(2.53倍)；(4)鱼的身高增到3倍，价格便增到27倍(33倍)一般地，鱼的身高增到n倍，其价格便增到n3倍，根据表中x和z的对应数值，画出z=0.1x3的图像，就得到图2-177.练习三十1根据图2-177回答：(1)鱼的身高为20厘米时，它的每斤的价格是多少元？(2)鱼的价格是每斤4元时，其身高是多少厘米？2两张照片是同一张底片拍出的如果两张照片对应边长的比是12，并且第一张照片的面积是96厘米2，那么第二张照片的面积是多少平方厘米？3设桌子正上方有