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文档简介

1、习题3.1 1 求方程=x+y通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程=x-y通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令 则 = 3 题 求初值问题： R：1，1的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解： 因为 M=max=4 则h=min(a,)= 则解的存在区间为= 令 =0 ;=y+dx=x+; =y+dx=x-+ 又 =L则：误差估计为：=4 题 讨论方程：在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为=在y上存在且连续； 而在上连续由 有：=（x+c）又 因为y(0)=0 所以：=x另外 y=0也是方程

2、的解；故 方程的解为：=或 y=0;6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间上的连续非负函数，且满足不等式： f(t)k+, 则有：f(t)kexp(),证明：令R（t）=,则(T)=f(t)g(t) (T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t)(T)- R(t)g(t)kg(t); 两边同乘以exp(-) 则有： (T) exp(-)-R(t)g(t) exp(-) kg(t) exp(-)两边从到t积分：R(t) exp(-)-exp(-)ds即 R(t) exp(-)ds又 f(t) 1k+R(t) k+kexp(-)ds k(1-1+ exp(-)=k exp()即 f(t) k;7题 假设函数f(x,y)于（x,y）的领域内是y的 不增函数，试证方程= f(x,y)满足条件y(x)= y的解于x x一侧最多只有一个解；证明：假设满足条件y(x)= y的解于x x一侧有两个(x),(x) 则满足： (x)= y+dx (x)= y+dx不妨假设(x)(x)，则(x)- (x)0而(x)- (x)= dx-dx =dx又因为 f(x,y)在（x,y）的领域内是y的 增函数，则： f(x, (x)-f(x, (x)0则(x)- (x)= dx0则(x)- (x)0所以 (x)- (x)=

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