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1、习题3.1 1 求方程=x+y通过点(0,0)的第三次近似解; 解: 取 = 2 求方程=x-y通过点(1,0)的第三次近似解; 解: 令 则 = 3 题 求初值问题: R:1,1的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计;解: 因为 M=max=4 则h=min(a,)= 则解的存在区间为= 令 =0 ;=y+dx=x+; =y+dx=x-+ 又 =L则:误差估计为:=4 题 讨论方程:在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解;解:因为=在y上存在且连续; 而在上连续由 有:=(x+c)又 因为y(0)=0 所以:=x另外 y=0也是方程
2、的解;故 方程的解为:=或 y=0;6题 证明格朗瓦耳不等式: 设K为非负整数,f(t)和g(t)为区间上的连续非负函数,且满足不等式: f(t)k+, 则有:f(t)kexp(),证明:令R(t)=,则(T)=f(t)g(t) (T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t)(T)- R(t)g(t)kg(t); 两边同乘以exp(-) 则有: (T) exp(-)-R(t)g(t) exp(-) kg(t) exp(-)两边从到t积分:R(t) exp(-)-exp(-)ds即 R(t) exp(-)ds又 f(t) 1k+R(t) k+kexp(-)ds k(1-1+ exp(-)=k exp()即 f(t) k;7题 假设函数f(x,y)于(x,y)的领域内是y的 不增函数,试证方程= f(x,y)满足条件y(x)= y的解于x x一侧最多只有一个解;证明:假设满足条件y(x)= y的解于x x一侧有两个(x),(x) 则满足: (x)= y+dx (x)= y+dx不妨假设(x)(x),则(x)- (x)0而(x)- (x)= dx-dx =dx又因为 f(x,y)在(x,y)的领域内是y的 增函数,则: f(x, (x)-f(x, (x)0则(x)- (x)= dx0则(x)- (x)0所以 (x)- (x)=
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