数学建模-牙膏销售量的研究

1、. 牙膏销售量的研究 摘要本文从收集有关牙膏销售量数据开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后再综合考虑这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。模块中，我们假设在和对y的影响独立 ，从而得到了方程： 在模块中，我们假设和对y的影响有交互作用，进一步得到新的方程：【关键字】线性回归模型 相关系数一、 问题提出由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型。建立牙膏

2、销售量与价格、广告投入之间的模型，预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 二、 问题分析某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入

3、策略提供数量依据。表1-1 牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据销售周期公司销售价格(元)其他厂家平均价格(元)价格差(元)广告费用(百万元)销售量(百万支)13.853.80-0.055.57.3823.754.000.256.758.5133.704.300.607.259.5243.603.700.005.507.5053.603.850.257.009.3363.63.800.206.508.2873.63.750.156.758.7583.83.850.055.257.8793.83.65-0.155.257.10103.854.000.156.008.00113.904.100.2

4、06.507.89123.904.000.106.258.15133.704.100.407.009.10143.754.200.456.908.86153.754.100.356.808.90163.804.100.306.808.87173.704.200.507.109.26183.804.300.507.009.00193.704.100.406.808.75203.803.75-0.056.507.95213.803.75-0.056.257.65223.753.65-0.106.007.27233.703.900.206.508.00243.553.650.107.008.5025

5、3.604.100.506.808.75263.704.250.606.809.21273.753.65-0.056.508.27283.753.750.005.757.67293.803.850.055.807.93303.704.250.556.809.26MATLAB作图得到2.1如下所示（相关程序代码见附录1）； 图2.1 牙膏销售量与销售价格、广告费用的关系图 三、 模型假设假设收集的数据均真实有效。四、 定义与符号说明y 公司牙膏销售量 其它厂家与本公司价格差公司广告费用y被解释变量（因变量） 解释变量(回归变量, 自变量) 回归系数 e随机误差（均值为零的正态分布随机变量）五、

6、模型的建立与求解（一）基于和对y的影响独立-模型 1、作出图形，如下图：由数据 y,x1,x2估计bb,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 输入yn维数据向量x=1 x1 x2 x22n4数据矩阵, 第1列为全1向量,alpha(置信水平,0.05) 输出bb的估计值，bintb的置信区间 ，r 残差向量y-xb ，rintr的置信区间 Stats检验统计量R2,F, p 参数参数估计值置信区间017.32445.7282 28.920611.30700.6829 1.93112-3.6956-7.4989 0.107730.34860.0379 0.65

7、94 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000y的90.54%可由模型确定p远小于a=0.05，b2的置信区间包含零点(右端点距零点很近)， x22项显著。 F远超过F检验的临界值，模型从整体上看成立，x2对因变量y 的影响不太显著，可将x2保留在模型中。销售量预测 价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4。 估计x3控制x1通过x1、x2预测y。 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元。（百万支）销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）。上限用作库存管理的目标值，下限用来把握公司的现金流 。若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95

8、%的把握知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上。（二）基于和对y的影响有交互作用-模型参数参数估计值置信区间029.113313.7013 44.5252111.13421.9778 20.29062-7.6080-12.6932 -2.522830.67120.2538 1.08874-1.4777-2.8518 -0.1037R2=0.9209 F=72.777 p=0.0000交互作用影响的讨论 价格差 x1=0.1 价格差 x1=0.3 价格优势会使销售量增加加大广告投入使销售量增加（x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大 价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客的眼球

9、六、 模型的评价两模型销售量预测比较 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元。，（百万支），区间 7.8230，8.7636，（百万支），区间 7.8953，8.7592 略有增加，预测区间长度更短七、 附录 附录：“图2. 1 各年度学费占教育经费的比例的情况”的程序代码x1=-0.05 0.25 0.60 0.00 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.01 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0.00 0.05 0

10、.55;x2=5.5 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.

11、93 9.26;X=ones(30,1) x1 x2 (x2.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);rcoplot(r,rint) 软件开发人员的薪金的研究摘要 本文从收集有关软件开发人员薪金与资历、管理责任、教育程度的关系的数据开始，分析软件开发人员薪金和资历、管理责任、教育程度之间的关系出发，分别通过对这四个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后在综合考虑这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。 模块中，我们假设x1、x2、x3、x4对y的影响独立，从而得到了方程： 模块二中，我们假设x1、x2、x3、x4对y的影响有交互作用，进一步得到新

12、方程：【关键字】线性回归模型 相关系数一、 问题提出由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型。建立软件开发人员的薪金与资历、管理责任和教育程度之间的模型 ，认识策略的合理性。二、 问题分析一家技术公司人事部门欲建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系，分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考。为此，研究人员收集了46名软件开发人员的档案资料，如表1-2，其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员，0表示非

13、管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学程度，3表示更高程度（研究生）表1-2 软件开发人员的薪金与资历、管理责任、教育程度的关系编号薪金资历管理教育011387611102116081030318701113041128310205117671030620872212071177220208105352010912195203101231330211149753111221371312131980031314114174011520263413161323140317128844021813245502191367750320159655112112366601222135261323

14、138396022422884612251697871126148038022717404811282218481329135488013014467100131159421002322317410133323780101234254101112351486111013616882120237241701213381599013013926330131240179491402412568515134227837161243188381602441748316014519207170246193642001MATLAB作图得到 图2.1 牙膏销售量与销售价格、广告费用的关系图 图2. 1 软件开

15、发人员的薪金与资历、管理责任、教育程度的关系图三、 模型假设1.、假设资历每加一年薪金的增长是常数；2、假设管理、教育、资历之间无交互作用。四、 定义与符号说明y薪金x1资历（年）x2x3x4a0，a1，a2，a3，a4是待估计的回归系数e是随机误差五、 模型的建立与求解（一）基于x1、x2、x3和x4对y的影响独立，得到模型参数参数估计值置信区间a01103210258 11807a1546484 608a268836248 7517a3-2994-3826 -2162a4148636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R2,F, p 模型整体上可用资历增加1年薪金增长54

16、6，管理人员薪金多6883，中学程度薪金比更高的少2994，大学程度薪金比更高的多148，a4置信区间包含零点，解释不可靠!残差分析方法管理与教育的组合组合123456管理010101教育112233e 与资历x1的关系 e 与资历x1的关系 残差大概分成3个水平，6种管理驾驭组合混合在一起，为正确反映。e与管理教育组合的关系 e与管理教育组合的关系 残差为正，或全为负，管理教育组合处理不当，应在模型中增加管理x2与教育x3，x4的交互项（二）基于x1、x2、x3和x4对y的影响有交互作用，进一步得到新的方程：参数参数估计值置信区间a01120411044 11363a1497486 508a

17、270486841 7255a3-1727-1939 -1514a4-348-545 -152a5-3071-3372 -2769a618361571 2101 R2=0.999 F=554 p=0.000R2,F有改进，所有回归系数置信区间都不含零点，模型完全可用e x1 e 组合出现了异常数据（33号），为了消除不正常现象，应该去掉异常数据。去掉异常数据后的结果：参数参数估计值置信区间a01120011139 11261a1497494 503a270416862 7120a3-1737-1818 -1656a4-356-431 -281a5-3056-3171 -2942a6199718

18、94 2100 R2=0.9998 F=36701 p=0.0000R2： 0.957 0.999 0.9998，F： 226 554 36701，置信区间长度e x1 e 组合残插图十分正常。最终模型的结果可以应用。六、 模型的评价制订6种管理教育组合人员的“基础” 薪金（资历为0）x1= 0； x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理，中学：x3=1, x4=0 ；大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 组合管理教育系数“基础” 薪金101a0+a39436211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011

19、200613a0+a218241 大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高,大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低。对定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1变量处理，0-1变量的个数应比定性因素的水平少1。剔除异常数据，有助于得到更好的结果。可以直接对6种管理教育组合引入5个0-1变量。七、 附录附录：“图2. 1 软件开发人员的薪金与资历、管理责任、教育程度的关系图”的程序代码：x1=1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14 15 16 16 16 17 20;x2=