湖北省龙泉中学、随州一中、天门中学三校2021届高三数学四月联考试题 理（含解析）

1、 可修改湖北省龙泉中学、随州一中、天门中学三校2021届高三数学四月联考试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z在复平面上对应的点的坐标为（-1,1）,则( )A. z-1是实数B. z-1是纯虚数C. z-是实数D. z+是纯虚数【答案】C【解析】【分析】由已知求得，然后逐一判定选项，即可求解，得到答案【详解】由题意可得，复数，则，所以A、B项不正确；，所以C项正确；不是纯虚数，所以D项不正确，故选C【点睛】本题主要考查了复数的代数表示及复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了运

2、算与求解能力，属于基础题2.设A，B，U是三个集合，且“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据集合的基本运算关系，以及充分条件和必要条件的定义，进行判定，即可求解【详解】因为，所以是的充要条件，故选C【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，其中解答中熟记集合的基本运算关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题3.知，则的大小为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，求得的取值范围，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数幂的运算性质，可得 所以

3、. 故选C.【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质，合理计算的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.命题“若则且”的否定是（ ）A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的概念，准确改写，即可求解，得到答案【详解】根据命题的否定的概念，可得命题“若”的否定是“若则”即为“若，则”，故选D【点睛】本题主要考查了命题的否定的概念及应用，其中解答命题的否定的概念，准确改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题5.如图，角为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则（ ）A.

4、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角函数的定义，可求得点的坐标，再由向量的数量积的运算公式和两角差的余弦公式，即可求解【详解】根据题意，角角为始边，终边与单位圆O分别交于点，则，则，故选C【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，以及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟练应用任教角的三角函数的定义，求得的坐标，准确利用公式运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图换原结合体，可知该几何体为三棱锥，侧面PAC

5、为等腰三角形，且平面平面，底面为直角三角形，在利用体积公式，即可求解【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，可得该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面平面，底面为直角三角形，如图所示，所以该四面体的体积是，故选B【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解7.我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作（数书

6、九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的，则程序框图计算的结果为（ ）A. 15B. 31C. 63D. 127【答案】C【解析】【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足判断条件，终止循环，即可输出结果，得到答案【详解】由题意，模拟执行程序框图，可得：满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，不满足条件，终止循环，输出的值，故选C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，依次写出每次

7、循环得到的的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为;标准差分别为,则下面正确的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果【详解】由频率分布直方图得：甲地区的频率为，的频率为.甲地区用户满意度评分的中位数，甲地区的平均数；乙地区的频率为，的频率为.乙地区用户满意评分的中位数，乙地区的平均数，

8、故选C.【点睛】用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：众数：最高小长方形底边中点的横坐标；中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.9.已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点，过点作准线的垂线，垂足为，由,依题意可知

9、当和三点共线且点在中间时距离和最小，如图所示，故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得，所以点，故选A【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到

10、255个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长【详解】由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列现已知共得到255个正方形，则由，所以，所以最小正方形的边长为，故选A【点睛】本题以图形为载体，主要考查等比数列的求和公式及通项公式的应用，其中解答中根据题意得出等比数列的模型，准确利用公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题11.在平面直角坐标系中，对于点（），定义变换：将点变换为点使得其中这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线，则四个函数 在坐标系内的图象变换为坐标系内的四条曲线（如图）

11、依次是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用表示出，根据反正切函数的单调性和基本初等函数的性质，得出各自的的范围及大小关系，从而得出答案【详解】由题意，知，可得，对于函数，显然，所以，所以对应的图象为；对于，所以对应的图象为；对于和，当时，所以，即当时，所以，所以对应的图象为和对应的图象为，故选A【点睛】本题主要考查了反正切函数的性质，以及基本初等函数的性质的应用，其中解答中熟记反正切函数的性质，以及基本初等函数的性质得出各自的的范围及大小关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题12.已知直线与，并且公共点的横、纵坐标均为整数，则这样的直线共有（ ）

12、条.A. 60B. 66C. 72D. 78【答案】C【解析】【分析】先列出圆上12个整点，在过其中2个点作直线可得66条，舍去过原点的6条，剩下60条，再过其中的每个点作圆的切线共12条均符合题意，即可求解【详解】由题意，在圆上横坐标，纵坐标都是整数的点共有12个点，它们分别是，（1）这12个点中的两个点可作条直线，其中过原点的直线有6条不和题意舍去，剩下60条符合题意；（2）过这12个点中的每个点作圆的切线，可得12条切线也符合题意，综上可知符合题意的直线共有72条，故选C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中列出圆上12个整点，过其中2个点作直线可得66条，再过其中的

13、每个点作圆的切线共12条是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题二、填空题:本小题共4小题，每小题共5分。13.若展开式的二项式系数之和为8，则展开式中含项的系数为_.【答案】3【解析】【分析】由展开式的二项式系数的和为，求得，再利用展开式的通项，求得，代入即可求解【详解】由展开式的二项式系数的和为，则有，解得，又由展开式的通项为，令，解得，即展开式中含项的系数为，故答案为：3【点睛】本题主要考查了二项式定理及其二项式展开式的二项式系数和的应用，其中熟记二项式系数和，以及二项展开式的通项，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题14.已知函数的部分图象如

14、图所示，则函数图象的对称中心为_ .【答案】【解析】【分析】根据图象先求出的值，结合周期以及五点对应法求出函数的解析式，结合三家函数的性质，即可求解【详解】由题意，根据函数的图象可知，且，得，则，又由，即，又由，得，由五点对应法得，得，即，则，令，得，即函数的对称中心为，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据图象求出和的值求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题15.若任取实数对，则“”的概率为_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，利用定积分求出阴影部分的面积，再由面

15、积比的几何概型，即可求解【详解】由题意，满足的平面区域的面积为，满足的平面区域，如图所示，则阴影部分的面积为，由面积比的几何概型可得概率为【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力16.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中， 点E为线段PD上一点，且，则点P到平面ACE的距离为_.【答案】【解析】【分析】连结交于点，连结，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离，即可得到答案【详解】连结交于点，连结，以所在直线分别

16、为轴，建立空间直角坐标系，设，则，因为，所以，解得，所以，则，设平面的法向量，则，取，得，所以点到平面的距离，故答案为：【点睛】本题主要考查了空间中点到平面距离的计算，其中解答中空间中点、线、面位置关系应用，以及空间向量的应用，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于中档试题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（1）求角A大小；（2）若a=2，求ABC的面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利

17、用正弦定理以及同角三角函数的基本关系式，化简运算，即可求解（2）利用余弦定理以及基本不等式，求得的范围，然后求解三角形的面积的最值【详解】(1)在中，所以即，所以，则，又，所以(2)，又，又，当且仅当时等号成，所以ABC面积的最大值【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题18.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知且四边形ABCD为

18、直角梯形，分别为PA，PD的中点.（1）求证：平面；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长.【答案】()见解析() 【解析】试题分析：() 连接，由三角形中位线定理可得/，从而可证明四边形为平行四边形，可得/，利用线面平行的判定定理可得结果；(以为坐标原点， 为坐标轴建立空间坐标系，设，利用空间向量夹角余弦公式可得，利用换元法，结合二次函数配方法，求得时直线与所成角取得最小值，此时.试题解析：() 证明：连接，因为点，分别是，的中点，所以，/，所以/，所以四边形为平行四边形，所以/.又因为平面，平面，所以/平面 () 解：如图，以为坐标原点建立空间坐标系，则

19、， 所以，设， 又，所以.设， 则， 所以，当且仅当，即时，取得最大值， 即直线与所成角取得最小值，此时【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、向量法求异面直线所成的角，属于难题. 证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.19.在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”成为人们交流的一种主要方式，某机构通过网络平台对“使

20、用微信交流”的态度进行调查，有数万人参与（全部参与者年龄均在15，65之间），现从参与者中随机选出200人，经统计这200人中使用微信交流的占.将这些使用微信交流的人按年龄分组：第1组15，25)，第2组25，35)，第3组35，45)，第4组45，55)，第5组55，65，得到的频率分布直方图如图所示.（1）从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人参加网络春晚活动，求至少有1人年龄在35，45)的概率；（2）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不使用微信交流的的中老年人有26人，问是否有99%的把握认为“

21、使用微信交流”与年龄有关？附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.07227063.84150246.6357.87910.828参考公式：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得，进而得到在第1,2,3组抽取的人数，利用对立事件的概率公式，即可求解（2）根据题意，得到的列联表，利用公式求得的值，即可得出结论【详解】（1）由率分布直方图的性质，得，解得，所以第1，2，3组人数分别为16，24，56，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取人数分别为2，3，7，设从12人中随机抽取3人至少有1人年龄

22、在35，45)为事件A，则（2）由题意得22列联表不使用微信交流使用微信交流合计青少年（人）1496110中老年（人）266490合计（人）40160200由所以有99%的把握认为春节期间打算燃放烟花爆竹与年龄有关.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及独立性检验的应用，其中解答中频率分布直方图的性质，以及利用独立性检验的公式准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题20.如图，已知椭圆焦距为2，F为椭圆C的右焦点，A（a,0），（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，P为椭圆C上一点，AP的中点为M，直线OM与直线交于点D，过O且平行于AP的直线与直线求证：【答案】

23、（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题中的条件求出和的值，即可得出椭圆的方程（2）设，设直线AP的方程为，将其代入椭圆方程，利用韦达定理求出点P的坐标，于是得出点M的坐标，由，得，再根据，即可得到证明【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，得出，易知，点的坐标为，所以，又由，所以椭圆的标准方程为（2）证明：由（1）得，设，由题意可知，直线AP的斜率存在且不为0，故设直线AP的方程为将其代入椭圆方程，并整理得则，即，所以直线的斜率是，所以直线的方程是，令，得，直线的方程是,令，得，由，得直线的斜率是，故，记垂足为，因为直线的斜率是，所以，记垂足为，在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都

24、与EOD互余，所以【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数（1）求函数的极值.（2）当时，证明【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导数 ，利用导数求得函数的单调区间，即可求得函数的极值（2）把不等式转化为，令，利用导数转化为，令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可证明【详解】（1）依题意，函数，则 ，故当时，当时，当时，故当时，有极小值，当时，有极大值0.（2）要证，即证，令，故，可知故当时，即，则，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，故当时，【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为