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知识点7-用正交矩阵使对称矩阵对角化,一、施密特正交化方法,设,是线性无关向量组，如何将该向量组,单位正交化,1）正交化,令,上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法,2）单位化,令,则可得到与,等价的单位正交组,这个过程称为单位正交化过程，上述两个步骤次序 不可交换,例1 已知向量组,线性无关，试将其化为标准正交组,解 第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化,取,所得的,即是与,等价的正交向量组,第二步，再单位化,由于,所以令,则,为所求单位正交组,二、用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤,1）求出特征方程,的全部实特征值,2）对每一个,重的特征值,解齐次线性方程组,得到,个线性无关的特征向量,3）利用施密特正交化方法，把属于,的,个线性,无关的特征向量正交化，再单位化,阵,的列向量，则,为所求正交矩阵,5,为对角矩阵，其主对角线上的元素为A,的全部特征值，它的排列顺序与,中正交单位,向量的排列顺序相对应,4）将总共得到的,个单位正交特征向量作为矩,例2 用正交矩阵将 对角化,解 矩阵,的特征值为,对应的特征向量为,如何求A的特征值与特征向量,利用施密特正交化方法将,与,正交化，得,再将 单位化,的模各是多少,再单位化，得,将,单位化，得,以单位正交向量,为列得正交矩阵,使得,特征值与特征向量应对应,对角阵,小 结,施密特正交化方法,用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤,

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