高考数学复习题库 椭圆

1、高考数学复习题库 椭圆椭圆 一.选择题1.椭圆1的离心率为( )A. B. C. D. 解析 a216，b28，c28. e. 答案 D2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ). A.1 B.1 C.1 D.1 解析 依题意知：2a18，a9,2c2a，c3， b2a2c281972，椭圆方程为1.答案 A3.椭圆x24y21的离心率为( ). A. B. C. D. 解析 先将x24y21化为标准方程1，则a1，b，c.离心率e. 答案 A4.设F1.F2分别是椭圆y21的左.右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1PF2，则点P

2、的横坐标为( ). A.1 B. C.2 D. 解析 由题意知，点P即为圆x2y23与椭圆y21在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为. 答案 D5. 椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 答案 D6.若P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，且0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为( ). A. B. C. D. 解析 在RtPF1F2中，设|PF2|1，则|PF2|2.|F1F2|，e. 答案 A7.椭圆1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆

3、的离心率e为( )A. B. C. D. 解析 根据已知a2b2a2(ac)2，即c2aca20，即e2e10，解得e，故所求的椭圆的离心率为. 答案 B 二.填空题8.设F1.F2分别是椭圆1的左.右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_. 解析 由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6.|PF1|2564. 答案49.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于_. 解析 如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，PAB是一个直角

4、三角形，且BAP30，所以APABcos30c，BPc，根据椭圆定义APBP2a，故cc2a，所以e1.答案 110.若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_. 解析 由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)， 即2kx2y2k10， 由1， 解得k， 所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50， 求得切点A， 易知另一切点B(1,0)， 则直线AB的方程为y2x2. 令y0得右焦点为(1,0)， 令x0得上顶点为(0,2). a2b2c25， 故得所求椭圆方程为1.答案 111.已知F1(c

5、,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_. 解析 设P(x，y)，则(cx，y) (cx，y)x2c2y2c2 将y2b2x2代入式解得x2， 又x20，a2，2c2a23c2，e. 答案12. 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_倍. 解析 不妨设F1（3，0），F2（3，0）由条件得P（3，），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|. 答案7 三.解答题13.设F1，F2分别是椭圆y21的左.右焦点. (1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，

6、求点P的坐标； （2）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围. 解析 (1)由题意知a2，b1，c， 所以F1(，0)，F2(，0). 设P(x，y)(x0，y0)， (x，y)，(x，y). 由，得x2y23. 联立解得点P(1，). （2）可设l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2). 将ykx2代入椭圆方程， 得(14k2)x216kx120. 由(16k)24(14k2)120，得k2. 又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，AOB为锐角， 所以0，即x1x2y1y20.

7、 即(1k2)x1x22k(x1x2)42k()40. 所以k24. 由可知k24， 故k的取值范围是(2，)(，2).14.如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度. 解析 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)， 由已知得 P在圆上，x2225， 即C的方程为1.（2）过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)， 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程y(x3)代入C的方程，得 1， 即x

8、23x80. x1，x2. 线段AB的长度为|AB| .15.设A，B分别为椭圆1(ab0)的左，右顶点，为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距. (1)求椭圆的方程； （2）设P(4，x)(x0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：MBN为钝角. 解析 (1)依题意，得a2c，b2a2c23c2， 设椭圆方程为1，将代入， 得c21，故椭圆方程为1.（2）证明 由(1)，知A(2,0)，B(2,0)， 设M(x0，y0)，则2x02，y(4x)， 由P，A，M三点共线，得x， (x02，y0)， 2x04(2x0)0， 即MBP为锐角，则MBN为钝角.16.已知中心在原

9、点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M. (1)求椭圆C的方程； （2）是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由. 解析 (1)设椭圆C的方程为1(ab0)， 由题意得解得a24，b23. 故椭圆C的方程为1.（2）假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B， 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)0， 所以k1. 又x1x2，x1x2， 因为2， 即(x12)(x22)(y11)(y21)， 所以(x12)(x22)(1k)|PM|2. 即x1x22(x1x2)4(1k). 所以(1k)，解得k1. 因为k1，所以k1. 于是存在直线l1满足条件，其