2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解3-9 函数的应用（含答案）

1、2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解3-9 函数的应用（含答案）专题3.9 函数的实际应用【考纲解读与核心素养】1. 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.2培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.3. 高考预测：（1）从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；（2）函数的综合应用.（3）常与二次函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇4.备考重点（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型.（2）函数的综合应用.【知识清单】1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0).(2)反

2、比例函数模型：y(k0).(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0).(4)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0).(5)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0).2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax【重点总结】解答函数应用题的一般步骤：审题：弄清题意，分清条件和结论，理

3、顺数量关系，初步选择数学模型；建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学问题还原为实际问题的意义【典例剖析】高频考点一 ：一次函数与分段函数模型【典例1】（2020四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：赡养老人费用，子女教育费用，继续教育费用，大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：赡养老人费用：每月扣除2000元，子女教

4、育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额元（含税）税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ）A1800B1000C790D560【答案】C【解析】李某月应纳税所得额（含税）为：元，不超过3000的部分税额为元，超过3000元至12000元的部分税额为元，所以李某月应缴纳的个税金额为元故选：【典例2】（2019山西高三期末（文）为响应低碳绿色出行,某市推出“新能源分时租赁汽车”,其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费得标准由以下两部分组

5、成：（1）根据行驶里程数按1元/公里计费;（2）当租车时间不超过40分钟时,按0.12元/分钟计费;当租车时间超过40分钟时,超出的部分按0.20元/分钟计费;（3）租车时间不足1分钟,按1分钟计算.已知张先生从家里到公司的距离为15公里,每天租用该款汽车上下班各一次,且每次租车时间t20,60（单位:分钟）.由于堵车,红绿灯等因素,每次路上租车时间t是一个随即变量.现统计了他50次路上租车时间,整理后得到下表:租车时间t（分钟）20，30（30，40（40，50（50，60频数2182010将上述租车时间的频率视为概率.(1)写出张先生一次租车费用y(元)与租车时间t(分钟)的函数关系式;(

6、2)公司规定,员工上下班可以免费乘坐公司接送车,若不乘坐公司接送车的每月(按22天计算)给800元车补.从经济收入的角度分析,张先生上下班应该选择公司接送车,还是租用该款新能源汽车?【答案】(1)；(2)应该选择公司接送车.【解析】（1）由题可得：当 时，y=0.12t+15，当 时， ；（2）张先生租用一次租用新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间： ，每次上下班租车的费用约为（元）一个月山下班租车费用约为 ，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源汽车租赁汽车用，所以应选择公司接送车.【规律方法】1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法2.分段函数模型的求解策略(1)

7、实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)【变式探究】1.（2020广东省高三其他（理）某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：（1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优

8、惠.某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；方案二：一次性付款购买.若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元A540B620C640D800【答案】C【解析】依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；第二次付款4850元时，因为，所以其原来的价格为元.所以分两次购买饲料的原价为元.方案二：若一次性付款，则应付款为：元，所以节省元.故选：C2.（2018届广东省深圳中学高三第一次测试）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：方案代号基本月租（元）免费

9、时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟）1304806029817006031683300504268600045538810000406568170003577882588030（I）写出“套餐”中方案的月话费（元）与月通话量（分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；（II）学生甲选用方案，学生乙选用方案，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；（III）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.【答案】(1) （2）元. （3）见解析【解析】(1)由题意得，当时， ;当时， 。故所求解析式为

10、（2）设该月甲乙两人的电话资费均为元,通话量均为分钟.当时, 甲乙两人的电话资费分别为元, 元,不相等； 当时, 甲乙两人的电话资费分别为（元）, 元, ,； 当时, 甲乙两人的电话资费分别为（元）, （元）, 解得 所以该月学生甲的电话资费元. （3）月通话量平均为320分钟，方案的月话费为：30+0.6（320-48）=193.2（元）； 方案的月话费为：98+0.6（320-170）=188（元）； 方案的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元. 经比较, 选择方案更合算.【总结提升】1.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易

11、构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案2.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)3.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一

12、起要注意各段变量的范围，特别是端点高频考点二：二次函数模型【典例3】（2020北京高三期末）某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来天内,这种水果每箱的销售利润(单位:元)与时间,单位:天)之间的函数关系式为, 且日销售量 (单位:箱)与时间之间的函数关系式为第天的销售利润为_元; 在未来的这天中,公司决定每销售箱该水果就捐赠元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大,则的最小值是_【答案】1232 5 【解析】因为，所以该天的销售利润为；设捐赠后的利润为元，则，化简可得，令，因为二次函数的开口向下，对称轴为，为满足题意所以，解得故答案为：1232

13、；5【典例4】（山东省青岛市2018年春季高考二模）山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收

14、购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）y=-3x2+940x+20000(1x110)（2）将这批香菇存放50天后出售（3）存放100天后出售可获得最大利润为30000元.【解析】（1）由题意得，y与x之间的函数关系式为：y=(10+0.5x)(2000-6x) =-3x2+940x+20000(1x110).（2）由题意得，；化简得，x2-200x+7500=0；解得，x1=50，x2=150（不合题意，舍去）；因此，李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放50天后出售.（3）设利润为W，则由（2）得，W=(-3x2+

15、940x+20000)-(102000+340x)=-3x2+600x=-3(x-100)2+30000；因此当x=100时，Wmax=30000；又因为，所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润为30000元.【易错提醒】二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】1.（2020攀枝花市第十五中学校高一期中）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年

16、）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.（1）当时，求关于的函数表达式.（2）当养殖密度为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.【答案】（1）（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.【解析】（1）由题意得当时，.当时，设，由已知得解得所以.故函数（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，依题意，由（1）可得，当时，；当时，.所以当时，的最大值为12.5，即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方

17、米.2.(2019湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润总收益总成本【答案】【解析】(1)依题设知，总成本为(20 000100x)元，则y(2)当0x400时，y(x300)225 000，故当x300时，ymax25 000；当x400时，y6

18、0 000100x是减函数，故y60 00010040020 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元高频考点三：指数函数模型【典例5】（2015四川高考真题（理）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.【答案】24【解析】由题意得：eb=192e22k+b=48,e22k=48192=14,e11k=12，所以x=33时，y=e33k+b=(e11k)3?eb=18192=24.【典例6】（20

19、19北京人大附中高考模拟（理）某种物质在时刻的浓度Mmg/L与t的函数关系为Mt=art+24（a,r为常数）.在和测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在时,该物质的浓度为_mg/L;若该物质的浓度小于24.001,g/L,则最小的整数t的值为_.【答案】25.56；13.【解析】根据条件：ar0+24124，ar+2464；M(t)=100(25)t+24；M(4)=100(25)4+24=26.56；由100(25)t+2424.001得：；tlg2（1lg2）5；t（2lg21）5，带入lg20.301得：0.398t5；解得t12.5；最小的整数t的值是13故答案为

20、：25.56，13【规律方法】1指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型3ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解4对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长【变式探究】1.（2019广西高考模拟（文）一个放

21、射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的.若该物质余下质量不超过原有的，则至少需要的年数是（ ）ABCD【答案】B【解析】设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，依此类推，得到年后质量是原来的，只需要 故结果为4.故答案为：B.2.（2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学第四次考试）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位： ）满足函数关系（为自然对数的底数， 为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）小时.A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得时， x=22时，y=48代入可得， 即有 则当时，