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1、圆的滚动-由一道习题所想到的 贾雷明 以前遇到过这样一道题:如图,将半径为2,圆心角为60的扇形纸片AOB,在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形AOB处,则顶点O经过的路线总长是多少?lO3B2A2O2A1AO学生由于分析不清它的运动过程而将答案弄错,更有甚者,到讲台上来回答问题,说:“点O运动的轨迹是一个半圆”,同学们哄堂大笑。O1同学们经过议论、思考,才发现:点O的运动轨迹是“一段弧+一条线段+一段弧”如图:B3B在计算的时候,两边的两段弧是圆周,很好计算,中间的线段O1O2的长怎么算呢?这又成了学生的绊脚石,因为他们不知道滚动圆在地面上滚动一圈,圆心通过的路程是2r,当扇形A1O1B在地面
2、上滚动到A2O2B2时圆心走过的路程为弧A1B的长。这样,这个问题就迎刃而解了:点O的运动路程为“弧OO1的长+线段O1O2的长+弧O2O3的长”。 从这一个题中我发现:学生对圆的滚动问题很陌生,在考场上是不堪一击。因此,又有了下面这些思考,如图,滚动圆在地面上滚地面上滚动一周,圆心走过的路程是多少?O2O1. .B A这个问题的答案是显而易见的,全部学生都明白是:2r。也就是说O1O2=2r,AB=2r。趁学生的兴趣正浓,顺势又提出下面的问题:如果将线段AB弯曲成一个圆,这样,由于线段AB的长是2r,因此线段AB弯成圆后,与O1是等圆,即O3是线段AB弯成的圆。固定O3,再让O1绕AB无滑动
3、的滚动一周,那么滚动圆自身滚动几圈?如图:O3O1.学生由于上一个问题的干扰,马上回答:圈,因为滚圆在地面上滚动一周时,圆心走过的路程是2r。显然答案是错误的,但学生还是与我争论了很长时间。他们不理解:在平地上,滚圆滚动一周,通过的路程是2r,而将2r的线段弯成一个圆后,再让原来的圆,绕这个圆无滑动的滚动一周,滚动圆自身为什么不是自转了圈?在学生看来,外边滚圆运动时,两个圆的切点确实走过了2r,而此时,与平地上不一样的是:滚动圆的圆心走过的路程不再是2r,而是图中虚线圆的周长:2rr,用rr,因此滚动圆自身滚动了两圈。曾记得,有一道中考题这样出:如图,半径为1的O绕边长为4的正方形ABCD的边无滑动的沿A B C D A的方向滚动一周,圆心走过的路程是多少?不细心思考的同学很快会得出16,但这个答案是错误的,圆应该是这样运动的:轨迹是“4点线段+4条弧长”。.O1.B A.D C 因此,圆心走过的路程是:44+21=16+2。通过对这些题的深入思考,学生对圆的滚动问题有了更深入的理解,他们知道了要计算滚圆自身转过的圈数,就要用“滚圆圆心走过的路程滚圆自身周长”同时学生们也体会到“数学是美的”,数学的美体现在方方面面,也许美在她是探求世间现象规律的出发点,也许美在她用几个字母符号就能把若干信息表达的的简单明了,也许美在她是大胆假设和严格论证的伟大结合,也
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