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文档简介

1、第三节 三重积分(二),一、利用柱面坐标计算三重积分,二、利用球面坐标计算三重积分,三、小结 思考题,一、利用柱面坐标计算三重积分,设空间一点M (x,y,z),点M在xoy面上的投影N 的极坐标为,则 称为点M 的柱面坐标.,变化范围,与直角坐标的关系,M(, z),z,N,x,y,z,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,柱面坐标系中的体积元素为,此即柱面坐标系下的三重积分表达式,如图,六面体近似看作长方体,柱面坐标下的三重积分的计算,仍然化为三次积分来进行，积分限是根据,在积分域中的变化范围来确定的，,以下举例说明,单积分,二重积分（极坐标系下计算

2、）,【方法】,【适用范围】,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,1,Dxy,.,Dxy:,z = 1,锥面化为:,= z,1,.,用柱面坐标,【例1】,.,.,【解】,4,Dxy,2,【例2】,利用柱面坐标计算三重积分,【解】,即,则,故,【思考】,本题是否可考虑用截面法来求解？,【例3】,【解】,【思考】,是否也可考虑用截面法来求解？,1,Dxy,【解】,知交线为,因此,二、利用球面坐标计算三重积分,M(r,),r,P,y,x,z,球面坐标,【规定】,球面坐标系中的体积元素为,如图，,此即球面坐标下三重积分表达式,六面体近似看作长方体,【注】,(1),则,球面坐标下的三重积分的计算,(3),(2),其中,【例5】,【解】,如图建立坐标系,则立体体积为,【解】,【练习】,球坐标下确定积分限练习，,1 为全球体,2 为空心球体,3 为上半球体,4 为右半球体,为球体的第一、二卦限部分,.,.,.,.,.,【补充：利用对称性化简三重积分计算】,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的,奇偶性,【解】,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,教材总习题九P124 第7题(2),【解】,对称性简化运算,

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