高中函数专题

1、LDC数学函数专题翻阅近年来各地的试题，发现其中不少与“必要条件”有关。若按常规思路去解答，往往不是事倍功半，就是连影子都摸不到；而抓住某些“必要条件”，从局部突破，则常有助于撕开问题的缺口，找到求解的思路，收到化难为易、别开生面的效果。以下通过考题说明。试题一 （2008年江苏卷）设函数，若对于任意都有，则实数的取值范围是_。解析 ，恒成立的必要条件是即注意 对于填空题，当所得的参数值唯一时，一般不必检验其充分性。否则，必须检验其充分性。试题二 若，且当时，恒有，分别求实数的取值范围以及点所形成的平面区域的面积。解析 ，恒成立的必要条件是即检验充分性：当时，由，得。所以的取值范围分别为。因此

2、点所形成的正方形区域的面积为1试题三 设,函数，若函数在处取得最大值，求实数的取值范围。简解 在上的最大值为的必要条件是，即，故. 检验充分性：当时，由于，所以所以的取值范围是试题四 （2011年浙江理科卷）设函数.（1） 若为的极值点，求实数的值；（2）若对任意，恒有，求实数的取值范围 简解 （1）或（过程从略） （2），恒成立的必要条件是得. 下面验证充分性：当时，显然恒有；当时，把视为关于的二次函数（把视为参数），易得令当时，求导得，可知，并且对于，有；对于，有，所以恒成立； 当时，易知，所以恒成立。综上所述，对任意，。因此的取值范围是试题五 对于定义在区间上的函数和，如果对于任意，都有

3、成立，那么称函数在区间上可被函数替代.（1）记，证明在不能被替代；（2）设，若在上能被替代，求实数的取值范围解析 （1）略（2）由在上能被替代，可得对于任意恒成立当时，可得，得 令，则，因为，所以，所以在上单调递增，从而的最小值为，最大值为由恒成立，可得，故。 点评 在例5中，通过特殊值使不等式成立，求出参数的一个范围，得到的这一范围使我们避免了对参数的讨论，从而简化了运算，精炼了思维。通过以上试题分析，可以看到选好充分利用“必要条件”对解题的重要作用。当然，对于有些问题，利用必要条件能够获得有关信息。结论，却不一定很快得出最终结果，也可能需要多次尝试或另辟蹊径，但至少可以由此增进对问题的了解

4、，缩小需要探求的范围，有利于进一步准确求解。 【学习效率曲线】是1936年美国康奈尔学T.P.Wright博士在机械制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首先发现并提出来的。1. 已知某类学习的学习效率曲线（其中为掌握该任务的程度，t为学习时间，为常数），且这类学习满足：当=1时，=50%；=2时，（1）求的值； （2）现定义为该学习项目在时刻的学习效率指数。研究表明，当学习效率指数为时，规定为学习效率最佳，当学习效率最佳时段为最佳学习时间，求学习效率最佳时间。解析 （1）由已知，得=，化简，得，所以（2）令学习效率指数，即，令，则，又令，则当时，恒成立，所以，即，所以在上为

5、增函数，在上为减函数，又由（1），可知，得学习效率最佳时间是2. 定义在R上的函数满足：如果对任意，都有，则称函数是R上的凹函数，已知二次函数.（1）求证：当时，函数是凹函数； （2）如果时，求实数的范围。解析 （1）因为作差，得即有，故函数是凹函数（2）.假设时，在上，均有.所以，即，故.这与相矛盾，故不成立，即.又因为，所以.由当时，则恒成立；当时，有因为，所以，所以又因为，所以函数含参问题的对比研究分析含有参数的函数问题是高中数学中的一类重要问题，渗透着化归转化、分类讨论等思想方法，具有运算量大、解题方法灵活等特点。因此，备受高考命题专家的青睐，称为江苏高考数学命题的重点和热点。分析20

6、11年全国各省新课标高考数学试卷，不难发现，对含有参数的函数问题的考查力度比较大，考查内容广泛，设问方式新颖。能否解决好含有参数的函数问题，对于能否在高考中取得令人满意的成绩起着举足轻重的作用。下面通过对2011年新课标高考数学中含有参数的函数问题的归类分析，希望能为同学们的复习提供一些可供参考的资料和有益的帮助和启示。1、 以含参函数的问题为载体探究函数的性质研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，是高中阶段对函数研究的主要内容，也是高考的必考内容。而将这种研究置于含有参数的函数问题之中，既考查研究函数性质的能力，又考查分类讨论、等价转化等数学思想方法的运用能力。例1 （2011.广东

7、卷）设，讨论函数的单调性解析 由题，知，令，（1） 当时，所以，故在上单调递增；（2） 当时，的图像为开口向上的抛物线，若，则，当且仅当时取等号，所以在上单调递增；若，则，令，解得，且，当或时，单调递增；当时，单调递减。（3） 当时，的图像为开口方向向下的抛物线，且，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减。其中点评 本题目的目标很明确，就是要研究给定函数的单调性。解题思路也很清晰，一是利用单调性的定义，二是利用导数。结合题目中函数的特点，运用导数是一种十分自然的选择。关键之处就在于设置了参数，求出导

8、数后，要确定导数的符号，参数的不同取值会导致不同结果。因此，必须善于根据参数的取值情况进行分类讨论。高考这样设计试题，其主要目的就在于此。一般地说，这样一类含参函数问题求解，能够正确地进行分类讨论讨论是解题的核心和关键。2、 根据含参函数的性质确定参数的值或范围根据含参函数的已知性质，来确定其中参数的值或取值范围，是高考经久不衰的热点试题，可以说是常考常新。这类问题通常有以下几个特征：（1）题目中直接或间接给出一个包含两类字母（一类是自变量，一类是参变量）的等式或不等式；（2）题目中常会隐含或直接给出“有解”、“无解”、“恒成立”等条件；（3）两类字母中一类字母满足的条件（即函数的性质）已知（

9、这个字母就是自变量），另一类字母的取值或范围带求（这个字母即为参变量）。这类问题有两种较为通用的处理办法：一是参变量分离法，二是选取主元法，而它们最终都要转化为方程、不等式问题或者函数的值域与最值问题来解决。例2 已知函数。（1） 当时，求函数的单调递增区间；（2） 若，使成立，求实数的取值范围；（3） 若函数的图像在区间内恒在直线的下方，求实数的取值范围。解析 的定义域为.当时，.由，结合定义域，解得，故得函数的单调递增区间为（2） ，即，因为，所以.令，则，使成立，等价于.因为.由，结合，解得.当时，当时，.故得.所以实数的取值范围是（3） 令的定义域为.函数的图像在区间内恒在直线的下方，

10、等价于在上恒成立，即.若，令得，当时，即时，在上为减函数，在上，为增函数，故的值域在，不合题意。当，即时，同理可得在上，为增函数，故的值域为，也不合题意。若，则有，此时，在区间上，恒有，从而为减函数，综合，解得.综合，可知实数的取值范围是.点评 这是一道十分典型的已知含参函数的性质，反求参数范围的问题，主要考查导数的求法及其函数中的应用等基础知识与基本方法，考查等价转化、分类讨论的数学思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。第（1）问是基本题，由解出的范围，即得单调增区间；对第（2）问，通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题，可以运用导数这一工具使问题获解；对第（3）问，本质上是不

11、等式恒成立问题，仍可以借助导数，通过求函数的最值求解，不过要注意根据参数的不同取值进行分类讨论，达到化难为易、各个击破的目的。3、 利用含参函数设计开放性问题例3 （2011，陕西卷）设函数定义在上，导函数.（1） 求的单调区间和最小值；（2） 讨论与的大小关系；（3） 是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解析 （1）由题设，知，所以，令得，当时，故（0,1）是的单调减区间；当时，故是的单调增区间。因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值（2） =，设，则，当时，即=；当时，因此，在内单调递减，当时，即，当时，即0且的判别式小于0；（2） 0,4 提示：注意审题，理解这两个小题的不同意义，第（2）小题中m=0合适；其次的判别式且m0.7. 8.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知，函数当时，求使成立的的集合；求函数在区间上的最小值【解析】：（）