2010中考压轴题7

1、二0一0年中考数学压轴题汇总七1、（2010年 乌鲁木齐 24 12分）如图9，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EFCE，且与正方形外角平分线AG交于点P.(1)当点E坐标为（3,0）时，试证明CE=EP;(2)如果将上述条件“点E坐标为（3,0）”改为“点E坐标为（t,0） (t0)”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由;(3)在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由。AEOCBPFG图9xy【分析】（1）CE是COE的斜边，要说明CE=EP，

2、需要构造以EP为边的直角三角形，过点P作PHx轴，垂足为H，则COEEHP，又因为AP是角平分线，可得AH=PH，通过方程求得PH的长度，再由勾股定理求得EP的长度（2）第二问是第一问的变式，同理可得出CE=EP（3）过点B作BMEP交y轴于点M，只需证明BM=EP，根据已知条件可以得到BCMCOE，所以，又因为，所以BM=EP，即四边形BMEP是平行四边形【答案】解：（1）过点P作PHx轴，垂足为H21900EFCE34COEEHP 由题意知：CO5 OE3 EHEAAH2HP 得HP=3 EH=5在RtCOE和RtEHP中 ,CE=EP（2）CE=EP仍然成立同理COEEHP由题意知：CO

3、5 OEt EH5-tHP 整理得 （5-t）HP=t(5-t)点E不与点A重合， 5-t0 HP=t EH=5在RtCOE和RtEHP中 ,CE=EP(3) y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形过点B作BMEP交y轴于点M5CEP90064在BCM和COE中 BCMCOE BM=CE而CE=EPBM=EP由于BMEP四边形BMEP是平行四边形由BCMCOE可得CM=OE=tOM=CO-CM=5-t故点M的坐标为（0，5-t）【涉及知识点】平面直角坐标系，勾股定理，相似三角形，全等三角形，平行四边形的判定等多个知识点【点评】本题巧妙将平面直角坐标系，勾股定理，相似三角形，全等三角形，

4、平行四边形的判定等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题2、（2010湖北鄂州24，12分）如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C（1）求点C的坐标（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线O

5、P与抛物线的交点坐标【分析】(1)由直角三角形相似的性质可求OC=4; (2)由三点式或二根式可设抛物线的解析式,再将坐标代入求出相应的字母系数即可; (3) 以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论:CQ=PC, PQ=QC, PQ=PC来构建等式.【答案】（1）点C的坐标是（4，0）；（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A、B、C三点的坐标代入得：解得，抛物线的解析式是：y= x2+x+2（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ

6、=BP=t有2t=BC=，t=若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQBC交CB于点D，则有CD=PD由ABCQDC，可得出PD=CD=，解得t=若PQ=PC，如图所示，过点P作PEAC交AC于点E，则EC=QE=PC，t=（t），解得t=（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，点P的坐标是（2，1），直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x22x4=0，解得x=1，直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1，）【涉及知识点】等腰三角形、直角三角形、相似形、二次函数、方程(组).【点评】本题是一个动态变化的问题，关键是灵活运用分类讨论的思想方法去研究、去探索，本题题型新颖是个不可

7、多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度3、（2010湖北恩施，24，12分）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 图11【分析】（1）二次函数的

8、图象经过A、B两点，则A、B两点的坐标代入二次函数可得二次函数的表达式（2）连结PP 则PECO，则P点的纵坐标是，即可得= 从而求得P点的坐标为（，）（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，则四边形ABPC可分为ABC、CPQ、BPQ三部分，从而可得四边形ABPC面积与P点横坐标x的函数关系式，从而求得四边形 ABPC的面积最大时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得 解得： 所以二次函数的表达式为： （2）存在点P，使四边形POPC为菱形设P点坐标为（x，），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PCPO连结PP 则PECO于E，OE=EC= =

9、 解得=，=（不合题意，舍去）P点的坐标为（，）（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x3）.= 当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积 【涉及知识点】二次函数、一次函数、菱形性质、图形的面积【点评】本题主要考查了用待定系数法求解析式、菱形性质、二次函数的最值等问题，难度较大，综合性强，具有很好的区分度.（2）应用菱形性质得到一个二次方程，从而得到特定条件时的动点的坐标，（3）求不规则图形的面积常用的是转化思想，把不规则图形分成可求出面积的规则图形来求解；解答此题需全面掌握函数知识，并具有

10、数形结合思想，能将函数关系式、函数图象、几何图形进行沟通整合4、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由【分析】（1）抛物线的顶点为C（1，1），可设解析式为ya（x1）2+1，又因抛物线过原点，可得a1，所以y（x1）2+1，化简得yx22x，即可求字母a，b，c的

11、值；（2）由FMFP，PM与直线垂直，可得，代入yx22x，解得点P坐标为（，）或（，），所以分两种情况，通过计算可得PFM为正三角形；（3）由PMPN可得，整理得，解得，（舍去），故存在点N（1，），使PMPN恒成立【答案】（1）a1，b2，c0（2）FMFP，PM与直线垂直，把代入yx22x，解得点P坐标为（，）或（，），当点P坐标为（，）时，MPMFPF1，PFM为正三角形，当点P坐标为（，）时，MPMFPF1，PFM为正三角形，当点P坐标为（，）或（，）时，PFM为正三角形；（3）存在，PMPN ，两边同时平方得，yx22x，解得，（舍去），故存在点N（1，），使PMPN恒成立【涉及知

12、识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t的字母系数方程，本题有一定的区分度5、（2010年 湖北黄石 25 本小题满分10分）已知抛物线与直线有两个交点.（1）当的中点落在轴时，求的取值范围；（2）当，求的最小值，并写出取最小值时，抛物线解析式；（3）设点在之间的一段抛物线上运动，表示的面积.当，且抛物线与直线的一个交点在轴时，求的最大值，以及此时点的坐标；当（正常数）时，是否仍有最大值，若存在，求出的最

13、大值以及此时点的坐标满足的关系，若不存在说明理由.【分析】第一问由根与系数关系及直线中的中点问题可得从而求出。第二问，由可得=2 即从而得到的最小值为0；此时，抛物线为第三问是有关抛物线的弦长问题，涉及到二次函数的单调性及二次函数背景条件下的三角形的面积求法。涉及的内容比较复杂，计算也有一定的困难。难度值大。【答案】（1）由得 设交点 由题意是方程的两个不同的实根.且 故；（3分）（2）.如图可知=2 即由（1）可知代入上式得：的最小值为0；此时，抛物线为（3分）（3）由（2）知成立.又抛物线与直线的交点在轴时这一交点为（0，1）即.或3.若则抛物线为方程为.过作轴，交于.与公共边上的高之和为

14、.而.而当时，此时.若，则抛物线为方程为. 同理可得：.而时，此时（2分）当时，由可知与公共边上的高之和为=（将代入）当时，.此时，由得.即点的坐 满足（2分） 【涉及知识点】二次函数的性质、二次函数与二元二次方程的关系、二次函数的单调性问题，涉及二次函数的面积问题。【点评】本题涉及了二次函数的性质及二次函数与二元二次方程的关系。二次函数的面积问题。本题的难度值大，是中考中具有很大的区分度的一题，特别是第一问的坡度就比较大，难以上手，第三问的计算复杂，本题能完整解答的学生有限。是一道较难试题。6、（2010湖北荆门，24，12分）已知一次函数y的图象与x轴交于点A与轴交于点；二次函数图象与一次

15、函数y的图象交于、两点，与轴交于、两点且点的坐标为（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEF的面积S；（3）在轴上是否存在点P，使得是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由。【分析】（1）由直线y可以求出A点坐标（2，0）点B（0，1）从而把B（0，1）和D（1，0）的坐标代入的解析式中，可以列方程组求出b=， c=1，所以（2）求四边形BDEF的面积，因为四边形不规则，不能直接用面积公式，可以用分割法来求出，四边形BDEF的面积S=SCAESABD，分别过点A（2，0）、B（0，1）、点D（1，0）、E（2，0）、C（4，3），所以AD=3，AE=4，OB

16、=1，C点纵坐标为3，则S=SCAESABD，S=，S=4.5,(3) 若是以为直角顶点的直角三角形,可以构造三角形相似来列方程可以直接求出OP的长,从此求出点P的坐标.也可以利用勾股定理的逆定理和勾股定理列方程来求出OP的长.但后者计算量较大.【答案】解：（1） 由题意知:当x=0时,y=1, B（0，1）,当y=0时,x=2, A（2，0）解得,所以（2）当y=0时, ,解得x1=1,x2=2, D(1,0) E(2,0) AO=3,AE=4. S=SCAESABD，S=，S=4.5, (3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CFx轴于F, RtBOPRtPFC,由题意得，

17、AD6，OD1，易知，ADBE，即,整理得:a24a3=0,解得a=1或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个.【涉及知识点】二次函数,图形的面积,三角形的相似,点的坐标,【点评】二次函数的考察注重了基础知识,直线和抛物线的简单综合,待定系数法和解方程组是基本的考点,学生还要会转化的思想,坐标的观点,相似的思想,掌握了这些数学思想就可以找到解决问题的思路.7、（2010湖北荆州，24，12分）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OABC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，OAB=45，E、F分别是

18、线段OA、AB上的两动点，且始终保持DEF=45（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；（3）当AEF是等腰三角形时，将AEF沿EF折叠，得到AEF，求AEF与五边形OEFBC重叠部分的面积【分析】（1）根据BD=OA=，AB=3，OAB=45，容易求得D的坐标；（2）利用角平分线、三角形的外角以及三角形相似的性质求解；（3）解决本题一定注意分类讨论思想的应用.【答案】解：（1）D点的坐标是.（2）连结OD,如图，由结论（1）知：D在COA的平分线上，则DOE=COD=45,又在梯形DOAB中，BAO=45,OD=AB=3.由三角形外角定理得：1=DE

19、A-45,又2=DEA-45，1=2, ODEAEF.，即：.y与x的解析式为：. （3）当AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.当EF=AF时，如图.FAE=FEA=DEF=45,AEF为等腰直角三角形.D在AE上（AEOA）,B在AF上（AFEF），AEF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积.AE=OA-OE=OA-CD=4-=,AF=AEsin45=.SAEF=EFAF=()=.（也可用）. 当EF=AE时，如图（3），此时AEF与五边形OEFBC重叠部分面积为AEF面积.DEF=EFA=45， DEAB ， 又DBEA，四边形DEAB是平

20、行四边形AE=DB=.SAEF=SAEF=AEEF.SAEF=1. 当AF=AE时，如图，四边形AEAF为菱形且AEF在五边形OEFBC内. 此时AEF与五边形OEFBC重叠部分面积为AEF面积. 由（2）知ODEAEF,则OD=OE=3， AE=AF=OA-OE= 过F作FHAE于H,则，.综上所述，AEF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或. 【涉及知识点】点的坐标 相似三角形 函数解析式 等腰三角形【点评】本题将函数解析式、相似三角形、图形的折叠、图形的面积融为一体，题型新颖，内容丰富，是个不可多得的好题，考查了动手操作能力、空间想象能力及分析与解决问题的能力，知识的综合性强，取材独

21、特，是一道不可多得的好题特别注意第（3）问运用分类讨论的数学思想，解答这类问题有一定的难度，需要经常性训练8、（本大题共1个小题，共12分）30（2010江西南昌，30，12分）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。实验与论证设旋转角A1A0B1=（ A1A0A2）, 3，4，5，6，所表示的角如图所示。（1） 用含的式子表示角的度数：3=_4=_5=_（2）图1图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2An1与正n边形A0B1

22、B2Bn1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2Bn1绕顶点A0逆时针旋转（）（3）设n与上述“3，4，”的意义一样，请直接写出n的度数；（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由【分析】（1）要求的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（）结合图形比较容易得到被垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（）要探究的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（）要探究正边形中被垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边

23、形及正奇数边形两种情形去思考与突破；【答案】解：（）（）答案不唯一，选图，图中有直线垂直平分证明：与是全等的等边三角形，点在线段的垂直平分线上，直线垂直平分（）当为奇数时，当为偶数时，（）存在，当为奇数时，直线垂直平分当为偶数时，直线垂直平分 【涉及知识点】正多边形、旋转、规律探究题【点评】本题是以旋转操作为背景的课题学习题，尤其是在这道题中，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度9、（2010湖北十堰，25，10分）（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(3m1

24、)x+2m2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m1)x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.【分析】（1）此小题要注意讨论m=0（一元一次方程）和m0（一元二次方程）两种情况；（2）因为由题意知| x1x2|=2，故利用韦达定理求出x1+x2和 x1x2的值再整体代入转化含m的方程并求解；（3）当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点，结合图形有三种情况，一种是直线y=

25、x+b仅与y1有两个交点（即与y2无交点），第二种是直线仅与y2有两个交点（即与y1无交点），第三种是直线y=x+b正好通过y1与y2的两个交点.【答案】解：（1）分两种情况讨论：当m=0时，方程为x2=0，x=2 方程有实数根当m0时，则一元二次方程的根的判别式=（3m1）24m（2m2）=m2+2m+1=（m+1）20不论m为何实数，0成立，方程恒有实数根综合，可知m取任何实数，方程mx2-(3m1)x+2m2=0恒有实数根.（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m1)x+2m2与x轴交点的横坐标.则有x1+x2=，x1x2=由| x1x2|=，由| x1x2|=2得=2，或m=1或m=所求抛物线的解析式为：y1=x22x或y2=x2+2x即y1= x（x2）或y2=（x2）（x4）其图象如右图所示.（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.，当y1=y时，得x23xb=0，=9+4b=0，解得b=；同理，可得=94（8+3b）=0，得b=.观察函数图象可知当b时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.由当y1=y2时，有x=2或x=1当x=1时，y=1所以过两抛物线交点（1，1），（2，0）的直线y=x2，综上所述可知：当b或b=2时，直线y=x+b与