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文档简介

1、第五节 泰勒公式教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。教学重点：泰勒中值定理。教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。教学内容： 一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当很小时, 有如下的近似等式: ， 。这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于的高阶无穷小; 其次是

2、用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式. 设函数在含有的开区间内具有直到阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于的次多项式来近似表达, 要求与之差是比高阶的无穷小, 并给出误差|的具体表达式. 我们自然希望与在 的各阶导数(直到()阶导数)相等, 这样就有 ， ， ， ， 。于是 ，。. 按要求有 ，。从而有 ， , . 即 于是就有 二、泰勒中值定理定理（泰勒中值定理）如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数, 则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中(介于

3、与之间).证明：由假设,在内具有直到阶导数,且两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间)两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间), 此下去,经过次后,得 所以则由上式得(介于与之间). 证毕说明：这里 多项式. 称为函数按的幂展开的次近似多项式, 公式 , 称为按的幂展开的阶泰勒公式, 而的表达式(x介于与之间). 称为拉格朗日型余项. 当时, 泰勒公式变成拉格朗日中值公式: (在与之间). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 如果对于某个固定的，当在区间内变动时, 总不超过一个常数, 则有估计式: ,及 . 可见, 将时, 误差是比高阶的无穷小, 即. 在不需要余项的精确表达式时, 阶泰勒公式也可写成 当时的泰勒公式称为麦克劳林公式, 就是,或 ,其中. 例1： 求的阶麦克劳林公式解： 由于所以而 代入公式,得例2：求的阶麦克劳林公

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