计算机图形学ppt课件 第八章自由曲线曲面

1、第八章 自由曲线曲面,8.1 曲线和曲面的表示,位置矢量 空间一点A，从原点O到A的连线OA表示的矢量。 曲线的表示形式 空间一点的位置矢量有3个坐标分量，而空间曲线则是空间动点运动的轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢量曲线，矢量方程为 参数方程为,8.1 曲线和曲面的表示,曲线的参数表示优点 有更大的自由度来控制曲线或曲面形状 可对参数曲线曲面方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面每个数据点进行几何变换 可处理斜率无穷大的情况 对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间 便于采用规格化的参数变量 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算,8.1 曲线和曲面的表示,曲线的矢函数求导

2、,又设r(u)=x(u),y(u),z(u)，因为,8.1 曲线和曲面的表示,所以 矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。当 ,c(u)/ u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。 曲线的自然参数方程 设在空间曲线c(u)上任取一点M0(x0,y0,z0)作为计算弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)到M0的弧长s作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数。,8.1 曲线和曲面的表示,曲线的法矢量 设曲线自然参数方程为c=c(s)，曲线的切矢为单位矢量，记为 因为(T(s)2=1，对左式求导，得到 说明T(s)与 垂直，由于 不是单位矢量，可以认为 其中单

3、位矢量N(s)为主法线单位矢量，简称为主法矢，N(s)总是指向曲线凹入的方向。K(s)为一标量系数，称为曲线的曲率，而 称为曲率矢量，其模就是曲线曲率,8.1 曲线和曲面的表示,记 称为曲率半径。 设垂直于T和N的单位矢量为B，称B为法线单位矢量或副法线单位矢量 由切线和主法线确定的平面称为密切平面，有主法线和副法线组成的平面称为法平面，由切线和副法线构成的平面称为从切面。,8.1 曲线和曲面的表示,曲面的切矢和法矢 空间曲面采用双参数表示：,当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空间曲线，称它为v线，同理v为常数时，则称为u线。 将矢函数S(u,v)对u求导，得切矢量,切矢的方

4、向指向参数u增长的方向，同理可求对v的切矢量。,8.1 曲线和曲面的表示,经过曲面上某点M(u,v)的切平面的法矢量为,8.1 曲线和曲面的表示,插值、逼近和拟合 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述几何形状的数据点。 控制点 指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点。 插值和逼近 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型严格通过已知的每一个型点。而逼近设计方法只是近似的接近已知的型值点。 拟合 指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。,8.1 曲线和曲面的表示,曲线段间的连续性定义 C0连续（0阶参数连续）前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。

5、 C1连续（一阶参数连续）两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数。 C2连续（二阶参数连续）两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数和二阶导数。,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,1、Bezier曲线定义 给定空间n+1个点P0,P1,Pn，称下列参数曲线为n次的Bezier 曲线。,其中 是Bernstein基函数,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,一般称折线P0、P1Pn为C(u)的控制多边形，称P0、P1Pn各点为C(U) 的控制顶点。控制多边形是C(u)的大致勾画，C(u)是P0、P1Pn的逼近。,P0,P3,P1,P2,图8.1 Bezier曲线,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线

6、,Bernstein基函数性质 非负性 规范性 对称性 递推性 端点性 最大性 可导性 升阶公式 分割性 积分性,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线性质 端点性 端点切矢量 端点曲率 对称性 几何不变性 凸包性 变差缩减性,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线矩阵表示 一次Bezier曲线,P1,P0,u,图8.2 一次Bezier曲线,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线矩阵表示 二次Bezier曲线,P2,P0,图8.3 二次Bezier曲线,P(u),Q2,P1,Q1,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线矩阵表示 三次Be

7、zier曲线,P3,P0,图8.3 三次Bezier曲线,P(u),P1,P2,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的De Casteliau算法 给定三维空间点P0、P1Pn以及一维标量参数u,假定：,并且 那么 即为Bezier曲线上参数u处的点：,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的De Casteliau算法,DeCasteljau(P,n,u,C) /*Compute point on a Bezier curve using DeCasteljau algorithm*/ /*input:P,n,u*/ /*Output: C(a point)*/

8、 For(i=0;i=n;i+) Qi=Pi; For(k=1;k=n;k+) For(i=0;i=n-k;i+) Qi=(1.0-u)*Qi+u*Qi+1; C=Q0; ,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线几何作图 利用De Casteljau算法可以计算参数u处的曲线点： 1、根据给定的参数u，在控制多边形的每条边上确定一分割点，使分割后的线段之比为u:(1-u),得到分割点为 由此组成一个边数为（n-1）的新多边形。 2、用相同方法对该多边形再次分割，得到分割点 形成另一个新多边形。 3、按相同的过程分割n-1次后，得到两个顶点 、 ，再分割得到所求的点即为所求的u处的

9、曲线点。,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,P0,P12,P21,P2,P11,P1,P01,P03,P3,P02,图8.5 Bezier 曲线的几何作图法,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线分割 几何作图法中计算得到的同时也将原Bezier曲线分为两个子曲线段。Bezier曲线分割是指给定两个参数值 ，求原Bezier曲线C(u),u属于0，1上由两点C(u1)、C(u2)所界定的那段子曲线段的控制顶点。,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的升阶 有时为了便于Bezier曲线修改，需要增加控制顶点提高灵活性，而不改变原曲线形状，即将n次的Bezier曲线

10、升级为n+1次的Bezier曲线，即,将左边乘u+(1-u)，然后比较 的系数，得到,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的升阶 说明： 1、新的控制点是老的特征多边形在参数i/(n+1)处进行线性插值的结果。 2、升阶后的新的特征多边形在老的特征多边形的凸包内。 3、升阶后的新的特征多边形更逼近Bezier曲线。,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,求Bezier曲线的控制顶点 已知Bezier曲线上给定参数处的位置矢量和参数阶次，利用Bezier曲线定义和端点特性，可列出一组方程，求解方程组，可得到相应的控制顶点。 例：已知三次Bezier曲线四个点为Q0(120,0),

11、Q1(45,0), Q2(0,45), Q0(0,120)对应参数u分别为0,1/3,2/3,1 解：三次Bezier曲线展开,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,Bezier曲线的拼接,P0,Q2,Q1,Q0,P3,P2,P1,Q3,图8.7 Bezier曲线的拼接,8.2 贝叶斯（Bezier）曲线,有理Bezier曲线,与Bezier曲线相比，除了可以调节有理Bezier曲线的控制顶点外，还可以调节其权因子的大小来改变曲线的形状，因此具有更强的造型功能。 其性质见P197,8.3 贝叶斯（Bezier）曲面,定义 在空间给定（n+1）（m+1）个点Pi,j (i=0,1n;j=0,1m)

12、，称下列形式为nm次Bezier曲面：,8.3 贝叶斯（Bezier）曲面,性质 1、端点 2、边界曲线 S(0,v)， S(u,0)， S(1,v)， S(u,1)为四条Bezier曲线 3、端点的切平面 4、端点的法线方向 5、凸包性 6、几何不变性 7、变差递减性,8.3 贝叶斯（Bezier）曲面,Bezier曲面的微分,8.3 贝叶斯（Bezier）曲面,Bezier曲面的法矢量 Bezier曲面的法矢量等于两个偏微分的叉积 Bezier曲面的升阶 Bezier曲面的几种表达形式 1、双一次Bezier曲面 2、双二次Bezier曲面 2、双三次Bezier曲面,8.4 B样条曲线,

13、Bezier曲线有许多优越性，但有两点不足： 1、特征多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶次，且在阶次较大时，特征多边形对曲线的控制将会减弱。 2、 Bezier曲线不能做局部修改，改变一个控制点的位置对整条曲线都有影响，其原因是基函数Berstein的参数u在0,1区间内均不为0。 1972年Gordon Rie-feld等人拓展了Bezier曲线，用B样条基函数代替基函数Berstein，即形成了B样条曲线、曲面。,8.4 B样条曲线,B样条基函数 给定参数u轴上的一个分割 由下列递推关系定义的Ni,p(u)称为U的p次(p+1阶)B样条基函数,其中p表示B样条的次数（即为P+1阶）

14、，ui为节点，U为节点矢量,8.4 B样条曲线,该表达式意味着： 1、Ni,0(u)是一阶跃函数，在 区间外均为0； 2、对于P0，Ni,p(u)是两个（p-1）次基函数的线性组合； 3、计算一系列的基函数，需要指定节点矢量U和次数P； 4、 Ni,p(u)是一分段多项式，仅仅在u0,um区间对其感兴趣； 5、ui,ui+1)称为第i个节点区段，其长度可以为0； 6、若 ，则称上式中除tj-1,tj+k以外的每一个节点为U的k重节点。,8.4 B样条曲线,B样条基函数的性质 局部性 非负性 规范性 分段多项式 连续性 可微分性,8.4 B样条曲线,B样条曲线定义 设P0,P1,Pn为给定空间的

15、n+1个控制点，U=u0,u1,um是m+1个节点矢量，称下列参数曲线为P次的B样条曲线，折线P0,P1,Pn为B样条曲线的控制多边形。,次数p，控制顶点个数n+1，节点个数m+1具有下列关系 m=n+p+1,8.4 B样条曲线,B样条曲线性质 严格凸包性 分段参数多项式 可微性或连续性 几何不变性 局部可调性 近似性 变差缩减性,8.4 B样条曲线,例题：给定控制顶点Pi(i=0,8),定义一条三次B样条曲线，这说明n=8,p=3,各种关系如下确定： 1、节点矢量 2、曲线定义域 3、当定义域u3,u9)内不含重节点时，曲线段数=n-p+1=6 4、当 时，曲线C(u)由Pi-p,Pi)=P

16、3,P6)4个控制顶点定义，与其他顶点无关。 5、移动P3时，将至多影响到定义在ui,ui+p+1)=u3,u7)区间上的那些曲线段的形状。 6、在u6,u7)上的三次B样条基及计算定义在u6,u7)上那段三次B样条曲线将涉及到ui-p+1=u4,ui+p=u9共6个节点。,8.4 B样条曲线,重节点对B样条曲线的影响 节点的非均匀或非等距分布包含两层含义：1、节点区间长度不等；2、重节点，即节点区间长度为0 1、重节点的重复度每增加1，曲线段数就减1，同时样条曲线在该重节点处的可微性或参数连续阶降1 2、当定义域端点节点重复度为p时，p次B样条曲线的端点将与相应的控制多边形的顶点重合，在端点处与控制多边形相切。 3、当端节点重复度为p时， p次B样条曲线插值于相应的控制多边形顶点。 4、当端节点重复度为p+1时， p次B样条曲线就具有和p次Bezier曲线相同的端点几何性质。 5、 p次B样条曲线若在定义域内相邻两节点都具有重复度p，可以生成定义在该节点区间内上那段B样条曲线的Bezier点。 6、当端点节点重复度为p+1的p次B样条曲