扩展Dicke模型的量子相变

1、3扩展Dicke模型的热力学极限性质13.1正常相23.2超辐射相43.3相变讨论83.4系统量子纠缠和量子关联133扩展Dicke模型的热力学极限性质 早在1954年Dicke23提出了N个两能级原子的集体相干辐射率超过单独的N个原子自发的辐射率，原子集体属于一种相干的辐射。把N个自发辐射的原子放在光学腔场里，所有原子和一个共同的辐射场发生作用，因此不能简单看成每个原子是独立的自发辐射态。由于原子之间的距离比辐射波长小很多，但是比粒子物质波长大许多，这样原子之间相互作用可以忽略，但是可以形成相干自发辐射波。他说，该系统中的这些相关多个原子态展示的非同寻常的大辐射率叫“超辐射态”(super-

2、radiance)。超辐射态是指原子集体激发的密度与N2成比例，而不是N，原子是相干辐射的。这样，由N个两能级原子和单模玻色场相互作用的系统叫做Dicke模型。这是凝聚态物理和量子光学关联的一个重要物理模型，比如在研究量子点中的超辐射行为641，玻色一爱因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光学腔场模拟强关联系统的行为66，量子电动腔场QED等系统中有广泛的应用。Dicke模型中原子看成是由N个相同但可区别的两能级原子形成的集体系统，并且每个原子的上下能级差为。Dicke哈密顿量描述玻色场与N个原子的相互作用如同在一个理想腔场里的偶极子作用。这里，多个两能级原子看成是由N个相同但可区别的集体系统，并

3、且每个原子的上下能级差为。其中，第i个原子可以描述成一个自旋的算符，遵从对易关系我们考虑单模波色场的情况，这些两能级原子与频率为的单模玻色场发生作用，耦合强度为，扩展的Dicke模型哈密顿量可以写成 （3-1）这里 ，是波色产生和湮灭算符，为原子-原子相互作用项，这里为Ising耦合。原子-波色场相互作用项出现的因为是因为偶极子耦合强度最初与成比例，是强场体积。强场里原子密度,因此耦合强度正比于，带入相互作用项我们得到因子。利用原子算符的集体算符形式，,这些算符遵从一般的角动量对易关系希尔伯特空间可以按照Dicke态展开，Dicke态是和的本征态：。上升和下降算符作用在这些态上得到：。是Dic

4、ke态的“共同量子数”，当N确定后，取值为，我们选择的最大值。个两能级原子系统可以看成是一个能级的系统，总的赝自选矢量长度。利用集体算符，上面的哈密顿量可以表示为 （3-2）热力学极限下，原子个数无穷，也就是说角动量，零温下，扩展Dicke模型在耦合强度会发生量子相变。为了描述这种相变，把哈密顿量分成两个有效哈密顿量，一个描述正常相的系统，另一个描述对称性破缺的超辐射相。首先角动量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示，并且玻色算符满足对易关系。将上述变化带入哈密顿量（3-2），可以得到两类玻色子的哈密顿量 （3-3）3.1正常相通过对哈密顿量（3-3）中含的项做简单的近

5、似处理：因为，所以令。我们得到系统正常相的有效的哈密顿量 （3-4）为了将这个含有双线性的玻色算符的哈密顿量对角化，引入以下两个具有玻色模式的位置和动量算符： 令，用上面的位置动量算符去表示正常相的哈密顿量（3-4）： （3-5）用下面的方法变化位置算符，即将平面旋转一个角度到另一个平面上，可以将上面的哈密顿量对角化：， ， （3-6）这里旋转角度满足条件：对于共振态，这时和。这样的变化消除了哈密顿量中的相互作用项，得到两种退耦合谐振子的形式 （3-7）现在引进两个新的玻色算符去量子化哈密顿量 （3-8）故对角形式的哈密顿量为 （3-9）这里使得哈密顿量对角化的玻色算符是玻色算符的线性组合。至

6、此，我们就得到了正常相的两支独立震荡模式的能量表： （3-10）如果激发态能量是实数，那么必须满足条件，等价于。因此可以看到哈密顿量仅在有效，即正常相。在正常相，系统的基态能量是： （3-11）这里忽略了高阶项，而上面的激发态能量是忽略了，也就是说在基态上面的激发态谱在是准连续的。3.2超辐射相为了描述超辐射相，考虑到场与原子系综都有宏观占据数，采用Holstein-Primakoff变换去转换哈密顿量（3-3），假设两类玻色子算符做如下变化严格来说，我们做上面的变换，其实就意味着平移参量和是，也就是说在时，他们满足非零宏观场。将上面的平移算符带入H-P变换的式子中，可以得到 （3-12）其中

7、根式为，并且。在热力学极限下将根式按照幂级数绽开至，则将式子（3-12）代入哈密顿量（3-3），这样我们得到了含有的双线性项的哈密顿量 （3-13）现在用平移算符将波色算符的线性项消除掉，所以 （3-14）平庸解是满足正常相哈密顿量的解，这里对超辐射相有意义的解是 （3-15）这里，而且令。利用这些参量，获得了有效哈密顿量 （3-16）为了促进这个双线性哈密顿量的对角化，我们引进如下定义的位置-动量算符： （3-17）这样超辐射相的有效哈密顿量变为： （3-18）虽然（3-17）式的位置-动量算符表达式与（3-6）定义的有所不同，但是这里的对角化过程与之前正常相的过程是类似的，也就是将平面旋转

8、一个角度到另一个平面上，使得上面的有效哈密顿量对角化， （3-19）这里旋转角度满足条件：为 （3-20）现在为了量子化哈密顿量，引进两个新的玻色算符： （3-21）故对角形式的哈密顿量为 （3-22）这里使得哈密顿量对角化的玻色算符是玻色算符的线性组合。至此，我们就得到了超辐射相的两支独立震荡模式的能量表： （3-23）如果激发态能量是实数，那么必须满足条件 （3-24）化简（3-24）可以得到 （3-25）现在讨论超辐射相下的临界值，所以我们得到了如下的图象图3.1通过上面的图象3.1，我们可以知道当为我们的超辐射相。对于超辐射相，系统的基态能量是： （3-26）从基态能量出发，临界点也可

9、以通过下面的方程组获得：可以解得：，与式子（3.15）一致。这样我们得到了一个二阶相变点。3.3相变讨论热力学极限下，系统用两个有效哈密顿量描述成两相，并给出激发态能量。在图3.2中我们给出了激发态能量关于原子相互作用和耦合强度的变化图象，依据无耦合激发态的性质，上下两支分别对应“原子”与“声子”分支。从图3.2可以看到，耦合强度接近于临界点时，声子模式的那一支激发态能量接近于0，即当时，,表明存在量子相变。而接近于。 图3.2：激发态能量关于原子相互作用和耦合强度的变化图象， 是正常相的激发态能量，是超辐射相的激发态能量。在原子相互作用取不同的值时，基态能量及其一阶导数，二阶导数关于耦合强度

10、的变化如图3.3，从左到右，原子相互作用从1逐渐减小到-5。能量及其一阶导在连续，而其二阶导数在的非连续性表现了二级相变现象。需要特别说明的是，当时，因为临界耦合强度，这时能量二阶导还是连续的。（这里相变点；这里避开了区域里的特殊情况。并且当时，因为利用无法解出实数相变点，所以没有去画出这种情况下的图象。但是如果利用相变点的话就可以画出时的图象）。图3.3：基态能量（蓝色线）及其一阶导数（棕色线），二阶导数（黄色线）关于耦合强度的变化图象，这里原子相互作用从1逐渐减小到-5。或者图3.3为了简单看出，也可以采用下面图3.31的图象，这里三条线分别对应。图3.31在热力学极限下，平均玻色子数随耦

11、合强度和原子相互作用变化的三维图象，以及在原子相互作用取不同的值时，角动量随耦合强度变化的图象我们在图3.4中也给出来了，从左到右，原子相互作用从1逐渐减小到-5。从图3.4我们可以看到，在临界点处，角动量从突然增大到，平均玻色子数从0突然增大到，出现相变现象。经过相变点之后，可以得到下面可观测量的解析结果表格3.1是基态能量，平均玻色子数，角动量的热力学极限解析分析结果。不管是从图3.4还是表格3.1，都可以看出平均玻色子数随的增大是发散的，而角动量随的增大是收敛的，且收敛于0。 图3.4：平均玻色子数随耦合强度和原子相互作用变化的三维图象；原子相互作用取不同的值时（从1逐渐减小到-5），角

12、动量随耦合强度变化的图象。或者图3.4为了简单看出，也可以采用下面图3.41的图象，这里三条线分别对应。图3.413.4系统量子纠缠和量子关联我们知道，量子纠缠和量子相变有紧密关系，纠缠可以来探测量子相变【87】。对于多体系统，量子态的纠缠是不容易表征的，Dicke多原子集体模型中，所有自旋完全一样，concurrence更合适来表征两体纠缠，不依赖所选择的两个自旋。因此我们将讨论多原子与玻色场多体系统中任意两个原子的量子纠缠-concurrence。量子纠缠就是子系统之间的某种量子关联，它会影响强关联系统的物理性质，尤其是量子相变。量子相变发生在零温时，这时系统处于基态，是一个纯态，其子系统

13、之间的关联与量子纠缠有很大的关系。量子纠缠是一种奇特的纯量子现象，反映了量子理论的本质一相干性，空间非局域性，广泛应用于量子通信和量子计算中。从实验观测角度来说，量子纠缠是测量中体现的关联，这种关联具有相干性，是量子关联，不是经典关联。由于Dicke模型的N个自旋的对称性，所以任意两个自旋的约化密度矩阵在基矢空间中总是可以表示成以下的X形式： （3-28）其中矩阵元的具体表达式为：这里，。，对于。对于两自旋X形式的密度矩阵，量子关联QD是可以被解析求解的。按照陈庆虎的文章中的计算，我们可以推导出（3-28）式中约化密度矩阵的矩阵元： （3-29）按照陈庆虎文章中推导出的量子关联QD和经典纠缠C

14、的表达式这里为了表述简单，我们将含有的根式重写为：。对于我们的扩展的Dicke模型，在图3.5中我们给出了量子关联QD和经典纠缠C,以及QD的一介导和C的一介导关于原子相互作用和耦合强度的三维变化图象： 图3.5：量子关联QD和经典纠缠C,以及QD的一介导和C的一介导关于原子相互作用和耦合强度的三维变化图象。或者按照，时，为正常相的猜想，可以得到下面图3.51图3.51N个自旋的体系中，对自旋以外的其他自旋自由度求迹，可以得到第和自旋的约化密度矩阵。定义自旋-翻转密度矩阵，那么自旋的concurrence定义为 （3-27）是的本征值，并且。如果，则自旋是纠缠的。对于N个自旋对称态的系统，和与自旋的选择无关，以下忽略角标。将集体算符带入上面纠缠