弹性力学基础(程尧舜_同济大学)课后习题解答

1、习题解答第二章2.1计算：(1)，(2)，(3)。 解：(1);(2);(3)。2.2证明：若，则。证：。2.3设、和是三个矢量，试证明：证：。2.4设、和是四个矢量，证明：证： 。2.5设有矢量。原坐标系绕轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。 解：， ， ，。 ， ，。2.6设有二阶张量。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量在新坐标系中的分量、和。解：变换系数同上题。，。2.7设有个数，对任意阶张量，定义 若为阶张量，试证明是阶张量。证：为书写简单起见，取，则，在新坐标系中，有 (a)因为和是张量，所以有比较上式和式(a)，得由于是任意张量，故上式成立的充要

2、条件是即是张量。2.8设为二阶张量，试证明。 证：。2.9设为矢量，为二阶张量，试证明： (1)，(2) 证：(1) 。 (2) 2.10已知张量具有矩阵 求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。 解：的对称部分具有矩阵 ， 的反对称部分具有矩阵 。 和反对称部分对应的轴向矢量为 。2.11已知二阶张量的矩阵为求的特征值和特征矢量。解：由上式解得三个特征值为，。将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为，。2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：，其中，和是实数，和是两个相互垂直的单位矢量。解：因为，所以是的特征矢量， 是和其对应的特征值。设

3、是和垂直的任意单位矢量，则有所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。令 ，则有 ，上面定义的是相互垂直的单位矢量。张量可以表示成所以，三个特征值是1、0和1，对应的特征矢量是、和。2.13设和是矢量，证明：(1)(2)证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。 (2) 2.14设，求及其轴向矢量。 解： 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 。2.15设是一闭曲面，是从原点到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点在的外面，积分；(2)若原点在的内部，积分。证：(1)当时，有 (b)因为原点在的外面，上式在所

4、围的区域中处处成立，所以由高斯公式得。(2)因为原点在的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。用表示由和所围的区域，在中式(b)成立，所以 即 在上，于是 。2.16设，试计算积分。式中是球面在平面的上面部分. 解：用表示圆，即球面和平面的交线。由Stokes公式得 。第三章3.1设是矢径、是位移，。求，并证明：当时，是一个可逆 的二阶张量。 解： 的行列式就是书中的式(3.2)，当时，这一行列式大于零，所以可逆。3.2设位移场为，这里的是二阶常张量，即和无关。求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。 解：， 3.3设位移场为，这里的是二阶常张量，且。请证明： (1)变形前

5、的直线在变形后仍为直线； (2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面； (3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成 (1) 其中是可变的参数。变形后的矢径为 (2) 用点积式(1)的两边，并利用式(2),得 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量平行，过矢径为的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。 (2)因为，所以可逆。记，则 (3) 变形前任意一个平面的方程可以表示成 (4) 其中是和平面垂直的一个常矢量，是常数。将式(3)代入式(4)，得 (5) 上式表示的是和矢量垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。 (3)变

6、形前两个平行的平面可以表示成 ， 变形后变成 ， 仍是两个平行的平面。3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案：能；能。3.5设位移场为，其中是二阶常张量，和是两个单位矢量，它们之间的夹角为。求变形后的减小量。 解：和方向的正应变分别为 ， 用和代替式(3.11)中的和，经整理，得的减小量为 又，所以 。3.6设和是两个单位矢量，和是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为，试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来，其中是面积变形前后的改变量

7、。 解：变形后，和变成 ， 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得 (a) 注意到 所以，从式(a)可得 利用习题2.4中的等式，上式也可写成 3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为，让坐标系绕轴转动角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。 解：， ， ，。 ， ， ， ，3.8在平面上，、和轴正方向之间的夹角分别为、，如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为、和。求平面上任意方向的相对伸长度。 解：在平面中，和方向成角的方向，其方向余弦为 ， 这一方向的相对伸长度为 (a) 利用上式，可得 ， 解之，得 ， 将求出的、和代回式(a)，得 3

8、.9试说明下列应变分量是否可能发生： ， ， 其中和为常数。 解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协调方程(3.34c)，可以发现，必须有。所以当和不为零时，上述应变分量是不可能发生的。3.10确定常数，之间的关系，使下列应变分量满足协调方程 ， ， ， 。 解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下： ，。 其它三个常数、可以是任意的。3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。 解：由于应变张量和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成 其中是任意的刚体平移，是任意的角位移矢量。3.12设，其中，

9、是常量，求位移的一般表达式。 解：所给的应变张量是， 很容易验证，且有 所以从式(3.36a),得 第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为： ， 试求法线方向余弦为，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。 解：应力矢量的三个分量为 ， 总应力。 正应力。 剪应力。4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。 证：利用应力张量的对称性，可得。证毕。4.3某点的应力张量为 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为，则按题意有 即 ， (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 上式有两个解：或

10、。若，则代入式(a)中的三个式子，可得，这是不可能的。所以必有。将代入式(a)，利用，可求得 。4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 ， 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。 解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。 在的边界上，有边界条件 ， 所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得 (1) 在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成 ， (2)斜面上的外法向方向余弦为 ， (3) 将式(2)和(3)代入边界条件，得 (4) 联立求解(1)和(4)，得 ，4.5图4.

11、9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ， ， 和分别是坝身和水的比重。求常数、，使上述应力分量满足边界条件。 解：在的边界上，有边界条件 ， 将题中的应力分量代入上面两式，可解得：，。 在左侧的斜面上，外法向方向余弦为 ， 把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：，。4.6物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。 解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为 或 按题意，边界条件为 因此 即 上式的指标形式为 。4.7如图4.10所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。 解：球面的外法向单位矢量为 或 当时，有边界条

12、件 即 或 。 当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为 即 或 。4.8物体的应力状态为，其中为矢径的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；(2)写出物体表面上的面力表达式。 解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以 所以，只要令，就有。 (2)表面上的面力为 或 。4.9已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。 解：应力张量的三个不变量为：，。 特征方程是 上式的三个根即三个主应力为和 4.10已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为 ， 求八面体各个面上的正应力和剪应力。 解：， ， 。4.1

13、1某点的应力分量为，求： (1)过此点法向为的面上的正应力和剪应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：(1)， 。 正应力为。 剪应力为。 由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。 (2)用表示主应力，则 所以，三个主应力是，。由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五章5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出柔度系数张量的具体表达式。 解： 所以 。5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力作用，如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压

14、力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。 解：取压力的方向为的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为、的方向。按题意有 ， 由胡克定律得 所以盒内侧面的压力为 体积应变为 最大剪应力为 。5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同性体是否具有这样的性质？试举例说明。 解：对各向同性材料，设是应力的主方向，是相应的主应力，则 (1) 各向同性的胡克定律是 将上式代入式(1)，得，即 由此可知，也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，应力主方向和应变主方向一致。 下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于

15、平面对称。因为，所以从式(5.14)得 若应变主坐标系也是应力主坐标系，则，即 上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。 解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系 (1) 从上式得 (2) （3） (4)式(2)、(3)、(4)就是用应变不变量表示应力不变量的关系。也容易得到用应力不变量表示应变不变量的关系。第六章6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的？ 解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。6.2设 其中、

16、为调和函数，问常数为何值时，上述的为无体力弹性力学的位移场。 解： 同理。 由上面两式及和是调和函数可得 (1) 因、为调和函数，所以 (2) 将式(1)、(2)代入无体力的Lam-Navier方程，得 上式成立的条件是 即 。6.3已知弹性体的应力场为 ，。(1) 求此弹性力学问题的体力场；(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。解：(1)将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为。(2)所给的应力分量和已求出的体积力满足Beltrami-Michell应力协调方程，所以给出的应力分量是弹性力学问题的应力场。6.4证明下述Betti互易公式，其中、和、分别为同一弹性体上的两

17、组面力、体力和位移。证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得。 证毕。6.5如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程其中，。证：无体力的Lam-Navier方程为又，所以Lam-Navier方程可以写成将所给的位移代入上式的左边，并利用，可得因为和是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。6.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为轴，弯矩所在的主平面为平面。试证下述位移分量是该问题的解 。 提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为 ， 其中是杆的横截面。 证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lam-Navie

18、r方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力： ，其它应力分量为零。 (a) 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为 ， 式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。 解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量 ， 满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为 利用题3.11的结果，可求得位移为 6.8弹性半空间，比重为，边界上作用有均布压力，设在处，求位移和应力。 解：由问题的对称性，可以假设 ， 把上述位移分

19、量代入Lam-Navier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成 解之得 其中的、是待定常数。由已知条件得 所以 应力分量为 ，。 在边界上的边界条件为：，。前两个条件自动满足，最后一个成为 即 所以最后得 ，； ，。6.9设一等截面杆受轴向拉力作用，杆的横截面积为，求应力分量和位移分量。设轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，且 。 答案：，； ，。6.10当体力为零时，应力分量为 ， ， ， 式中，。试检查它们是否可能发生。解：所给应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，故不可能发生。6.11图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为，偏心距为，杆的横截面积为，求应力

20、分量。 解：根据杆的受力特点，假设 ， 其中、是待定的常数。上述应力分量满足无体力时的平衡方程和协调方程，也满足杆侧面的边界条件。按圣维南原理，杆端的边界条件可以放松为 ， 前面两个条件自动满足，将应力分量代入后两个条件，可求得 ，其中。 所以，得最后的应力分量为，。6.12长方形板，厚度为，两对边分别受均布的弯矩和作用，如图6.8所示。验证应力分量 ， 是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。 解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调(Beltrami-Michell)方程，也满足板面上无面力的边界条件。板边上的边界条件可以放松为 ， 容易验证应力分量满足上述条件。同样可以说明应力分量满足板

21、边、上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。第七章7.1在常体力的情况下，为什么说平面问题中应力函数应满足的方程表示协调条件？ 解：在无体力的情况，不管是平面应力问题还是平面应变问题，用应力表示的协调方程都是 若把用应力函数表示的应力，即、代入上式，就可以得到 所以，上式就是用应力函数表示的协调条件。7.3设有任意形状的等厚度博板，不计体力，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力，求板中的应力分量。 答案：，。7.4图7.5所示悬壁梁受均布载荷作用，求应力分量。提示：假定和无关。 解：假定和无关，即，于是有 积分两次，得 (1) 其中和是的待定函数。将应力函数代入双调和方程

22、，得 上式对任意成立的充要条件是 ， (2) 解上面的前两式，得 ， 中略去了不影响应力的常数项。由式(2)中的第三个方程，得 所以，有 在上式中略去了不影响应力的常数项和线性项。将求出的函数、和代入式(1)，得 应力分量为 本问题的边界条件是： ， (3) ， (4) (5) , (6) 由条件(5)可求得 ， 由条件(3)和(4)可以求得 ， 将求得的常数代入应力分量表达式，得 (7) 由条件(6)中的第一个条件可以求得，由(6)中的第二个条件可以求得 最后的应力分量为 其中，是截面的惯性矩。7.5图7.6所示的简支梁只受重力作用，梁的密度为，重力加速度为，求应力分量。提示：假定和无关。

23、解：假设 即 经过和上题类似的运算，可以得到和上题相同的应力函数 应力分量为 由对称性可知，所以，由此得 ， 在梁的任意截面上，方向的合力为零，即 故有 ， 利用上面求得的结果，应力分量的表达式简化为 在梁的端部有条件 在梁的上下表面上有条件 ， 将应力分量表达式代入上述条件，可以求得 ， 最后的应力分量为 ，。7.6设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力，见图7.7，求应力分量。提示：假设或。 解：设，积分得 把上式代入双调和方程，得 因而有 ， 所以 ， 在和的表达式中略去了不影响应力分量的项。应力函数为 应力分量为 边界条件是 ， ， 把应力分量的表达式代入上述条件，可以求

24、得 ， 最后的应力分量为 ，。7.7图7.8表示一挡水墙，墙体的密度为，水的密度为，求应力分量。提示：设。 解：设，积分两次，得 将上式代入双调和方程，得 上式成立的充要条件是 ， 解上述三个方程，得 在上面的三个函数中，已略去了不影响应力分量的项。应力函数为 应力分量为 边界条件为 ， ， 把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得 ， 应力分量为 7.8图7.9所示的三角形悬壁梁只受重力作用，梁的密度为，求应力分量。提示：设该问题有代数多项式解，用量纲分析法确定应力函数的幂次。 解：应力与外载荷(即体力)成比例，所以任意一个应力分量都可以表示成如下形式 应力的量纲是力长度2，的量纲是力长度3

25、，和的量纲是长度，是无量纲的，所以若是多项式，则必是一个和的齐一次表达式。应力函数应是比高两次的多项式，故有 应力分量的表达式为 在的边界上，有 ， 由上面两式得 在斜面上，有 ， 斜面上的边界条件为 由此得 ， 故 ，。 把求出的常数代回应力分量的表达式，得 ， ， 。第八章8.1对平面应变问题，试证明极坐标形式的应变协调方程为 证：在极坐标系中，有所以协调方程是即或。证毕。8.3在内半径为、外半径为的圆筒外面套以内半径为的刚性圆筒，内筒的内壁受压力作用，如图8.17所示，求应力分量和位移分量。注：按平面应力问题求解。 解：这是一个整环的轴对称问题，应力分量可以表示成如下形式 ， 若不计刚体

26、位移，则位移分量的表达式为 ， 边界条件为 将和的表达式代入上面两个条件，可以求得 ， 将求出的常数代入应力和位移的表达式，得 ， 8.4设有一块内半径为、外半径为的薄圆环板，内壁固定、外壁受均布剪力作用，如图8.18所示，求应力和位移。 解：由对称性可知，极坐标系中的应力分量和无关。 平衡方程(8.8)中的第二式简化成 解之得 由边界条件得 即 所以。 平衡方程(8.8)中的第一式和应力协调方程简化成 ， 这是齐次方程组，有特解，这一特解满足边界条件。所以应力分量的解是 ，。 利用胡克定律，得 ， 由于对称性，位移分量和也和无关，所以几何关系简化成 ， 上面前两式的解是，第三式的通解是 由边

27、界条件可以确定常数，所以位移分量的解是 ，。 解法二：根据对称性，可知、和无关。利用胡克定律和几何关系，可得 ， 。 把上述表达式代入平衡方程，得 ， 由此解得 ， 利用边界条件可以确定常数、。8.5图8.19表示一尖劈，其一侧面受均布压力作用，求应力分量、和。提示：用量纲分析法确定应力函数的形式。 解：任意一个应力分量都可以表示成，应力和有相同的量纲，所以应是无量纲的。根据应力和应力函数之间的关系可知，应力函数应该是的两次表达式，即 将上式代入双调和方程，得 解出上式的解后，可得应力函数 应力分量为 边界条件为 ， 把应力分量的表达式代入上面的四个条件，可以求出常数、和。 最后的应力分量为

28、8.6图8.20所示的是受纯剪的薄板。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。 解：无孔时板中的应力分量为 ， 在极坐标系中的应力分量为 ， 假定小圆孔的半径为。由于孔的半径很小，且远离板边，所以孔的存在只会引起孔附近应力场的变化，因此这一问题的边值问题可以写成 根据边界条件和应力与应力函数之间的关系，设应力函数有如下形式 (a) 将上式代入双调和方程，可以得到 把上式的解代入式(a)，得 所以有 把上述应力分量的表达式代入边值问题中的边界条件，可以求得 ， 将求出的常数代入应力分量的表达式，得 在孔边上，有 ， 因此最大正应力是，最小正应力是。 解法二：将直角坐标系转动，得一新的坐标系。无孔时，在新的坐标系中有，。这一问题可以看成是方向受拉问题和方向受压问题的叠加，所以可以利用书中8.7的结果和叠加原理求解。在孔边上，有 ， 。8.7楔形体在侧面上受有均布剪力，如图8.21所示，求应力分量。提示：用量纲分析法确定应力函数的形式，或假定和无关。 解：用完全和题8.4中的分析方法相同的方法，可得 边界条件为 ， 将应力分量的表达式代入上面的条件，可以求出 ， 所以，有 ，。8.8在弹性半平面的表面上受个法向集中力构成的力系作用，这些力到原点的距离为，如图8.22所示，求应力分量。