4、让“数”与“形”和谐交融

1、让让“数数”与与“形形”和谐交融和谐交融 小学教师在“数与代数”领域中使用“数形结合”情况调查报告 内容摘要内容摘要：数形结合思想-就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象 思维结合。作者对小学教师在“数与代数”领域中使用“数形结合”的现状展开调查，旨在通过调查， 了解教师使用数形结合思想方法的意识、范围、方式的现状，提出在小学数学“数与代数”领域教学 中渗透、使用数形结合思想方法的具体建议，从而提升教师使用数形结合思想方法实行教学的水平。 关键词关键词：数形结合 数与代数 调查 一、问题的提出一、问题的提出 作者2006年1012月在杭州听了两节 “数与代数”领域的课，唐彩

2、斌老师的正归一应用题 和任敏龙老师的乘法分配律 ，这两节课最大的特色就是利用“数形结合”的思想来设计，新颖又创 新，引起作者对“数形结合思想方法”在“数与代数”领域应用的思考。 数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。 数形结合思想-就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。 “数形 结合思想方法”的重要性是不言而喻。在现阶段，小学数学教师对“数形结合思想方法”在小学数学 “数与代数”领域教学中使用的情况如何？现状产生的原因的是什么？教师应该如何实行有效的渗透 数形结合思想方法？本文将对教师在“数与代数”领域中使用“数形结

3、合思想方法”的现状展开调查， 并由此引发一些思考。 1、调查对象 本次调查随机抽样了瓯海区三所学校（实验小学、镇中心学校、村小）三、四、五年级学生总共 180名，这三所小学数学教师共32名。 2、调查内容 本调查内容分为三大块：使用数形结合思想方法的意识，使用数形结合思想方法的范围，使用数 形结合思想方法的方式。 3、调查方法：问卷调查和个别访谈相结合 4、调查过程 2007年3月56日，在学生不知情的情况下，随机抽取三所学校三、四、五年级共180名学生实行 调查。共发放问卷180份，回收有效问卷180份（占100） 。对三所学校教师的调查和学生的调查同步 进 全国小数会第十三届年会 浙江省参

4、评论文 行，共发放问卷32份，回收32份（占100） ，并对32位老师实行个别访谈。 三、调查结果与分析三、调查结果与分析 对回收问卷的逐项统计，发现当前小学数学教师对“数形结合思想方法”在“数与代数”领域教 学中的使用存有着以下几个较为普遍的现象： （一）主动使用意识淡薄（一）主动使用意识淡薄 无论是教师访谈，还是调查都表明：教师已经意识到数形思想方法的作用，但主动使用意识比 较淡薄。调查中我们发现： 1、意识到数形结合思想方法使用的重要性。 调查显示100的老师认为在小学数学“数与代数”领域教学中有必要渗透数形结合思想，100% 的老师认为在教学中有结合数形结合思想来实行教学（见表一） ，

5、而且对教师的访谈中了解到，绝绝大 部分老师都反映数形结合有助于学生把数这个抽象的概念与较为直观的形紧密地联系起来，产生思维 的火花，从而达到简化问题，解决问题的目的。由此可见，绝绝大部分的教师在调查中有意识到数形 结合思想方法在教学中的重要性。 2、主动使用数形结合思想方法的意识淡薄。 在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象相结合，感知与思维相结合 的体现。数与形相结合不但是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养水 平的需要。但从访谈中也了解到绝绝大部分老师表示对数形结合思想不是很了解，访谈中了解到绝绝 大部分老师表示没有想过使用数形结合的思想来实行

6、教学，调查中仅3.1的老师重视了数形结合思想 渗透和使用（见表一） 。由此可见，老师们在平时的教学中数形结合思想实行教学是以无意识为主，缺 乏主动使用数形结合思想实行教学的意识。 表一：教师调查统计表 题目选项人数百分率 （） A有必要 32100 B 一般 00 您觉得在小学数学“数与代数”领域 教学中有必要渗透数形结合思想吗？ C 没有必要 00 A 经常有 515.6 B 偶尔 2784.4 您在“数与代数”领域教学中有渗透 数形结合思想吗？ C 没有 00 A非常重视 13.1 B 一般 1443.8 您在“数与代数”领域教学中重视数 形结合思想的渗透吗？ C 不重视 1753.1 （

7、二）使用范围狭窄（二）使用范围狭窄 教师在“数与代数”领域教学中对“数形结合思想方法”使用范围比较狭窄，已成为一个非 常突显的问题。调查的32位教师中（见图二） ，选择只有在某一个方面使用数形结合思想方法的有17 位教师，占了总人数的53.1，选择两个方面来使用教师占了28.1，选择在三个方面来使用教师 占了12.5，选择在三个方面以上来使用教师仅占了6.3。从访谈中还了解到绝绝大部分老师只有 局限于在解决问题方面来使用比较多，能够看出教师在教学过程中数形结合思想方法的使用范围比 较狭窄。 图二：形结合思想方法在“数与代数”领域教学中使用情况统计图 A 一方面 B 两方面 C 三方面 D 三方

8、面以上 （三）体现方式单一（三）体现方式单一 调查中发现在“数与代数”领域中体现数形结合思想的形式中，选择只选择一种形式使用数形结合 思想方法的教师占了总人数的46.9，选择两种形式来使用的教师占了37.5，选择在三种形式来使用 的教师占了9.4，选择在三种形式以上来使用的教师仅占了6.3（见图三） 。能够看出教师在教学过 程中数形结合思想方法的体现方式比较单一，而且在只选择一种形式的15位教师中有12位是采用画线段 图的方式。由此可见，教师对数形结合思想的理解比较局限，导致了选择形式单一的局面。 图三：数形结合思想方法体现形式种类统计图 A 一种形式 B 两种形式 C 三种形式 D三种以上形

9、式 因为教师的主动使用数形结合思想方法的意识淡薄，在“数与代数”领域使用范围比较狭窄，体 现方式比较单一，那学生的问题自然显现出来：表四显示在平时的数学学习过程中只有67的学生会 经常会借助图形来理解问题，有439的学生从来没有借助图形来理解问题。在调查的180人中只有37 人在解决问题有困难的时候才会选择画图来协助自己理解题目，仅占了20.6，从两组数据反映出学生 主动使用的意识也比较淡薄。调查中还了解到在解决问题过程中180位学生只有42位学生使用数形结合 思想方法来协助自己理解，占了总人数的23.3 6.36.3 12.512.5 28.128.1 53. .1 46.9 6.3 37.

10、537.5 9.4 表四：学生调查统计表 四、思考与建议四、思考与建议 根据以上的调查和分析结果，教师要增强学生主动使用数形结合思想方法的意识，丰富数形结 合思想方法的方式和内容，促动学生使用数形结合思想方法的水平的提升。具体能够采取以下措施。 （一）（一） 强化意识强化意识 体会作用体会作用 我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分 家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、 明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要 性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在

11、数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系， 协助学生逐步树立起数形相结合的观点，提升主动使用的意识，并使这个观点扎根到学生的认知结 构中去，成为使用自如的思想观点和思维工具，从而提升学生数学修养与解题水平。 例如，在教学“小明家鸡有5只，鸭有7只，鸭比鸡多几只？”这个个问题的时候，作者就有意 识的问学生， “如果用画图的方法来表示，你有困难吗？你有什么办法解决？”学生合作讨论，想到 了用、等示意图来代替鸡、鸭实物图，从图中一眼看出鸭比鸡多，多2只。然后教师在“5” 、 “7”后面添上0，变成“50” 、 “70” ，学生感受到示意图直观形象，不但能看出谁比谁多，还能看出 多多少？但当数据较

12、大时也有局限性，从而想到了类似下面的图 。 还有人想到了线段图，整理成： 题目选项人数 百分率 （） A有 12468.9 B 没有 126.7 你觉得图文结合对于理解问题有协助吗？ C 无所谓 4424.4 A请教老师或同学 11664.4 B 画图分析 3720.6 当你在解决问题的过程中遇到困难的时候，你 会借助什么？ C其他 2715 A经常 126.7 B偶尔 8949.4 你会借助图形来分析题目吗？ C 没有 7943.9 有借助数形结合 4223.3 在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子 的 。如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克 3 5 水？ 没有借助数形结合 13876.

13、7 50只 鸡： 70只 鸭： 在这样的探究过程中，教师把“数学结合思想方法”有意识的渗透在学生获得知识和解决问题的 过程中，充分利用直观图形，把抽象内容的数量关系视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显，让学 生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生 所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。 （二）扩大范围（二）扩大范围 广泛应用广泛应用 以数与形相结合的原则实行教学，这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的 观点钻研教材，努力挖掘教材中能够实行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内 容实行数

14、形结合思想方法渗透。 “数形结合思想方法”包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在 小学数学“数与代数”领域教学中，用得最多的是前者，我们能够把数学结合思想方法渗透在“数与 代数”领域中的每一内容。 1 1、数的理解方面，对“数与代数”领域的“数的理解”中利用数形结合思想方法教学，例如在教 学1000以内数的理解这节课教学中利用小立方体有效的协助学生构建知识，以及初步感知十进制 的计数方法。数数的难点就是接近整百的数，学生无法感受抽象的数数之间满10的变化，那么我们就 将数数的抽象思考方式放大，将思维暴露出来，让学生通过观察小方块的变化，一对一的数数，在数 到9变成10时，通过演示让学生理解

15、10的由来同时强化十进制关系。同时通过“形”来感知数的多少， 既形象又深刻，培养了学生良好的数感。 2、数的运算方面，借助“形”来协助学生理解非常重要，除了我们常用的能够利用小棒等实物或 图形来理解算理外，我们还能够丰富其内容，比如：“20 以内加法”的教学中能够渗透数形结合思想， 画一个坐标轴，横 5，竖 8，加起来 13，对形数结合的思想实行早期渗透和培养。 再比如在问题解决方面，借助数形结合能化抽象为形象，协助学生建立直观模型，让数量关系更 形象、更清晰。例如作者在教学“一个数是另一个数的几倍？”问题时，设计以下三个片断： （1） 摆1架飞机用了（ ）根小棒，10根能够摆（ ）架飞机，也

16、就是10是5的（ ）倍。 （2） （3） 以上三个环节充分利用直观的“形”逐步渗透抽象的“1倍量” ，协助学生建立数量关系，用小棒 摆“飞机” ，学生通过用小棒摆“飞机”的操作中初步感知“1倍量”形成的过程，既直观又形象，仅 接着出示30根小棒摆成6架飞机，进一步感受“1倍量”的重要性；小朋友与小狗比身高图，借助南瓜， 3个南瓜的高度跟小狗高度一样，用具体形象的情境再次体验抽象的“1倍量” ；第三个环节再抽象到线 段图。整个过程数形结合，在直观图示的导引下，将“求一个数是另一个数的几倍” 转化为“求一个 数里面有几个几”的问题，使问题化难为易，化抽象为具体。 3、常见的量方面，例如在教学24时

17、记时法的教学中能够利用钟表上的刻度，1个大格代表1小 时，24小时就是钟面上的时针走了2圈，同时形象的理解了0时和24时在同一点上，让具体的“形”与 抽象的数相辅相成。 4、式与方程方面，例如，在理解方程的教学过程中，能够利用天平称中的等量协助学生理解方程 中的等量关系。 5、正比例、反比例方面，能够利用有坐标系的方格纸上画图的方式，让数形结合根据给出的有正 比例关系的数据的其中的一个量的值来估计另一个量的值。 6、探索规律方面，例如，理解找竖列1，3，6，10的规律时，能够利用图 形： 。数形结合让事物中隐含的规律形象化，直观化，协助学生寻找和 发现规律，并在脑中留下深刻的印记。 以上例子仅

18、是代表而已，只要我们留意，数形结合思想方法存有“数与代数”领域的每一个角落。 （三）丰富方式（三）丰富方式 形式多样形式多样 数形结合的思想方法是数学学科里最常用的一种方法，它包含了转化、配方、分类讨论、方 程思想等数学思想方法，可见数形结合思想方法是数学中极具综合性的思想方法。在平常的教学活动 中让学生学到数形结合的方法。教师能够采用多种方式精心组织学生训练，让学生置身于具体的教学 过程，才能在教师的引导下逐步领悟，理解和掌握。能够采用以下方式： 1、使用或联想实物。 2、画图。画图的形式很多，包括画线段图、画图形、画示意图、画面积图、画点子图、集合图等 等。 3、利用数轴。数轴是体现数形结

19、合思想的一个重要方法。利用数轴，找到实数与数轴上的点的对 应关系，让数与数轴这个“形” ，紧密融合在一起。例如，作者在教学小数大小比较时，因为学生 在学习本节课的内容之前仅仅初步的理解了小数，还没有深入的学习小数的意义，所以学生在总结比 较的方法时用抽象的数学语言比较困难。当文字的表述有困难时，利用数轴能很好的解决这个问题。 因为对于每一个小数，数轴上都有唯一确定的点于它对应，所以，两个小数的大小比较，是通过这两 个小数在数轴上的对应点的位置关系实行的。借助数轴让学生理解小数的大小，知道在数轴上越 往后这个数越大，越往前这个数就越小。这节课还设计了这样一道练习： 0.3 ( ) ( ) ( )

20、 ( ) 0.2 在数轴上找出小于0.3大于0.2的小数以及能找出几个，这个练习借助数轴，让抽象的数学变得具体、 形象。 4、几何模型。例如，教学“1 ” ，对于小学生来说因为逻辑推理有一定的难度， 1 2 1 4 1 8 1 2n 1 2n 一批中下学生不容易明白，作者采用几何模型实行教学，学生都轻松的掌握了。 将上面的算式构造成下面的几何模型图，把一个大正方形看成单位“1”(如左 图)，一次又一次地实行平均分。从图上很容易看出1 。 1 2 1 4 1 8 1 2n 1 2n 使用数形结合思想方法能够把代数与几何沟通了，使形直观地反映数内在的联 系，拓宽思路，把复杂问题简单化，从而顺利且快速的解决问题，使数学知识变的更有生命力，让人回 味无穷。我们提倡多少方式来渗透数形结合思想，要培养学生胸中有图见数想图，以开拓学生的思维视 野。 五、进一步讨论的问题 1、 “先数后形”与“先形后数”的表现如何协调？ 在数形结合的教学过程中，应该慎重考虑“先数后形”还是“先形后数” 。两者表现的结果是不一 样的，如何把握？还要继续研究。 2、数形结合思想和抽象逻辑思维训练如何平衡？ 数形结合思想有助于学生思维更形象，数形结合思想的方法不是万能妙药，提升学生的抽象逻辑思 维水平也是非常重要的，两者如何平衡？还有待于进一步研究。 【参考书目参考书目】 1 蒋巧君：数