勾股定理导学案

1、人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案 学校：凤凰一中 授课教师： 班 组 学生姓名 课题：18.1 勾股定理（1）一、今天学什么？1、 了解毕达哥拉斯及勾股定理的内容，学会用多种拼图方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。2、 通过实例进一步了解勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算，感受勾股定理的应用价值。二、怎样学习？1、 准备四个全等的直角三角形纸片（标出两直角边a、b和斜边c），并专心阅读课本P62P66内容.2、 利用所准备的三角形纸片进行拼图，从面积相等的角度列出等式，对该等式进行变形得出一个最简结果，尝试对该结果用语言进行表述.3、 看看自已的同伴有哪些拼图？

2、有哪些可以借鉴的地方？1B30AC三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）含有一个 的三角形叫做直角三角形.已知RtABC中的两条直角边长分别为a、b ,则SABC .已知梯形上下两底分别为a和b，高为（ab），则该梯形的面积为 .完全平方公式：（ab）2 .在RtABC中，已知A30，C90，直角边BC1，则斜边AB .四、体验学习、课本导学（请认真阅读课本P62P66的内容，围绕学案中的问题互学、群学，讨论、 探究吧！记住：知识不会施舍给懒汉哦！）思考与探究1、右边这个人是 （公元前572前492年），他是古希腊著名的 . 2、我国古代所讲的“勾、股、弦”分别指的是Rt的 .3、2

3、002年在北京召开的国际数学家大会的会徽形如以下三个图中的 ，它是由四个 的 所围成的正方形图案赵爽弦图.显然4个 的面积中间小正方形的面积该图案的面积.即4 2c2,化简后得到 .这一结果用文字表达为 .4、利用图2，图3或其它拼图仿上述推导，能否得到相同的结果？和同学一起动手试试看！ abcabccaaaabbbbccccaaaabbbbccc（图1）（图2）（图3）回顾与归纳1、勾股定理的内容是： .2、勾股定理的作用是： .3、证明勾股定理的主要方法是： .尝试与练习1、 如图一，求出斜边AB的长度 ；如图二，求出斜边AB的长度 ；直角边BC的长度 .2、 在RtABC中，ACB=90

4、，AC3k，BC4 k，求出AB .3、 已知：如图，在ABC中，C=60，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。解：学习测评课本P69页习题18.1第1、2、3、5题1、本节课的内容都学会了吗？ 2、还有哪些不懂？ 3、做错的题目有： 原因： 人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案 学校：凤凰一中 授课教师： 班 组 学生姓名 课题：18.1勾股定理（2）一、今天学什么？1、 进一步熟悉勾股定理并会用勾股定理进行相关的计算.2、 树立数形结合的思想、分类讨论思想.3、 添加辅助线，创造直角三角形解答一此实际问题。二、怎样学习？1、 回顾勾股定理的具体内容，明确直角三角形的

5、三边关系，在用勾股定理计算时要注意分清直角边和斜边.2、 在已知直角三角形的两边要求第三边时，一定要先分清已知两边的属性，譬如：当较长的边为直角边时，则第三边必为斜边；当较长的边为斜边时，则第三边心为直角边.解这类题时要分类考虑，不可漏解.3、解答问题时一定要重视图形的作用.DABC三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）1、勾股定理的具体内容是： ，它反映了直角三角形的 关系，该定理只能在 三角形中使用。2、在RtABC中：已知C90，a6,b8,则c ；已知B90，a6,b8,则c ，在中c是 边，在中c是 边。3、如右上图所示：在RtABC中，已知ACB90，AC3cm，BC4c

6、m，则RtABC的面积为 cm2，AB cm，AB边上的高AD cm。四、体验学习（围绕学案中的问题互学、群学,讨论、探究吧!记住:知识不会施舍给懒汉哦!） 1、思考与探究 问题（1）：已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边长.温馨提示：两已知边长的属性是不清楚的哦！动手画出图形，看看有几种可能情况. BACPP问题（2）：如图所示，在ABC中，BAC=120，AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒1cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。温馨提示：作BC边的高AD，在RtADC中求出DC进而可得BC之长，设APxcm,则PC2 xcm，解：回顾与归纳1、运用勾股定理计算

7、时一定要分清直角三角形的 的属性，在属性不清楚的条件下一定要做好 讨论.2、在生活中，若遇到要求某一线段的长度，我们往往会把它转化为求 边长去解决，当 不出现时，可以通过添加 的方法构造出我们所需要的 ，然后用 列出方程即可使问题得到解决.尝试与练习1填空题，在RtABC，C=90，如果a=7，c=25，则b= ；如果A=30，a=4，则b= ；如果c=10，a-b=2，则b= ；如果a、b、c是连续整数，则abc= 。 2已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，ADDC， B=60，CD=1cm，求BC等于多长时，ABAC。解:学习测评 课本P69页习题18.1第9、10题1、本节课的内容都

8、学会了吗？ 2、还有哪些不懂？ 3、 做错的题目有： 原因： 人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案 学校：凤凰一中 授课教师： 班 组 学生姓名 课题：18.1勾股定理（3）一、今天学什么？1、 会用勾股定理进行有关计算.2、 能从实际实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化与数形结合的思想方法.二、怎样学习？3、 增强合作交流的意识和品质，感受探究成功的快乐. 1、 认真阅读课本第P6667页的两个探究，结合实际物体想象事情发生变化的过程，抓住在这一变化过程中所包含的直角三角形模型，弄清直角三角形的边长与问题之间的内在联系.30ABC（2）CAB（3）912CAB（1）

9、1213(4)ABCD3m6m2、 把自己阅读的感受、想法、困惑多和同学交流，争取得到同学的启示和帮助.三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）1、如图（1）所示：AB12，BC13，则AC ；如图（2）所示：A30，AB2，则 AC ；如图（3）所示：AB9，BC12，则AC .2、如图（4）所示：这面矩形墙的对角线的长度为 米.3、古代 话：某人拿一竹杆进屋，横拿不能进门，竖拿也不能进门，他干脆将竹杆锯断，这才得以进屋. 此事若让你去做，你会 .四、体验学习、课本导学（请认真阅读课本P66P67的内容,围绕学案中的问题互学、群学,讨论、探究吧!记住:知识不会施舍给懒汉哦!）1m2m

10、DABC思考与探究 例1 (课本P66页探究1：）解： 例2 (课本P67页探究2：）有人说梯子的底端外移了0.5米，因为梯子的顶端下滑的距离和底端外移的距离一定相等，这种判断对吗？请你通过计算加以说明.ABCDO解：回顾与归纳1、已知矩形的长和宽，求对角线长需要用到 .2、求直角三角形的一条边长必需知道它的 条边长或已知一个 角和另一条边长.3、一个猜想是否正确不能凭空臆断，一定要通过科学严密的论证，才能下 .4、日常生活中求某一线段的长度，可先建立 的模型，然后把问题转化为求 .尝试与练习 1如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。 2如图

11、，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 3）如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是 万元.学习测评课本P68页练习第1、第2题.1、本节课的内容都学会了吗？ 2、还有哪些不懂？ 3、做错的题目有： 原因： 人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案 学校：凤凰一中 授课教师： 班 组 学生姓名 课题：18.1勾股定理（4）一、今天学什么？1、 利用数形结合的思想进行相关作

12、图. 2、掌握3、会用上述公式构造勾股定理的数学模型，在数轴上表示的点.二、怎样学习？1、 认真阅读课本P68P69的内容，弄清课本作图的局限性.2、 理解勾股定理的变式（上面所提到的公式）与直角三角形三边的对应关系. 3、知道任意自然数n都可分解成两个自然数的积(当n是质数时只有一种分法：nn1).三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）1、若a2b2c2,则c2a2 ；c2b2 ； aa02、1394，即 2；若以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为。同理以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为。3、242 3 4 24 ；13 ；17 。四、体验学习、课本导学（请认真阅

13、读课本P68的探究3,围绕学案中的问题互学、群学,讨论、探究吧!记住:知识不会施舍给懒汉哦!）思考与探究1、 如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的，其中是直角边长为1的等腰直角三角形。那么OA1 ,OA2 ,OA3 ,OA4 ,OA5 ,OA6 ,OA7 ,OA14 , ,OAn .2、在数轴上找出表示的点。5O12343、利用课本上的方法能找出表示和的点吗？ 我的回答是： ，原因是 4 、课本拓广 ： 由上式我发现：是直角三角形的一条直角边，该直角三角形的斜边是 ，另一条直角边是 。如果设，那么n ，也就是说，如果能把n分解成 的积的形式，那么就会成为直角三角形的一条直角边。由此我们

14、可在数轴上找出任意一个无理点。比如在数轴上找表示的点：O2.5123AB0.5C632，即作法：作OC 数轴，在OC上截取OA .以点 为圆心， 为半径画弧交数轴于点B，则OB .回顾与归纳1、这节课我们学习了在数轴上 2、找无理点n为自然数的方法是： 尝试与练习 在数轴上找出表示的点.1、本节课的内容都学会了吗？ 2、还有哪些不懂？ 3、做错的题目有： 原因： 人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案 学校：凤凰一中 授课教师： 班 组 学生姓名 课题：18.2勾股定理的逆定理（1）一、今天学什么？1掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.2探究勾股定理的逆定理的

15、证明方法.3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.二、怎样学习？ 1、 认真阅读课本P73P74例1，记住古埃及人画直角的方法.2、 重视动手操作，比如按P73页的第二、三自然段提供的数据画三角形，然后用直角三角板测量最大的角，发现所画的都是直角三角形，由此猜想满足“a2b2c2”的三角形是直角三角形. 3、定理的证明是个难点，要充分与同学合作并结合直角三角形全等的判定方法进探究.三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）1、已知直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c. 当a3，b4时，c ；当a2.5，b6时，c ；当a4，b7.5时，c .2、直角三角形中最大的边是 边，最大的

16、角等于 角.3、直角三角形全等的判定定理有：sss、 、 、 、 .4、勾股定理的题设是 ，结论是 ；若把它的题设和结论反过来叙述，应该说成： 四四、体验学习、课本导学（请认真阅读课本P73P74例1的内容,围绕学案中的问题互学、群学,讨论、探究吧!记住:知识不会施舍给懒汉哦!） 思考与探究 1、画ABC，使a3，b4，c5，量出C的度数；若改a2.5，b6，c6.5，再量出C的度数.（一定要画准确哟，别当懒汉哦！）如果三角形的三边长a、b、c满足 a2b2c2，那么这个三角形是 .猜 想我第一次画图我发现C 度，第二次画图我发现C 度。于是： 这个猜想的题设是： 结论是： 该猜想的题设和结论

17、与勾股定理的题设和结论正好 . 2、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做 命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 命题.譬如：原命题：若ab,则a2b2；逆命题： .（正确吗？答 ）原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ）ABCcabcabBAC由此可见：原命题正确，它的逆命可能 也可能 .正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题3、验证猜想 （与同学们一起共同功克P74的探究吧！）已知：ABC中，BC2AC2AB2； 求证：C90.证明：作RtABC,使C90，BCBCa, ACACb. 通过证明，我发现勾股定理的逆题是 的，它也是一个 ，我们把它叫做

18、勾股定理的 .回顾与归纳1、勾股定理是直角三角形的 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的 定理.2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是：先算两条短边的 再算最长边的 ；把 作比较；作出 .3、勾股数的特征：是 个 数；满足条件 .尝试与练习1、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是 ，这个命题是 命题； 2、“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是 ，这个命题是 命题.3、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形（注意书写格式哟！）a7,b24,c25. a60,b50,c40. 1、本节课的内容都学会了吗？ 2、还有哪些不懂？ 3、 做错的题目有： 原

19、因： 人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案 学校：凤凰一中 授课教师： 班 组 学生姓名 课题：18.2勾股定理的逆定理（2）一、今天学什么？1灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题；2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识，感悟两个定理的应用价值.二、怎样学习？ 1、弄清勾股定理与它的逆定理的具体内容、作用和相互关系.2、在军事和航海上经常要确定方向和位置，因此要会画方位角. 3、认真审题，画出图形，明确解决问题的关键.三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）1、 在RtABC中，C90，若a5,b12,则c ；2、在ABC中，若a5,b12,c13, 则C 度 .3、请

20、写出三组不同的勾股数： 、 、 .4、勾股定理是直角三角形的 定理；它的逆定理是直角三角形的 定理.5、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：南偏东30；西南方向；北偏西60.四体验学习、课本导学（请认真阅读课本P75例2的内容,围绕学案中的问题互学、群学,讨论、探究吧!记住:知识不会施舍给懒汉哦!）QR图18.23 思考与探究 例1（见课本P75页例2）在图18.2-3中，港口的位置在 处，QPS 度，在RPQ中，PQ 海里、PR 海里、QR 海里，其中最大的边是 .本例要解决的的问题是： .通过计算发现PQ、PR、QR满足的关系式为： ，于是由 可知QPR 度，进而求得RPS 度，即“海天

21、”号沿 方向航行.例2：一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形是直角三角形吗？解：设这个三角形的三边分别为a、b、c，且abc， 则由题意得方程组： 解方程组得： ， 这个三角形 。 回顾与归纳以上我们学习了 定理的应用，该定理是直角三角形的一个 定理.用它可以判断一个三角形是不是直角三角形，具体的判断步骤是 . 尝试与练习1把一根长为24米的绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 、 、 ，此三角形的形状为 .CABEN132 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从

22、相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n，问：甲巡逻艇的航向？解：1. 本节课的内容都学会了吗？ 2. 还有哪些不懂？ 3.做错的题目有： 原因： 人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案 学校：凤凰一中 授课教师： 班 组 学生姓名 课题：18.2 勾股定理逆定理（3）一、今天学什么？1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题； 3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、怎样学习？ 1、弄清勾股定理的逆定理的具体内容、作用及应用的

23、基本步骤； 2、记住一些常用的勾股数（譬如：3、4、5；6、8、10；9、12、15； ；5、12、13等等. 3、认真审题，充分发挥勾股数的作用,以便建立起直角三角形的模型.三、知识导航与回顾：（用学过的知识完成下列填空）1、已知勾股数a、b、c且abc，若a3,b4,则c ；若a5,b12,则c 2、在ABC中已知A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=，c=，A40064则C 90；若a=5，b=9，c=7，则B 90（填“或”）3、如图，64和400分别表示所在正方形的面积，则正方形A的面积为 .4、配方：（a210a ）( )2；（b224b ）( )2 5、若（a5)20，

24、则abc .四、体验学习、课本导学（围绕学案中的问题互学、群学,讨论、探究吧!记住:知识不会施舍给懒汉哦!） 思考与探究1、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2b2c2338=10a24b26c。试判断ABC的形状。分析：本题给出的条件是a2+b2+c2+338=10a+24b+26c（三边关系），要解决的问题是判断ABC的形状.于是可考虑用勾股定理的逆定理解决之。由于条件式中含有a、b、c的平方项和一次项，配方得：（a210a ）（b224b ）（c226c ）0，即（a ）2（b ）2（c ）20,由非负数性质得：a ；b ；c . ，ABC是 ，其中C 度.2、如

25、图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90.根据小明的测量数据，你能算出这块菜地的面积吗？341213解：回顾与归纳、以上我们学习了用 和它的 解决一此实际问题，这两个定理是一对黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目.、用这两个定理解题，除了要熟记一些常见的勾股数外（例如：3、4、5；6、8、10；，5、12、13等等）还要注意添加辅助线以便构造 这一重要的数学模型. 尝试与提高1若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）0，则

26、ABC是（ ）A等腰三角形； B直角三角形； C等腰直角三角形； D无法判断。2若ABC的三边a、b、c满足a2b2c2506a8b10c，则SABC .3已知：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD。求证：ABC是直角三角形。 选作 如图，点O是等边ABC内一点，OA3，OB4，OC5，求AOB的度数.ABCO3451. 本节课的内容都学会了吗？ 2. 还有哪些不懂？ 3.做错的题目有： 原因： 人 教 版 八 年 级（下）数 学 导 学 案 学校：凤凰一中 授课教师： 班 组 学生姓名 课题：勾股定理复习一、今天学什么？1掌握直角三角形的边、角之间的依存关系；树立数形结合的思想.2进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决实际问题.3掌握勾股定理的逆定理；理解原命题、逆命题、逆定理的概念.二、怎样学习？ 1、认真阅读课本P79页的内容，弄清本章的知识结构.2、掌握勾定理和它的逆定理的具体内容和作用. 3、记住一些常用勾股数；并能根据解决问题的