初中几何专题提高讲义第六章 将军饮马

1、第六章 将军饮马“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。模型1 定直线与两定点模型作法结论当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+ PB的最小。当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。作点B关于直线的对称点B，连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB。当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。连接AB

2、并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。作点B关于直线的对称点B，连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。模型实例例1如图，正方形ABCD的面积是12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 。例2如图，已知ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，BCD=15，P为CD 上的动点，则的最大值是多少？热搜精练1如图，在ABC

3、中，AC=BC=2，ACB-90，D是BC边的中点，E是AB边 上一动点，则EC+ED的最小值是 。2如图，点C的坐标为（3，），当ABC的周长最短时，求的值。3如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一 动点，求的最小值与最大值。模型2 角到定点模型作法结论点P在AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PCD周长最小。分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PCD周长最小为PP。点P在AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。作点P关于OB的对称点P，过点P作PCOA交O

4、B于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为PC。点P、Q在AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P、Q，连接PQ，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为PQ，所以四边形PQDC的周长的最小值为PQ+PQ。模型实例例1如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一 点Q，OB上有一点R。若PQR周长最小，则最小周长是多少？热搜精练1如图，MON=40，P为MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点， 当PAB的周长取最小值时：（1）找到A、B点，保留作图痕迹；（2）

5、求此时APB等于多少度。如果MON=，APB又等于多少度？2如图，四边形ABCD中，BAD=110，B=D=90，在BC、CD上分别 找一点M、N，使AMN周长最小，并求此时AMN+ANM的度数。3如图，在轴上找一点C，在轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并 求直线CD的解析式及点C、D的坐标。4如图MON=20，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4， 点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段 AQ+PQ+PB的最小值是多少？模型3 两定点一定长模型作法结论如图，在直线上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。将点A向右平移个单位到

6、A，作A关于直线的对称点A，连接AB交直线于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求。AM+MN+NB最小为AB 。如图，之间距离为，在，分别找M、N两点，使得MN，且AM+MN+NB最小。将点A向下平移个单位到A，连接AB交直线于点N，将点N向上平移个单位到M，点M、N即为所求。AM+MN+NB的最小值为AB+。模型实例例1在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示， 点A在轴正半轴上，点C在轴正半轴上， 且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段 OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF 的周长最小时，求点E的坐标。热搜精练1在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在， 轴、轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点。（1）若E为边OA上的一个动点，求CDE的周长最小值；（2）若E、F为边O