高中数学奥林匹克选拔赛试题

1、湖南省20XX年高中数学奥林匹克选拔赛试题一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，满分60分）1设集合A= x 2, x+1 ,3与B= x5, 2x1, x 2 +1满足AB = 3 ，则x的值是 (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 12若，则a的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 3若函数 y = sinx (0 )在区间 0 , 1 上至少出现50次最大值，则的最小值是 (A) (B) (C) (D) 4直线 ax + by +c = 0 (a, b, c 0) 与直线px + qy + m = 0 ( p, q, m0) 关于y轴对称的充要条件是 (A) (B) (C

2、) (D) 5已知 a n 是等差数列，且 a n 0，a 2 a 4 + 2a 3 a 5 + a 4 a6=2025 那么a3 + a5的值为 (A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 456已知有穷等差数列 a n 的首项为1，末项a n = 1997 (n3) 。若公差是自然数，则项数n的所有可能取值之和是 (A) 3501 (B) 3499 (C) 2001 (D) 19977用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的五位数个数是 (A) 48 (B) 36 (C) 28 (D) 128圆与极轴所在的直线相切的充要条件是 (A

3、) DE = 0 (B) DE 0 (C) D = 0, E0 (D) D0, E=09方程所表示的图形是10正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1三等分点，F为CC1三等分点，AE=2A1E, CF=2C1F，过B，E，F作正方体的截面，下列所示的截面在相应面上的投影图中，错误的是11方程 x2|x| +|x|2x2|x| = 0在复数集内的解集对应复平面内的图形是 (A) 几个点和直线 (B) 单位圆与直线 (C) 几条直线 (D) 原点与单位圆12将奇正整数1，3，5，7，排成五列，如右图表，按图表的格式排下去，2001所在的那列，从左边数起是 (A) 第一列 (B) 第二列 (

4、C) 第三列 (D) 第四列二、填空题（本题共5个小题，每小题6分，共30分）13与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是_；14 已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，AB=BC=CA=2，D和E分别是AC和BC的中点，则A1D与C1E所成的角的度数为_;15设且满足x 2 +4y 2 = 4，则x 22xy4y 2的最大值和最小值分别是_;16已知a + b +c =0 ，且a，b，c均不为0，则化简为_;17计算的值为_三、解答题（本题共5个小题，每小题12分，共60分）18已知二次函数在上的最小值为2，求a的值。19设至少有四项的数列a n 的前n项的和，且，试问这个数列a n 是

5、一个什么数列？并说明理由。20已知四棱锥PABCD的底面边长是4的正方形，PD底面ABCD。设PD=6，M、N分别为PA、AB的中点。（1）求三棱锥PDMN的体积；（2）求二面角MDNC的平面角的正切值。21现分批买汽水给a位人喝，喝完后的空瓶根据商家规定每b（ab1,）个空瓶又可换一瓶汽水，所以不必买a瓶汽水，但至少要买多少瓶汽水才能保证a人每人都喝上一瓶汽水？22边长为1的菱形A1B1CD的两对角线交于A 2 ，过A 2作A 2B 2/ A1B1交B1C于B 2，连结B 2D交A1C于A 3 ，过A 3作A 3B 3/ A1B1交B1C于B 3，这样作下去得A nB n以B1为原点，B1C

6、所在直线为x轴，建立平面直角系，设以为半径，圆心在y轴上的一列圆T n (n=1,2,3,)依次相外切(即T k与T K+1外切,k=1,2,3,)，若圆T 1与抛物线 y = x 2相切，求证：所有的圆T n (n=1,2,3,)都与抛物线y = x 2相切。湖南省20XX年高中数学奥林匹克选拔赛题参考答案一、选择题1 D2 D3 B 提示：由并注意到可在端点1处取到最大值.4. D5. D6. A 提示：由题可得 ,n1=2 ,4 ,499 ,998 ,1996 n3所以5+500+999+1997=3051.7. C8. C 化为直角坐标方程为9. B 由已知可得:,或10. D 投影到

7、面 D1DBB1 时应成一条线段.11. D 原方程化为 12. B 分析每列被16除的余数的规律即可.二、填空题13. . 用曲线系可设所求为14. .15. 6和2 . 可以考虑用三角换元或用不等式知识16. 3 .17. . 提示：三、解答题18. 解：当时，,可得a = 0 ; 4分当a 0 时，,可求得a = 0 或a = 2 ，但这与a 2 时，,可求得或 12分19. 求得 4分归纳猜出数列:，即从第二项起以后各项构成等差数列 8分KOCNBAMDP用数学归纳法证明 12分20. 略解：(1) 如图，设AC,BD交于点O，证得2分 4分8分(2) 过O作OKDN，则为所求的二面角的平面角为所求.21. 设最少要买x瓶，喝完后第一次空瓶兑换汽水的瓶数为，再喝完后，第二次空瓶兑换汽水的瓶数为。如此继续下去，注意到k充分大时，不能再兑换汽水，故x瓶汽水加上兑换后的汽水一共至多有瓶。所以, 6分 8分因为x是满足上述不等式的最小正整数。所以，当a为b的整数倍时，当a不为b的整数倍时,即: 当a为b的整数倍时，至少要买瓶；