生成函数与指数生成函数的研究与应用

1、.生成函数与指数生成函数的研究与应用作者：陈功 学号：ZY1021104摘 要本文系统的论述了生成函数与指数生成函数组合数学和计算数学中研究与应用.生成函数又称母函数，它是在幂级数和多项式理论的基础上建立的.生成函数可分为普通型生成函数和指数型生成函数，他们在计算问题中有各自的应用范围.本文首先介绍了生成函数的基本理论，包括基本概念、性质及其系数计算的一些技巧.其次介绍了普通型生成函数和指数型生成函数的基本模型及其应用范围.最后则具体讨论了生成函数法在求解递推关系和整数分拆中的应用.通过本文的总结，可以使人们对生成函数有一个比较清晰的认识，更加系统的掌握生成函数这一数学工具.关键词： 生成函数

2、；普通型生成函数；指数型生成函数目 录1生成函数与指数生成函数的研究与应用I1 前言12 基本知识22.1基本概念22.2基本性质32.3生成函数的计算43 通型生成函数模型73.1问题的提出73.2普通型生成函数模型及其应用74 指数型生成函数模型114.1问题的提出114.2指数型生成函数模型及其应用114.3指数型生成函数系数的计算技巧135 生成函数在递推关系中的应用165.1 生成函数法在常系数线性齐次递推关系上的应用165.2 生成函数法在常系数线性非齐次递推关系上的应用186 生成函数在整数分拆中的应用22结 论24目前国内外许多数学研究者都对生成函数的应用范围进行了大量的研究，

3、成果显著.但在这些文献中，知识点不够系统全面.本文汲取了他们的劳动成果，通过大量的比较研究，比较系统的给出了生成函数的基本理论及其应用模型.24;.1 前言 生成函数又称母函数，是计数问题中既简单又精巧的数学模型，也是组合数学的一个重要理论和工具. 1720年前后De Moivre首先使用了组合生成函数,通过使用生成函数得到斐波那契数的一个公式.1748年欧拉在他的著作中对分拆问题使用了生成函数，而他同时对概率生成函数的工作是18世纪后期发展起了的组合生函数理论的原始动力.最早提出生成函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的概率的分析理论中明确提出“生成函数的计算”，书中

4、对生成函数思想奠基人Euler L在18世纪对自然数的分解与合成的研究做了延伸与发展，生成函数的理论由此基本建立.曹汝成在生成函数中提出了车问题及其解法，Alan Tucker在应用组合数学中提出了生成函数系数的具体解法及一个求和的算法，RichardA.Brualdi具体提出了生成函数与递推函数的关系等.每本著作中作者所提的概念、所引用的符号以及表述方法都有一些共同点和差异.本文主要是系统的总结生成函数的基本理论和应用问题，使人们对生成函数有一个清晰的认识，比较简便的学会生成函数这一数学工具.本文第二部分主要回顾了生成函数的基本概念及其性质，计算生成函数系数的一些技巧.在第三部分和第四部分中

5、主要介绍了普通型生成函数和指数型生成函数的基本模型及其应用范围.第五部分和第六部分则具体讨论了生成函数在递推关系和整数分拆中的应用.2 基本知识2.1基本概念 计数问题是组合数学的一个重要内容，而生成函数又是解决计数问题的一个重要的一般性的处理方法. 幂级数是我们所熟悉的多项式，我们定义为数列的生成函数，通常记为1 . 生成函数的中心思想是：首先使用多项式或幂级数把需要研究的数列合为一个整体，通过研究多项式或幂级数的性质以及使用合并同类项的方法，来研究数列的性质，从而得到相关的结论.例如 数列 的生成函数是 这个生成函数的值为用了非常简洁紧凑的方式显示了上述数列的序列信息.下面列举了几个常见的

6、生成函数2.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)2.2基本性质首先假定，序列，的生成函数分别为因为生成函数与数列之间是一一对应的关系，所以研究两个数列之间的关系可以转化为研究其生成函数的关系，这样就给解题带来了许多便利.线性性质(1) 若 ，则 (2) 若 ，则 乘积性质 (3) 若 =，则 移位性质(4) 若 ，则 (5) 若 ，则 ）(6) 若 ，则 =(7) 若 ，则 =，其中是收敛的换元性质(8) 若 ，则 求导与积分性质(9) 若 ，则 (10) 若 ，则 =2.3生成函数的计算 计算生成函数系数的方法是把比较复杂的生成函数化简为简单的二次式类型，或若干个二项式类型

7、的生成函数的积，这样就比较容易得出所需的的系数.我们需要用到牛顿二项式定理及其生成函数的性质.牛顿二项式定理，设实数，对一切有 其中=，当时，变成我们所熟悉的二项式定理特别的当时， 例1 求解。解 = =利用牛顿二项式求得生成函数的系数.例2 已知，求解的值.解= = ，和在2.1中已注明，本题利用生成函数的加法运算及其性质求得.例3 在中的系数，？解= = 中的系数是即15，所以的系数是15.同理可得 =3 通型生成函数模型3.1问题的提出在现实生活中我们经常遇见类似于这样的问题：5个苹果，4个橘子，3个梨，从中选出4个水果的组合数，及其组合方案.当然，通过列举法可以来解决上述问题，但当水果

8、的种类和数量变多时，应用列举法就困难许多.在本节，我们在组合问题中引入了生成函数法，使解题的过程更加简便.3.2普通型生成函数模型及其应用(1) 求的组合数，这是普通集合的组合问题.例1 现在有n个不同的球，求从中选出三个球的组合数.解 显然根据以前的学习，我们可以得到三个球的组合数为，一般的对于r组合数有，.我们知道是二项式中的系数，所以我们可以用多项式因子的乘积来表示题意信息，因子相乘后拆开的系数就是对应的所选的组合数，即可用生成函数来解决此题.(2)求,的组合数.例2 下面我们来解决3.1中所提出的问题.解 我们可以用方程整数解的方法来对这一组合问题建模，3.1中的问题我们可以表示为=

9、4的形式，其中分别代表选取苹果，橘子，梨的个数，05, 04, 03.基于多项式，我们想要建立多项式因子的乘积，使得当这些因子乘开时，得到所有的乘积，拆开后所得多项式中的系数就是选出4个水果的组合数，所以我们需要三个因子，每个因子应该包含的可能取值.即 （1+），（1+），（1+）我们所需的生成函数是上述三个因子的乘积，对于组合方案：我们可用代表苹果，代表橘子，代表梨，展开多项式因子的乘积，使得=，即= 5的，的可能的取值是我们所求的组合方案，如当= 1，= 1，= 2时的组合方案为：一个苹果，一个橘子，两个梨.当水果的种类变多，数量变大时，就转化为下面（3）中的问题.(3)求的组合数.由例二

10、可知，就是将问题转化为不定方程的非负整数解的问题.例3 从元集中可重复的选取个元作组合，每个元至少取一次，求作成的可重复的组合的个数.解 设所求组合的个数为，则是展开式中的系数，=所以 综合以上分析，我们可得下面定理.定理3.13 从元集合=， ，, . 中取个元素的组合数为，若限定元素出现的次数的集合为，则该组合数序列的生成函数为例4 现有无限多的一分，二分，五分，一角，五角的硬币.确定这些硬币凑成分钱的方法数的生成函数.解 设凑成分钱的方法数为，则是方程=的非负整数解的个数.即其生成函数为=（）（）（）（）（）化简得=在组合型分配问题中我们也可以使用这个数学模型，由此可得下面定理.定理3.

11、23 (组合型分配问题)把个相同的球放入个不同的盒子， ，. ，中，限定盒子的容量集合为，则其分配方案数的生成函数为 在3.1节的问题中我们有=4，其中05, 04, 03.这相当于把4个相同的球放入3个不同的盒子中，盒子的容量集合分，.我们称对重复选择问题进行建模的生成函数为普通型生成函数3.4 指数型生成函数模型4.1问题的提出利用3.1节中所提出的问题，求从这12个水果中取4个水果进行排列的排列数.我们还是用代表苹果，代表橘子，代表梨，展开成多项式因子的乘积，即使得=，其中 05, 04, 03.即=5中、的可能的取值是我们所求的组合方案，例如当=1，=1，=2时就是选取一个苹果，一个橘

12、子，两个梨，以此类推.展开式中4次方项有，从这12个水果中选取4个进行排列，其排列数应是每一组合的排列数之和.例如项表示选一个苹果，一个橘子，两个梨，它所对应的排列数为明白上述意思后，我们就不难得出上面所说的取四个元素的排列数.即=80 通过一一列举展开式中4次方项，再算出每个组合的排列数之和，这种方法既麻烦又复杂，漏掉任意一项就会非常麻烦.本节我们将引入指数型生成函数，它可以使排列问题的计算变得简单方便.4.2指数型生成函数模型及其应用首先我们给出指数型生成函数的定义，对于序列 ， ，. ，我们定义 = 称为序列的指数型生成函数1. 由生成函数的思想我们可以试着应用指数型生成函数来解决4.1

13、中提出的问题.我们令 =（）（）（）各多项式因子相乘后，取的系数，得80.我们还可以发现的系数正是从中选取个水果的排列数.这并不是巧合，在排列问题中，我们不能将 =4 其中05, 04, 03，的每个整数解在可能的排列计数中记为1.实际上每个整数解必须贡献 ，用生成函数表示，的系数将是带有下面系数的所有形式积 =其中05, 04, 03，上式中的指数和等于4，而我们知道指数型生成函数正好产生这种形式的形式积.可见指数型生成函数可以解决一般的有重复的排列问题，并且计算方便.例1 这5个字母组成的位数单词的个数，其中出现奇数次，出现偶数次，其它的没有次数要求.解 所求的生成函数为 展开式中的系数就

14、是位数单词的排列数.例2 将个不同的小球放入个不同的盒子中去，且要求每个盒子均不为空的方法数.解 将个不同小球放入个不同的盒子中，相当于个不同元素的次重复排列，即多重集合的排列数，且要求每个元素至少取一次.由此可得 = 综合以上分析，我们可以得到下面定理.定理4.11 多重集合=的排列中，若限定元素出现的次数集合为()，则排列数的指数型生成函数为在排列型分配问题中我们也可以使用这个数学模型.例1中的问题我们可以转化为，把个不同的球放5个不同的盒子中，盒子的容量集合分别为， ，可以得到相同的解.定理4.21 把个不同的球1，2，3，. 放入个不同的盒子， ，. ，中，限定盒子的容量集合为，则其分

15、配方案数的生成函数为4.3指数型生成函数系数的计算技巧指数型生成函数的基本展开式是我们知道 (4.1)他们有相似的形式，我们考虑用它来化简求解过程. 现在用来代替，可得 (4.2)并且我们可得 (4.3) (4.4)利用公式(4.1)-(4.4)可以使系数的计算过程变得相对简单.对于例1 = = 所以展开式中的系数就是中的系数，简化了解题过程.例2 求解。解 =+求得 5 生成函数在递推关系中的应用递推关系是计算数学的一个重要工具，但其求解一般比较困难.本章介绍了生成函数法，使用它可以简单有效的解决这类问题中的某些部分.5.1 生成函数法在常系数线性齐次递推关系上的应用定义5.14 序列相邻的

16、项间有如下关系： ， 我们称为序列的常系数线性齐次递推关系.使用生成函数法解常系数线性齐次递推关系的基本思想是：把关于的常系数线性齐次递推关系转化为的生成函数，通常采取错位相减法，再利用代数方法求解，将其展成幂级数的形式，的系数就是我们所求.例1 解 = (5.1) = (5.2) (5.3)将(5.1)-(5.3)相加得 解得=即 例25 递推关系被称为斐波那契关系，由斐波那契关系和初始条件所得到的数成为斐波那契数.我们知道斐波那契数在数学领域的应用广泛，下面我们用生成函数法来求解.解 我们令 = 为， ，. 的生成函数，此时，我们有 = (5.4) = (5.5) = (5.6)将(5.4

17、)-(5.6)相加得=由于 ，以及我们有 =1得其中=，因为可得的幂级数的展开式中的系数为其中，.在上述两例中我们使用了错位相加减的方法，我们发现，使用生成函数的方法来求解比传统的方法容易得多.5.2 生成函数法在常系数线性非齐次递推关系上的应用定义5.26 序列相邻的项间有如下关系： 其中是常数，均为非负整数，我们称为序列的常系数线性非齐次递推关系.使用生成函数法解常系数线性非齐次递推关系的基本思想是：设序列的生成函数为，把关于的常系数线性非齐次递推关系代入的右端，得到的方程，解出的解.再将其展成幂级数的形式，的系数就是我们所求.例3 ，其中.解 因此 例48 在一个非常富有的国家，一天国王

18、想要奖赏他的一个臣子，就问他想要什么.这个臣子拿出一张88的棋盘，说他的要求并不高，第一个格子放一颗大麦粒，第二个格子放2颗，第三个格子放颗， ，第六十四格放颗，国王以为粮仓富足，这不是什么问题就答应了，其实并不是这样的.现在让我们来计算一下一共需要多少颗大麦粒.解 设前个格子上的大麦粒数为，由题意可得=且，则我们令 为，. 的生成函数.我们将代入上式右端，整理得=+可得 我们可得 这样还是比较抽象，我们假设每秒运送粒大麦粒，则需时间T=(年)5.1，5.2节的例子中所使用的求解方法可以推广到求解任意的常系数阶线性齐次或非齐次递推关系中.即：我们所使用的生成函数可以化为的形式，其中是次数小于的

19、多项式，是常数项为1的次多项式.再利用部分分式的方法将其化为下述分式和的形式 其中是实数，是常数，是正整数利用公式将其展开，合并同类项，就可得到幂级数的形式.6 生成函数在整数分拆中的应用在这一节中我们将讨论生成函数在整数分拆中的应用.个相同对象的一个分拆定义为：把这些对象分成各种组合，这些组合中对象的的数量可以相同也可不同.类似的我们可以定义整数的分拆，就是把分解成若干个整数的组合，并且与其顺序无关.当然会有许多不同的分拆方案，我们称所有这些拆分方案的数目为拆分数(或分拆数).例如正整数4对应的分拆可以为1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2，4，分拆数为5下面我们来构造整数分拆的生成函数模型.(1)我们可以把正整数分拆看作是，由个1，个2，个3，. ，个所组成的和.则 =+由第三节的分析可得其生成函数为展开式中的系数为的所有分拆数.(2)正整数的各分布量都属于集合的生成函数.在前面3.2节中所讨论的例四就可以