拉氏变换基本性质

1、1,四.拉氏变换的基本性质(1),2,拉氏变换的基本性质（2）,尺度变换,终值定理,卷积定理,初值定理,3,4.时域平移 2.对t微分 3.对t积分 7.初值 8.终值 (一).时域平移特性和应用 1.时移性 设,则,P189.表4.2 拉氏变换的性质,重点讨论,4,这个性质表明信号在时域中的延时和频域中 的移相是相对应的.,傅立叶变换的时移性质,5,2.四个不同的函数,6,7,3.时移特性的应用p250.4-2 (1),8,9,*台阶函数,*单边周期函数的拉氏变换定理:若接通的 周期函数f(t)的第一个周期的拉氏变换为 则函数f(t)的拉氏变换为,10,例：周期信号的拉氏变换,第一周期的拉氏

2、变换,利用时移特性,利用无穷递减等比 级数求和,11,求全波整流周期信号的拉氏变换,例1：,LT,信号加窗 第一周期,12,单对称方波,周期对称方波,乘衰减指数,包络函数,13,抽样信号的拉氏变换,抽样序列,抽样序列的拉氏变换,时域抽样信号,抽样信号的拉氏变换,14,*抽样信号的拉氏变换,15,抽样信号的拉氏变换可表示为S域级数,16,证明:,17,18,*几点说明,a.如果所处理里的函数为有始函数 即,都为零.那么,但若f(t)在t=0有跃变,应嵌入一个冲激.,19,20,这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏变换理解为只能用于因果信号. 如在利用微分和积分定理求非因果信号的单边拉氏变换

3、时,这样理解，可能会得出错误的结果,如,c.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 系统.而且采用 系统, 对解决实际问题较为方便.,21,2.时域积分特性 若 则,求:,22,解:,初始条件自动包含在变换式中，一步求出系统的全响应。,23,三.初值和终值定理 1.初值定理 若f(t) 及其导数 可以进行拉氏变换 且,则,证明:利用时域微分特性,先假定f(t)在原点连续,则 在原点处不,24,包含冲激.于是,再假定f(t)在原点有跃变,则f(t)的导数可写成,其中 在t=0连续,于是,25,即,*几点说明,a.要注意初值f(t) 为t= 时刻的值,而不是 f(t)在t= 时刻的

4、值,无论拉氏变换F(s)是,26,采用 系统还是采用 系统,所求得的初值 总是,b.若F(s)是有理代数式,则F(s)必须是真分式 即F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是 真分式,则应用长除法,使F(s)中出现真分式,而 初值 等于真分式 逆变换 .,c.物理解释:,相当于接入信,号的突变高频分量.所以可以给出相应的初值,d.由上式也说明,根据象函数F(s)判断原函数 是否否包含冲激函数及其各阶导数存在,27,2.终值定理 若f(t)及其导数可以进行拉氏变换且 存在,则,证明见p188 终值定理表明信号在时域中 值,可以 通过复频域中的F(s)乘以s取 的极 限得到而不必求F(s)的反变

5、换,*两点说明: a. 存在等价于限制F(s)的极点在s左半平面内和原点仅有单阶极点,28,b.物理解释：,相当于直流状态,因而得到电路稳定的终值,29,(1)如果,非零项.,30,0,),1,(,3,lim,),0,(,),1,(,3,),(,:,3,0,3,=,+,=,=,+,=,+,s,S,a,f,s,t,f,L,S,由题义可知,解,31,32,33,34,*卷积定理,为一复频域中的围线积分。,35,求图示三角 波f(t)的拉氏变换. 解:方法一:按定义式积分,方法二:利用线性迭加和时移定理,36,方法三:利用微分积分定理将f(t)微分二次,根据微分定理:,37,方法四:利用卷积定理f1(t)可以看作是f1(t)自身的卷积.,38,*利用所示矩形脉冲的 Laplace 变换式和本章所述拉氏变换的性质,求图示函数的