大连理工大学高等数值分析主要内容总结

1、高等数值分析主要内容总结1. 矩阵部分(1) 矩阵变换a) Householder 变换（反射变换/镜像变换）定义 设Cn是一个单位向量，令H=I-2H(1)则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。H具有以下性质：HH=H Hermite矩阵, HHH=I (酉矩阵)H2=I 对合矩阵, H-1=H (自逆矩阵)detH=-1, diagI,H也是一个Householder矩阵定理 设uCn是一个单位向量，则对于任意的xCn，存在Householder矩阵H=I-2H，使得Hx=au，其中a=x2（a不唯一）。当x=0时，可任取；当x=au0时，取Hx=0；当xau

2、时，应取=x-aux-au2。b) Givens变换（旋转变换）定义 设c,sC，c2+s2=1，记n阶矩阵Tkl=11cs11-sc11 k (l)(2)称为Gives矩阵或初等旋转矩阵。Givens矩阵为酉矩阵，且det(Tkl)=1。定理 对于任意向量xCn，存在Givens变换Tkl，使得y=Tklx的第k个分量为非负实数，第l个分量为0，其余分量不变。当xk2+xl2=0时，取c=1，s=0，则Tkl=I。当xk2+xl20时，取c=xkxk2+xl2，s=xlxk2+xl2。(2) 矩阵分解-QR分解（正交三角分解/酉三角分解）定义 设ACnn，如果存在n阶酉矩阵（酉矩阵是正交矩阵

3、往复数域上的推广）Q和n阶上三角矩阵R，使得A=QR，则称A=QR为A的QR分解。当ARnn时，则称为A的正三角分解。定理 任意一个满秩实（复）矩阵A，都可唯一地分解为A=QR。a) Schmidt正交化方法b) Householder变换法c) Givens变换法d) Hessenberg分解任意一个n阶方阵X可以分解为X=PHP，其中P为酉矩阵，H的第一子对角线下的元素均为0，即H为Hessenberg矩阵。(3) Newton迭代法-拟Newton迭代法a) Newton迭代法I. 基本思想：将非线性方程fx=0线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。II. 基本原理：将fx在x0处做

4、一阶Taylor展开：fx=fx0+fx0x-x0+ox-x0(3)认为fx0+fx0x-x0=0(4)解此方程，构造迭代格式x(k+1)=x(k)-fx(k)fx(k)(5)式(5)即为Newton迭代法迭代格式，在真实根附近至少是平方收敛的。几何意义b) 拟Newton法2. 微分方程(1) 一阶常微分方程常微分方程初值问题dudt=ft,u, 0tTu0=u0(6)a) Euler法微商（导数）是差商的极限，差商是微商的近似。在式(6)中，用向前差商ut1-u(t0)h代替微商dudt，忽略误差项，便得Euler法差分格式un+1=un+hftn,un(7)从另一个角度出发，在区间tn,tn+1上积分常微分方程(6)可得un+1=un+tntn+1ft,u(t)dt(8)使用不同的数值积分公式，便得到不同的差分法。采用左矩形公式即可得Euler法，采用右矩形公式，可得到如下隐式Euler法：un+1=un+hftn+1,un+1(9)采用梯形公式，可得到改进的Euler法：un+1=un+h2ftn,un+ftn+1,un+1(10)以上为单步法。预估校正法（多步法，避免隐式法迭代）一般来说，多步法比单步法精度要高一些。b) Runge-Kutta法c) 总结相容性：一个差分方法称为相容的，如果其截断误差至少是一阶的。(2) 偏微分