第五章被控过程的数学模型

1、第5章 被控过程的数学模型,过程控制及自动化仪表,电气工程与自动化学院 田慧欣,控制系统的控制过程品质主要取决于系统的结构和系统中各组成环节的特性。 系统特性是指控制系统输入输出之间的关系。 环节特性是指环节本身输入输出之间的关系。,第5章 被控过程的数学模型,变送器和执行器的特性是比例关系、控制器的特性由控制规律决定。 本章讨论被控对象的特性。,被控过程：在过程控制中，被控过程是指正在运行中的多种多样的工艺生产设备。,被控过程的数学模型：是指过程在各输入量（包括控制量和扰动量）作用下，其相应输出量（被控量）变化的函数关系数学表达式。,扰动通道的数学模型：被控量随扰动量变化的数学表达式。 控制

2、通道的数学模型：被控量随控制量变化的数学表达式。,5.1 概述,5.1 概述,单变量被控过程：单输入单输出的被控过程。,图3.1 单变量对象及其信号 通道示意图,控制通道 ：被控量 与输入量 之间的联系通道。,扰动通道 ：被控量 与扰动 之间的联系通道。,在多个系统输入中，选择一个可控性好的变量作为控制量，其它的输入则视为被控过程的扰动。,-单变量和多变量过程,单变量被控过程传递函数形式的数学模型可以表示为：,SISO-single input and single output,多变量被控过程：多输入多输出的被控过程。 特点：具有耦合关系。couple,图3.2 多变量对象及其信号 通道示意

3、图,耦合关系：系统中的被控量和控制作用间存在着相互关联，相互影响。,5.1 概述,-单变量和多变量过程,多变量被控过程传递函数形式的数学模型可以表示为：,MIMO-multi inputs and multi outputs),自衡过程：当输入量发生变化破坏了被控过程的平衡状态时，在不施加任何外界控制作用的情况下，被控过程依靠自身的能力能够重新达到一个新的平衡状态，那么这个被控过程就被称为有自平衡能力的过程，也可以称其为自衡过程 。,-自衡和无自衡过程,图3.3 自衡过程的阶跃相应曲线,5.1 概述,无自衡过程：当输入量发生变化,破坏了被控过程的平衡状态时，在不施加任何外界控制作用的情况下，被

4、控过程无法重新达到一个新的平衡状态，那么这个被控过程就被称为无自平衡能力的过程，也可以称其为无自衡过程。,图3.4 无自衡过程的阶跃相应曲线,-有自衡和无自衡过程,5.1 概述,建立过程数学模型的目的,设计过程控制系统和整定调节器参数 建立被控过程的数学模型是过程控制系统的设计、调节 器参数整定的依据；是实现最优控制的前提。,指导生产工艺设备的设计 通过对生产工艺设备数学模型的分析和仿真，可以对生 产设备的结构设计提出合理要求和建议。,进行试验研究 根据过程的数学模型，通过计算机进行仿真即可进行试 验研究。,3.1 概述,建立过程数学模型的方法：,根据过程内在机理建模 通过过程静态与动态物料平

5、衡和能量平衡关系，用数学 分析的方法求取过程的数学模型。,根据过程输入、输出数据建模 通过过程辨识与参数估计的方法建立被控过程的数学模 型。,过程机理与过程输入、输出数据相结合 利用过程数据估计模型的未知参数； 部分机理已知时，利用过程数据建立未知部分。,5.1 概述,过程数学模型的表示方法 以单输入单输出的过程模型为例，最常用的有以下形式：,5.1 概述,线性时间连续模型 微分方程： 传递函数：,线性时间离散模型,被控对象大都是生产中的工艺设备，它是控制系统的重要环节。无论是设计、还是操作控制系统，都需要了解被控对象的特性。 在经典控制理论中，被控对象的特性一般用单输入、输出的数学模型描述。

6、最常用的是传递函数。 传递函数是指用拉氏变换式表示的对象特性。,5.1 概述,5.3.1机理法建模的基本原理 通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。,5.3.2单容过程建模 当对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描述时，称为单容过程或一阶特性对象。 大部分工业对象可以用一阶特性描述。 典型代表是水槽的水位特性。,5.3 建立机理模型,Mechanism model,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,（一）单容过程的数学模型,单容过程：是指只有一个储蓄能量的过程。,目的：建立液位h和进水

7、流量q1之间的数学表达式,或,、 、 ：分别表示偏离某一平衡 状态 、 、 的增量。,A：水箱的横截面积。,液位平衡条件：,Mechanism model,Mathematical model,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,（一）单容过程的数学模型,图3.5 单容水箱,或,为流出阀门的阻力，称为液阻。,微分方程形式的数学模型为：,传递函数形式的数学模型为：,、 ：水箱液位变化和进水流量变化的拉氏函数；,、 ：被控过程的时间常数和放大系数；,为分析方便，近似认为：,Mechanism model,Mathematical model,Time constant,Amplifi

8、cation constant,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,（一）单容过程的数学模型,图3.5 单容水箱,单容过程的传递函数形式数学模型为：,单容自衡过程的数学模型为一阶惯性环节。,上式中：A为单容水箱的横截面积， 也称为过程的容量系数， 或过程容量。,过程容量的物理意义：是指引起被控量单位变化时，被控过程储存能量的变化量。,Mechanism model,First order inertia link,Mathematical model,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,（一）单容过程的数学模型,目的：利用方框图法求取传递函数形式的数学模型,由前述有

9、：,将上述两式拉氏变换后，画出 图3.6所示的方框图.,图3.6 液位过程方框图,由图3.6所示的方框图，有：,Mechanism model,Mathematical model,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,（一）单容过程的数学模型,图3.7 单容水箱,目的：求取单容过程的单位阶跃响应,已知单容过程数学模型为：,由上式有：,求取单容过程的单位阶跃响应,即：,则：,对上式进行拉氏反变换后，求得单容过程的 单位阶跃响应为：,Mechanism model,Mathematical model,(Unit step response),一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立

10、机理模型,（一）单容过程的数学模型,目的：画出单容过程的单位阶跃响应曲线,已知单容过程的单位阶跃响应为：,初始响应速度为：,被控量稳态值为：,图3.8 单容过程的单位阶跃响应曲线,Mechanism model,Mathematical model,例：一被控过程的数学模型为：,试求其单位阶跃响应特性。并在同一坐标系内画出,和 时的单位阶跃响应曲线。,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,（二）有纯滞后(time lag)单容过程的数学模型,典型纯滞后过程示例：皮带运输机过程,对象输入：阀门开度 对象输出：称重传感器称出的物料 重量,输入变化时，输出的变化有一段时间滞后。,Mech

11、anism model,Mathematical model,有纯滞后的单容水箱过程：,进水阀门的位置距离水箱有一段传输距离l,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,Mechanism model,（二）有纯滞后(time lag)单容过程的数学模型,Mathematical model,有纯滞后单容水箱过程的微分方程为：,图3.9 纯滞后单容过程,有纯滞后单容水箱过程的传递函数为：,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,无纯滞后单容水箱过程的微分方程为：,Mechanism model,（二）有纯滞后(time lag)单容过程的数学模型,Mathematical m

12、odel,(Time lag),纯滞后单容水箱过程的传递函数为：,图3.10 纯滞后单容过程 单位阶跃响应曲线,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,Mechanism model,（二）有纯滞后(time lag)单容过程的数学模型,Mathematical model,（三）多容自衡过程的数学模型,多容过程：在生产过程中，被控过程往往由多个容积和 阻力构成，这种过程称为多容过程。,例如：双容水箱过程,其微分方程组为：,图3.11 双容水箱过程,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,目的：建立液位h2和进水流量q之间的数学表达式,Mechanism model,Mat

13、hematical model,（三）多容自衡过程的数学模型,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,Mechanism model,Mathematical model,图3.11 双容水箱过程,双容过程微分方程形式的数学模型可以表示为：,双容过程传递函数数学模型为：,（三）多容自衡过程的数学模型,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,、 ：两只水箱的容量系数；,、 ：两只水箱的时间系数；,：双容过程的放大系数；,Mechanism model,Mathematical model,双容过程的传递函数 形式数学模型为：,可见，双容自衡过程的数学 模型为二阶惯性环节。,图

14、3.12 双容过程阶跃响应曲线,多容过程模型可近似为：,（三）多容自衡过程的数学模型,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,Mechanism model,Mathematical model,Second order inertia link,:容量滞后 (Capacity lag) 。,（四）带纯滞后多容自衡过程的数学模型,带纯滞后多容过程的传递函数形式数学模型可以表示为：,一、建立自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,Mechanism model,Mathematical model,二、建立无自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,（一）单容无自衡过程的数学模型,无

15、自衡过程：当输入量发生变化破坏了被控过程的平衡状态时，在不施加任何外界控制作用的情况下，被控过程无法重新达到一个新的平衡状态，那么这个被控过程就被称为无自平衡能力的过程，也可以称其为无自衡过程 。,图3.13 单容无自衡过程及其阶跃响应曲线,Mechanism model,Mathematical model,图3.13 单容无自衡过程及其 阶跃响应曲线,单容无自衡过程的传递函数形式数学模型为：,由图3.13有：,式中，A为水箱的容量系数。,当过程具有纯滞后时，其传递函数为：,二、建立无自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,（一）单容无自衡过程的数学模型,式中: 为过程的积分时间常数 。,

16、Mechanism model,Mathematical model,单容无自衡过程为一积分环节。,Integral link,（二）多容无自衡过程的数学模型,图3.14 多容无自衡过程,由图3.14有：,消去式的中间变量，得到微分方程形式的数学模型为：,二、建立无自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,Mechanism model,Mathematical model,图3.14 多容无自衡过程,对上式进行拉氏变换，可得上述双容无自衡过程的传递函数为：,（二）多容无自衡过程的数学模型,二、建立无自衡过程的数学模型,5.3 建立机理模型,Mechanism model,Mathematic

17、al model,双容无自衡过程的传递函数为：,双容无自衡过程的阶跃响应曲线如图所示：,对于多容具有纯滞后的无自衡过程，有：,或：,（二）多容无自衡过程的数学模型,二、建立无自衡过程的数学模型,3.2 建立机理模型,Mechanism model,Mathematical model,3.2 建立机理模型,在过程控制中，多数被控过程模型常常可以近似地以一阶、二阶以及一阶加时延、二阶加时延特性之一来描述 。,自衡过程：,无自衡过程：,Mechanism model,Self regulation plant,因为工艺过程就是能量或物质的交换过程，在此过程中，肯定存在能量的储存和阻力。,（1）容量

18、系数反映对象存储能量的能力。 如水槽面积A，它影响时间常数 T 的大小。,（2）阻力系数反映对象对物料或能量传递的阻力。 如阀门阻力系数 RS ，它影响放大系数 K 的大小。,T = ARS,K = RS,对象的特性参数K、T反映了对象的物理本质。,并不是所有被控过程都具有自衡特性。同样的单容水槽如果出水用泵抽出，则成为无自衡特性。,与放大系数K互为倒数,如果大，说明对象的自衡能力大。即对象能以较小的自我调整量h（），来抵消较大的扰动量1。,用自衡率表征对象自衡能力的大小,被控过程的容量系数C越大，c越大；容量个数越多（阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢。,切线在时间轴上截出的时间段c为容量滞

19、后。,5.3.3.2容量滞后与纯滞后 1. 容量滞后,2. 纯滞后 由信号或能量的传输时间造成的滞后现象，是纯粹的滞后。,如图是一个用蒸汽来控制水温的系统。蒸汽作用点与被调量测量点相隔 l 距离，蒸汽量阶跃增大引起的水温升高，要经过路程 l 后才反应出来。,v 水的流速；,纯滞后时间,有些对象容量滞后与纯滞后同时存在，很难严格区分。常把两者合起来，统称为滞后时间,= o +c,5.4测试法建模 根据工业过程中某因果变量的实测数据，进行数学处理后得到的数学模型。 测定对象特性的实验方法主要有三种： （1）时域法输入阶跃或方波信号，测对象的飞升曲线或方波响应曲线。 （2）频域法输入正弦波或近似正弦

20、波，测对象的频率特性。 （3）统计相关法输入随机噪音信号，测对象参数的变化。,5.4.1阶跃响应曲线法建模 给对象输入一阶跃信号或方波信号测其输出响应。 1阶跃响应曲线的直接测定,在被控过程处于开环、稳态时，将选定的输入量做一阶跃变化（如将阀门开大） ，测试记录输出量的变化数据，所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。,有些工艺对象不允许长时间施加较大幅度的扰动，那么施加脉宽为t的方波脉冲，得到的响应曲线称为“方波响应”。,矩形脉冲法测定被控过程的阶跃响应曲线,一个是在t = 0时加入的正阶跃信号x1（t） 另 一个是在 t =t 时加入的负阶跃信号x2（t） x（t）= x1（t）+ x

21、2（t）,其中， x2（t）= - x1（t -t）,方波响应可以转换成飞升曲线。 原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。,根据此式，方波响应可逐点拆分为飞升曲线y1（t）和 y2（t）。,对应的响应也为两个阶跃响应之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y1（t）- y1（t-t）,5.4.1.2由阶跃响应曲线确定被控过程传递函数,大多数工业对象的特性可以用具有纯滞后的一阶或二阶惯性环节来近似描述：,对于少数无自衡特性的对象，可用带滞后的积分特性近似描述：,由对象的阶跃响应曲线基本可以辨识对象的特性模型结构和特性参数。,一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：,由阶跃响应曲线确定一

22、阶惯性加滞后环节模型,放大倍数K的物理意义 K表明了稳态时，输出对输入的放大倍数 。求法： K = y( ) / x0,K 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。,时间常数的物理意义 对象受到阶跃输入后，输出达到新的稳态值的63.2所需的时间，就是时间常数T。 或对象受到阶跃输入后，输出若保持初始速度变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。,求法：,在相同的阶跃输入作用下，对象的时间常数不同时，被控变量的响应曲线如图所示 。,T反映了对象输出对输入的响应速度 T越大，响应越慢。如水槽对象中 T=ARS ，说明水槽面积越大，水位变化越慢。,T也反映了过渡过程时间 被控变量变化到新的稳态值所需要的时

23、间理论上需要无限长。,当t时，才有yKx0 ，但是当t =3T 时，便有：,即：经过3T时间，输出已经变化了满幅值的95。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。,例：被控过程的单位阶跃响应是一条 S 形单调曲线，用有纯滞后的一阶环节近似描述该过程的特性。 作图法：,1）在响应曲线的拐点处作一条切线，该切线与时间轴的交点切出； 2）以为起点，与y()的交点切出的时间段为T； 3）K= y()/1,由于阶跃响应曲线的拐点不易找准，切线的方向也有较大的随意性，因而作图法求得的T、值误差较大。可以用计算法来求特性参数。 计算法的原理是根据曲线上的已知两点解方程。,两点法： 先将y（t）转换成无量纲的形式y*（t）。,有滞后的一阶惯性环节，单位阶跃响应为：,在无量纲飞升曲线上，选取t1、t2两时刻的响应y*（t）的坐标值：,解方程组,得,y*（t1）= 0.39 y*（t2）= 0.63,= 2 t1 t2,T = 2（t1 - t2）,为计算方便，取特殊两点：,则,5.4.2 测定动态特性的频域法,被控过程的动态特性也可用频率特性来表示：,方法：在对象的输入端加特定频率的正弦信号，同时记录输入和输出的稳定波形（幅度与相位）。在选定范围的各个频率点上重复上述测试，便可测得该对象的频率特性。,5.4.3测定动态特性的统计相关分析法 相关分析法是在生产正常进行中，向