第十八章四边形章节复习辅导讲义

1、第十八章、四边形章节复习辅导讲义一、 四边形知识框架：1.四边形的知识结构2.平行四边形的知识结构二、 四边形1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD等。3. 四边形的分类：（1） 按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。（2） 按照四边形对边的平行性将四边形分为： 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。 梯形：只有一组对边平行的四边形；A. 梯形分类：a一般的梯形b等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。c. 直角梯形：有一个内角为直

2、角的梯形。（3） 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。 平行四边形的分类：A. 一般的平行四边形B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。C. 菱形：邻边相等的平行四边形。D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。4. 四边形的内角和与外角和：（1） 四边形的内角和为360度（2） 四边形的外角和为360度。5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形【基础练习】1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_四边形2顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_3. 如图1，已知

3、：在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_cm 4. 如图，四边形ABCD为正方形，ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则EAC_度5. 四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为时（如图2），四边形的面积 （用含的式子表示）12506.在如图所示的四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，12ABCD则 度 7.如图，已知平分，则 8.已知四边形ABCD中，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_ B F CA H DE G三、 平行四边形（一） 平行四边形：

4、1. 定义：两组对边分别平行的四边形。2. 平行四边形的性质：（1） 平行四边形的对边相等。（2） 平行四边形的两组对边分别平行。（3） 平行四边形的对角相等。（4） 夹在两条平行线之间的平行线段相等（两组对边分别相等）。（5） 平行四边形的两条对角线互相平分。（6） 平行四边形的邻角互补。（7） 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。（8） 平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。3. 平行四边形的判定：（1） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（2） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（3） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（4） 两组对边分别平行的四

5、边形是平行四边形。（5） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（6） 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。4. 平行四边形的面积公式：S平行四边形 =ah.（其中，a为平行四边形的边，h为a上的高）5. 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。【基础练习】1. 5如图4，如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）A1对 B2对 C3对 D4对 2. 平行四边形的周长为28，两邻边的比为4：3，则较短的一条边的长为_3. 平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是2对 4对 6对 8对4. 两条邻边分别是15cm和20cm的平行四

6、边形最大面积是cm2A75 cm2B150 cm2C200 cm2D300 cm25. 已知：在ABCD中，AB = 4cm，AD = 7cm，ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = cm 6. 已知：如图，E、F在ABCD的对角线BD上，BFDE，求证：四边形AECF是平行四边形 FBECAD （二） 矩形：1. 定义：有一个较为直角的的平行四边形。2. 说明：因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的所有性质，在判断一个四边形是矩形一般先判断这个四边形是平行四边形。当然，矩形也有自身的判定定理。3. 矩形的性质：（1） 四边形和平行四边形的所有性质。（2）

7、矩形的四个角都是直角。（3） 矩形的对角线相等。（4） 矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等、（5） 连结矩形四边的中点组成的四边形是菱形。（6） 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；（其中对称中心是两对角线的交点，对称轴有两条，分别是两组对边的中点连线所在的直线。）4.矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；（4）四个内角都相等的四边形为矩形；（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（6）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形（以下是延伸判定）（7）关于任何一组对边中点的连线成轴对称

8、图形的平行四边形是矩形（8）对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四 边形为矩形.5.矩形的面积公式：S矩形=ab（其中a表示长、b表示宽）【基础练习】1. 顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A等腰梯形 B正方形 C菱形 D矩形2. 如图2，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定方法是_ 4. 矩形ABCD中，AB2BC， 点E在CD上，且AEAB，那么EBC的度数为A10 B15 C22.5 D305.矩形ABCD中ABBC，E 是AB的中点，F

9、是CE的中点，且ABF的面积为10cm2，则四边形AFCD的面积为A20 B25 C30 D356. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH3cm，EF4cm，则边ADB F CA H DE G的长是_cm.7.如图，ABCD是矩形纸片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在AC上设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点（）求证：四边形AECG是平行四边形；（）若AB4cm，BC3cm，求线段EF的长（三）菱形：1.定义：邻边相等的平行四边形。2.说明：因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的所有

10、性质，在判断一个四边形是菱形一般先判断这个四边形是平行四边形。当然，菱形也有自身的判定定理。3.菱形的性质：（1）具有四边形和平行四边形的所有性质；（2）对角线互相垂直且平分（3）四条边都相等（4）每条对角线平分一组对角（5）在有一个内角为60的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的3倍。（6）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（其中，对称中心是对角线的交点；对称轴有两条，分别是两对角线所在的直线）。（7）连结菱形各边的中点组成的图形是矩形。4.菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（4）对角线互相垂直且平

11、分的四边形是菱形（以下是菱形的延伸判定）（5）关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形（6）菱形的中点四边形是矩形（7）对角线相等的四边形的中点四边形为菱形5.菱形的面积公式：S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）注意：菱形的面积等于对角线乘积的一半。【基础练习】1. 符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（）A、四边都相等B、两组邻边分别相等C、对角线互相垂直平分D、两条对角线分别平分一组对角2如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PEBC交AB于E，PFCD交AD于F，则阴影部分的面积是_ 3.

12、如图，已知在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF （1）求证：ABEADF；（2）过点C作CGEA交AF于H，交AD于G，若BAE=25，BCD=130，求AHG的度数4. 如果菱形的一个角等于另一个角的5倍，周长是8，则菱形的高是 ，面积是 5. （三） 正方形：1. 定义：四边都相等，且四个角也相等（都为直角）的四边形。2. 说明：由于正方形是四边形、平行四边形、矩形和菱形的特殊情况，因此正方形具有四边形、平行四边形、矩形和菱形的所有性质，当然它也有自身的性质，判断一个四边形是正方形的方法一般先判断它是平行四边形，再判断它是矩形或菱形，最后判断它是正方形；判断一个平行

13、四边形是正方形，一般先判断它是矩形或菱形，最后判断它是正方形。3. 正方形的性质：（1） 它具有四边形、平行四边形、矩形和菱形的所有性质。（2） 四条边都相等（3） 四个角都是90（4） 对角线相等（5） 对角线互相垂直平分（6） 每条对角线平分一组对角（7） 连结正方形中点组成的图形是正方形（8） 正方形的对角线是边长的2倍。（9） 正方形四既是中心对称图形，又是轴对称图形（其中、对称中心是对角线的交点、对称轴有4条，它们分别是两组对边中点连线所在的直线和两条对角线所在的直线）。4. 正方形的判定：（1） 四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形（2） 一组邻边相等的矩形是正方形（3） 一组

14、邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（4） 有一个角是直角的菱形是正方形（5） 对角线相等的菱形是正方形（6） 对角线互相垂直的矩形是正方形（7） 对角线互相垂直平分且相等的平行四边形（8） 对角线互相垂直平分且相等的平行四边形的中点四边形是正方形（9） 正方形的中点四边形是正方形。（10） 矩形四个角平分线所成的四边形是正方形。5.正方形的面积：S正方形=a2=c2（其中a表示正方形的边长，c表示正方形的对角线长度）【基础练习】1. 如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分的小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（ ） A2 B3 C5 D 2. 四个

15、内角都相等的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四边形3. 延长正方形ABCD的一边BC至E，使CEAC，连结AE交CD于F，则AFC的度数是（）A、112.5B、120C、122.5D、1354. 如图，正方形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，无论MON绕O点怎样转动，两个图形重叠部分的面积总等于正方形面积的，那么MON 的度数为A60 B90 C120 D1505. 在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连成一个等腰三角形，那么这样的P点有A5个B9个C12个D15个6. 正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC

16、、BD的距离之和是7. 如图所示，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH中点，求证：ECCG四、梯形1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。2.等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。3直角梯形：有一个较为直角的梯形。4.梯形的面积公式：S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）。5.梯形的中位线：连结梯形两腰的中点的线段。（1）梯形中位线的性质： 梯形的中位线平行于梯形的两底边。梯形的中位线等于两底边之和的一半6. 梯形常作辅导线的方法：梯形中常见的辅助线：解决梯形问题的常用方法（如下

17、图所示）： “作高”：使两腰在两个直角三角形中“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中“延腰”：构造具有公共角的两个三角形“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点。【基础练习】1.已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14cm，则这个梯形的上，下底的长分别为（ ）A4cm，10cm B8cm，20cm C2cm，5cm D14cm，28cm2. 已知：梯形ABCD中，ADBC，ABADCD，BDCD，则C（）A、30B、45C、60D、753. 已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，试求此梯形的面积4. 梯形

18、ABCD 中，ADBC，AEDC交BC于点E，AD5cm，梯形的周长为40cm，则ABE周长为A40cm B30cm C20cm D15cm四、 四边形的知识可以简单归纳为：1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360；（2）四边形的外角和等于360.2多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180；（2）任意多边形的外角和等于360.3平行四边形的性质：因为ABCD是平行四边形4.平行四边形的判定：.5.矩形的性质：因为ABCD是矩形6. 矩形的判定：四边形ABCD是矩形. 7菱形的性质：因为ABCD是菱形8菱形的判定：四边形四边形ABCD是菱形.9正方形的性质：因为ABCD是正方形