2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答[1]

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（四川卷）第卷一、选择题1设集合Ax|x20，集合Bx|x240，则AB等于()A2 B2 C2,2 D答案A解析Ax|x202，Bx|x2402，2，AB22,22，选A.2如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点()AA BB CC DD答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，B点表示.选B.3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.4设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA,2xB，则()A綈p：xA,2xB B

2、綈p：xA,2xBC綈p：xA,2xB D綈p：xA,2xB答案D解析命题p：xA,2xB是一个全称命题，其命题的否定綈p应为xA,2xB，选D.5函数f(x)2sin(x)(0，)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，答案A解析T，T，2，22k，kZ，2k，又，选A.6抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.答案B解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，双曲线x21的渐近线是yx，即xy0，所求距离为.选B.7函数y的图象大致是()答案B解析对于函数y定义域为xR，且x0去掉A，当x0时，3x10，y0，b0)，从1,3,5,7

3、,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，lg alg b的不同值的个数有A220218，选C.9节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、Y，X、Y相互独立，由题意可知，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|XY|2).10设函数f(x)(aR，e为自然对数的底数)，若曲线ysin x上存在点(x0，y0)使

4、得f(f(y0)y0，则a的取值范围是()A1，e Be11,1C1，e1 De11，e1答案A解析由于f(x)(aR)在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数f1(x)存在，由于y01,1，且f(f(y0)y0，f1(f(f(y0)f1(y0)，即f(y0)f1(y0)，yf(x)与yf1(x)的交点在yx上即x在x1,1上有解，即x在0,1上有解aexxx2，x0,1，aex2x1，当0xe02110，aexxx2在0,1上递增，当x0时，a最小1；当x1时，a最大e，故a的取值范围是1，e，选A.第二卷二、填空题11二项式(xy)3的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)答案1

5、0解析Tr1Cx5ryr(r0,1,2,3,4,5)，由题意知，含x2y3的系数为C10.12在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，2，2.13设sin 2sin ，则tan 2的值是_答案解析sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0,2cos 10即cos ，sin ，tan ，tan 2.14已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_答案x|7x3解析令x0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数

6、，f(x)f(x)，x0时，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)5的解，由得0x5；由得5x0，即f(x)5的解为(5,5)由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)5的解集为x|7x315设P1，P2，Pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到点P1，P2，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，Pn的一个“中位点”例如，线段AB上的任意点都是端点A、B的中位点现有下列命题：若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点

7、是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析正确，因为C点到A、B的距离之和小于AB上其它点到A、B的距离之和；不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；不正确，不妨认为B、C在线段AD上，则线段BC上的任一点到A、B、C、D距离之和均最小；正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小三、解答题16在等差数列an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的首项、公差及前n项和解设该数列公差为d，前n项和为Sn，由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)所以，a1d4，d(d

8、3a1)0，解得a14，d0，或a11，d3，即数列an的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列an的前n项和Sn4n或Sn.17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，则AB，故B，根据余弦定理，有(4

9、)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.18某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，24这24个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)当n2 100时，根据表中的数据，

10、分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望解(1)变量x是在1,2,3，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3.所以，输出y的值为1的概率为，输出y

11、的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.(2)当n2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(3)随机变量可能的取值为0,1,2,3.P(0)C03，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C30，故的分布列为0123P所以，E()01231.即的数学期望为1.19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面A

12、DD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值解(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中点，所以，BCAD，则直线lAD.因为AA1平面ABC，所以AA1直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(2)方法一连接A1P，过A作AEA1P于E，过E作EFA1M于F，连接AF.由(1)知，MN平面AEA1，所以平面AEA1平面A1MN.所以AE平面A1MN，则A1MAE.

13、所以A1M平面AEF，则A1MAF.故AFE为二面角AA1MN的平面角(设为)设AA11，则由ABAC2AA1，BAC120，有BAD60，AB2，AD1.又P为AD的中点，所以M为AB中点，且AP，AM1，所以，在RtAA1P中，A1P；在RtA1AM中，A1M.从而AE，AF，所以sin .所以cos .故二面角AA1MN的余弦值为.方法二设A1A1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)则A1(0,0,0)，A(0,0,1)因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，故M，N

14、，所以，(0,0,1)，(，0,0)设平面AA1M的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即故有从而取x11，则y1，所以n1(1，0)设平面A1MN的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则即故有从而取y22，则z21，所以n2(0,2，1)设二面角AA1MN的平面角为，又为锐角，则cos .故二面角AA1MN的余弦值为.20已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程解(1)由椭圆定义知，2a|PF1|PF2|2.所以a.

15、又由已知，c1.所以椭圆C的离心率e.(2)由(1)知，椭圆C的方程为y21.设点Q的坐标为(x，y)，当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.*将ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.*由(8k)24(2k21)60，得k2.由*可知，x1x2，x1x2，代入*中并化简，得x2.*因为点Q在直线y

16、kx2上，所以k，代入*中并化简，得10(y2)23x218.由*及k2，可知0x2，即x.又满足10(y2)23x218，故x.由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以1y1，又由10(y2)2183x2有(y2)2且1y1，则y.所以，点Q的轨迹方程为10(y2)23x218，其中x，y.21已知函数f(x)其中a是实数，设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图象上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围解(1)函数f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1,0)，(0，)(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f(x1)f(x2)1.当x0时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2，因为x1x20，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221，当且仅当(2x12)2x221，即x1且x2时等号成立所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为1.(3)当x1x2x1