圆锥曲线与方程课件(新人教版选修1-1).ppt

1、曲线和方程,两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线 的方程是,这就是说：,如果点M(x0 ，y0)是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即 x0 = y0，那么它的坐标(x0 ，y0)就是方程 x-y=0 的解；,反过来，如果(x0 ，y0)是方程 x-y=0 的解，即x0 = y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上。,这样，我们就说 x-y=0是这条直线的方程，这条直线叫做方程 x-y=0的直线。,试一试,说明圆心为P(a，b)，半径等于r的圆的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2,(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点，因为点M到圆心的距离等

2、于r 所以 也就是(x0-a)2+(y0-b)2=r2 即(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解,(2)设(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，则有 (x0-a)2+(y0-b)2=r2两边开方取算术根，得 即点M(x0，y0)到点P的距离等于r，所以点M是这个圆上的点 由(1)(2)可知， (x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为P(a，b)， 半径等于r的圆的方程,一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：,（1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；,（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点

3、，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。,说明：,（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外,（纯粹性）.,（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏,（完备性）.,由曲线的方程的定义可知，,如果曲线C的方程是 f(x，y)=0，那么点P0(x0 ，y0)在曲线C 上的 充要条件是,f(x0，y0)=0 .,问题研讨,例1判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 （2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 （

4、3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1,对,错,错,变式训练：写出下列半圆的方程,例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.,M,条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0 的解”， 条件乙：“曲线C是方程f (x，y)=0 的曲线”，则甲是乙的( ) (A)充分非必要条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)非充分也非必要条件,B,若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x，y)=0 ”是正确的， 则下列命题中正确的是( ) (A)方程f(x，y)=0 所表示的曲线是C (B)坐标满足 f(x，y)=0 的点都在曲线C上 (C)方程f(

5、x，y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C (D)曲线C是方程f(x，y)=0的曲线的一部分或是全部,D,例2 设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。,A,B,l,M(x,y),求曲线方程的步骤：,（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件p的点M的集合P=Mp(M); （3）用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。,函数 y=ax2 的图象是,关于 y 轴对称的抛物线 .,这条抛物线是所有以方

6、程 y=ax2 的解为坐标的点组成的.,这就是说：,如果点M(x0 ，y0)是抛物线上的点任意一点，那么 (x0 ，y0)一定是这个方程的解；,反过来，如果 (x0 ，y0)是方程 y=ax2 的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。,这样，我们就说 y=ax2是这条抛物线的方程，这条抛物线叫做方程 y=ax2 的抛物线。,椭圆的简单性质,复习回顾,1.椭圆的定义:,到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,3.椭圆中a,b,c的关系是:,a2=b2+c2,研究分析,研究右图你会得到 这个椭圆

7、有什么样 的性质?,1.椭圆的对称性,O,从图形上看: 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。,从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。,2.椭圆的范围,1、范围： xa, y b,y,B1,o,B2,A1,A2,F1,F2,椭圆落在 x=a, y= b组成的矩形中,3.椭圆的顶点,o,y,B2,B1,A1,A2,F1,F2,c,a,b,(0,b),(0,-b),令 y=0，得 x=？ ， 说明椭圆与 x轴的交点？ 令 x=0，得 y=？， 说明椭圆与 y轴的交点

8、？,*顶点坐标: ( -a , 0 ) ( a , 0 ) ( -b , 0 ) ( b , 0 ) *长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。其中a,b,c构成一直角三角形.,四.椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,1离心率的取值范围：,因为ac0 所以0e1,1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小， 椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆,3)e与a,b的关系:,e =,2离心率对椭圆形状的影响：演示,例题讲解,|x| a,|y| b,关于x轴、

9、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. ab,a2=b2+c2,归纳 : 椭 圆 几 何 性 质,|x| a,|y| b,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. ab,a2=b2+c2,|x| b,|y| a,(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,长半轴长为a,短半轴长为b. ab,a2=b2+

10、c2,它的长轴长是： 。短轴长是： 。 焦距是： .离心率等于： 。 焦点坐标是： 。 顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于： 。,2,学生练习,已知椭圆方程为6x2+y2=6,小 结 :,1.椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。,2.了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c， e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间 的关系,池州学院 10应数 魏巍,双曲线及标准方程,请观察这些图片相似之处,一、双曲线的第一定义:,到两个定点的F1,F2的距离之差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 定点叫焦点,两焦点之间的距离叫焦距.,（1）2a2c ；,（2）2a

11、0 ；,（3）双曲线是两支曲线,注意,二、双曲线的标准方程:,其中c2=a2+b2,标准方程,焦点坐标,图 形,(-c,0)和(c,0),(0,-c)和(0,c),范 围,对称性,顶 点,xa或x-a,ya或y-a,坐标轴是对称轴;,原点是对称中心,叫双曲线的中心.,A1(-a,0)和A2(a,0),A1A2叫实轴, B1B2叫虚轴,且|A1A2|=2a, |B1B2|=2b,A1(0,-a)和A2(0,a),渐近线,离心率,e=,（e1,且e决定双曲线的开口程度,越大开口越阔）,到定点的距离和到定直线的距离之比是常数e(e1)的点的轨迹.,定点是焦点,定直线叫准线,且常数是离心率.,三、双曲

12、线的第二定义:,四、等轴双曲线:,1.定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线.,2.标准方程:,(1) x2-y2=a2(焦点在x轴上),(2) y2-x2=a2(焦点在y轴上),3.离心率:,结论:等轴双曲线的方程可写成: x2-y2=m,4.渐进线方程:,参数方程,双曲线 的参数方程为:,重要结论,双曲线 的焦点到相应的顶点 之间的距离为:,双曲线 的焦准距(焦点到相应 准线的距离)长为:,重要结论,双曲线系 的离心率为:,双曲线系 的焦点为:,双曲线系 的渐近线为:,(5)过(2,3), ;,【基础练习一】求满足条件的双曲线的标准方程:,(1)顶点在y轴上,两顶点的距离为6, ;,(2)焦点在

13、x轴上,焦距为16, ;,(3)过(-6,0), ;,(4)以椭圆 的焦点为顶点,顶点为焦点;,【基础练习二】,(1)已知双曲线 上一点P到一个焦 点的距离是10,则P到相应的准线的距离是_.,6,(3)已知M到P(5,0)的距离与它到直线 的距 离之比为 ,求M的轨迹方程.,(2)已知双曲线 左支上点P到右焦点 的距离是11,则P到左准线的距离是_.,3,(4)如果方程 表示双曲线， 求m的取值范围.,方程mx2+ny2=1表示双曲线 mn0,【题型1 】双曲线的定义及应用,例1.(1)动点P到定点F1(1,0)的距离比它到 F2(3,0)的距离小2,则点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.双

14、曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线,C,(2)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2 , C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切, 则动圆圆心M的轨迹是_,A. 4a B. 4a-m C. 4a+2m D. 4a-2m,C,【题型2 】双曲线的标准方程,【例4】双曲线与椭圆4x2+y2=64有相同的焦 点,它的一条渐进线为y=x,求双曲线的方程.,y2-x2=24,【练习】已知双曲线中心在原点,对称轴在 坐标轴上,且与圆x2+y2=10相交于P(3,-1), 若此圆过P点的切线与双曲线的一条渐进线 平行,求此双曲线的方程.,9x2-y2=80,例5.求双曲线9y2-16x

15、2=144的实半轴长和 虚半轴长,焦点和顶点坐标,渐近线 方程和离心率,【题型3 】双曲线的几何性质,【题型4 】焦半径公式的应用,【题型4 】焦半径公式的应用,【题型5 】双曲线的综合应用,例9:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的 时间比在B处晚2s, (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速 为340m/s,求曲线的方程.,想一想：如果A,B两处同时听到爆炸声，则爆炸点应在什么样的曲线上？ 你能想办法确定爆炸点的准确位置吗？,【题型6 】双曲线的综合应用,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（ a，0），A2（a，

16、0）,A1（0，a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐进线,F2(0,c) F1(0,-c),双曲线的第二定义：,x,M,y,.,.,F2,F1,O,.,x,M,y,.,.,F2,F1,O,.,x,.,A,y,.,.,F2,F1,O,.,x,B,y,.,.,F2,F1,O,.,x,y,.,.,F2,F1,O,.,x,抛物线及其标准方程,抛物线的定义 抛物线的标准方程 课堂练习 课堂小结 课后作业,想一想：,生活中存在哪些形式的抛物线？,生活中的抛物线,生活中的抛物线,生活中的抛物线,生活中的抛物线,抛物线的定义, 平面内与一个定点F和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,

17、（注意：F不在I上）, 定点F叫做抛物线的焦点。, 定直线L叫做抛物线的准线。,P,L,y,x,o,标准方程,请同学们回忆一下求曲线方程的基本步骤是怎样的？,1、建立直角坐标系，设动点为(x,y),2、写出适合条件的x,y的关系式,3、列方程,4、化简,5、证明,标准方程,设焦点到准线的距离为常P(P0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢,解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴,设动点M的坐标为（x，y）,标准方程,（x-p/2)+y = x+p/2,2,2,F(P/2,0) x= -p/2,标准方程,其中 p 为正常数，它的几何意义是:,方程 y2 = 2

18、px（p0）表示的抛物线，其 焦点 位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴,焦点到准线的距离.,y2=2px (p0),y2=-2px (p0),x2=2py (p0),x2=-2py (p0),(p/2,0),(-p/2,0),(0,-p/2),(0,p/2),x=-p/2,x=p/2,y=p/2,y=-p/2,标准方程,在抛物线 上求一点P,使得P到焦点F与到 点A(3,2)的距离之和最小,y =2x,解: 如图,设|PQ|为P到准线的距离,则|PF|=|PQ|,|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,当A,P,Q共线时, |AP|+|PF|最小,即P点坐标为(2,2)时, |AP|+

19、|PF|最小。,2,典型例题,一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线隧道(从隧道正中通过)为保证安全，车顶离隧道顶部至少应有0.5米距离如果车宽为1.6米，则卡车的限高为多少米(精确到0.01米)？,典型例题,列出方程 或方程组,明确 结论,确定抛物线 方程的形式,步骤分析,典型例题,解：如图832建立坐标系，设抛物线方程为： x2=2py,把B点坐标(4，4)代入， 求得p=2,求得D点坐标(0.8，0.16),x =-4y,x =0.8,2,y,x,o,A,B,E,F,(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法； (2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解,方法总结,典型例题,高考链接,1.（2010福建高考理科）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）,A.X +y +2x=0 B.x +y +x=0,C.X +y -x=0 D.x +y -2x=0,2,2,2,2,2,2,2,2,2.（2010陕西高考理科8）已知抛物线y2=2px（p0）的准线与圆x2+y26 x7=0相切，则p的值为（ ）,A.1