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1、最短路径问题,最短路径问题,蔡为制作,引入 问题,将军从城堡A 出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到城堡B 。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,提出 问题,A,B,l,数学抽象：,河流：一条直线,城堡：一个点,最短路径：两线段之和最小,数学 建模,实际问题,数学化,如图，已知直线 l 和 l 外同旁两点A、B，在 l 上求作一点P，使PA+PB的值最小。,将军从城堡A出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到城堡B。将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?,P,数学 转化,数学 化归,如图，已知直线l和l外异侧两点D、B，在l上求作一点P，使PD+PB的值最小。,如图，已知直

2、线l和l外同侧两点A、B，在l上求作一点P，使PA+PB的值最小。,P,数学化归：,同旁两点转化成两旁两点,数学建模：,两点之间，线段最短,利用轴对称变换将点A移到 l 的另一侧,数学 建模,如图，已知直线 l 和 l外同侧两点A、B，在 l 上求作一点P，使PA+PB的值最小。,P,A,作法： 1.作点 A 关于直线 l 的对称点A ；,2.连接A B交 l 于点P；,C,点P就是要求作的点。,逻辑证明：,点P是唯一的点吗？,你能证明PA+PB的值最小吗？,补充：作点 B 关于直线 l 的对称点B 也可行。,逻辑 推理,直线 l 是点A、A 的对称轴，点P、P 在对称轴上。,AP=A P，A

3、P =A P ,证明:在 l 上任取另一点P，连接AP、AP 、 BP 、 A P 。,在A BP 中,A BA P +BP , AP+BP AP +BP ,即AP+BP最小,AP+BP=A P+BP=A B,P,逻辑证明：,1、点P 的任意性与点P 的唯一性；,2、三角形两边之和大于第三边的应用。,小 结,1、利用轴对称在直线l上求作一点P，使点P到直线l外同旁A、B两点的距离之和最小。,1、一个定点与两个动点组成的三角形周长的最小值。,2、两个动点与一个定点组成的三角形周长的最小值。,3、两个动点与两个定点组成的四边形周长的最小值。,2、一个定点与两个动点组成的三角形周长的最小值。,展 望,如图 小河边有两个村庄A村与 B村要 在河边修建一个 自来水厂向A 村与 B村供水； （1） 若要使厂部到A 村与B村的距离相等则应如何选择厂址？ （2）若要使厂部到A

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