球面距离（教师版）

1、第15章 简单几何体(教师版)三 几何体的表面积、体积和球面距离15.6球面距离一要点呈现1、在平面上，通过 两点间的线段的长 来定义的两点间的距离的，因为平面上 两点间的线段的长 最短,我们在谈到距离时，一定要满足最 小 性的原则.2、在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的 大 圆在这两点间的一段 劣 弧长度，这个弧长叫两点间的 球面距离 3、经线和纬线的规定：过南北极的半个大圆是 经 线，赤道和平行于赤道的小圆是 纬 线.4、地的纬度是指：经过点的 球半径和赤道平面 所成的角度.5、地的经度的规定：经过点的经线与地轴确定的半平面和0度经线与地轴确定的半平面所成的 二面角 的度数

2、.6、求球面上两点间的球面距离，关键在于求这两点所对应的 球心 角的大小，最后用弧长公式进行求解,但是求出的 球心 角必须要求用弧度制表示.二范例导析【例1】地球仪的北纬60度圈上有两点，它们在纬度圈上的弧长等于（为地球仪半径）.（1）求两点间的距离；（2）求两点的球面的距离.分析：注意两点间的距离与两点的球面的距离的差别.解答：（1） （2）【例2】球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的，B和C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求球的体积.分析：设球心为点，由球面距离得到、及的大小，从而知的形状，找到球心在截面ABC的射影，解三角形求出球的半径

3、即可得球的体积.解答：【例3】如图，四棱锥ABCDE中，且ACBC，AEBE若，；（1）求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；（2）求B、D两点间的球面距离分析： 证明AB的中点到A、B、C、D、E五点距离都相等；求B、D两点对球心所张得角解答：（1）略 （2）三随堂训练一填空题1. 地球上的A点在东经400，北纬150，B点在东经400，北纬600，若地球半径为R，则A、B两点的球面距离为.2. 把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30圈上的两点，它们的经度差为60，A、B两点间的球面距离为3. 已知点A，B，C，D在同一球面上，AB平面BCD，BCCD.若AB=6，AC

4、=2，AD=8，则B，C两点间的球面距离是.4. 在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC=，A、C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为5.在半径为3的球面上有三点，=90，球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是6. 如图，是半径为1的球的球心，点在球面上，、两两垂直，E、F分别是大圆弧与 的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是.二选择题7. 下列四个命题中错误的个数是（ C ）经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 球面积是它大圆面积的四倍 球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长A.0 B.1 C.2 D.38. 球面上有3个点，

5、其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（ B ）A.4B.2C.2 D. 9. 球的半径为，是球面上两点，且球面距离为，则球心到过的所有平面的距离中，最大距离为（ B ）A. B. C. D.不存在 三解答题10. 把地球当作半径为的球，地球上两点都在北纬的纬线上, 两点的球面距离是，在东经，求点的位置。答案：东经或西经11. 已知地球半径约为6371千米。上海的位置约为东经121、北纬31，大连的位置约为东经121、北纬39，里斯本的位置约为西经10、北纬39。（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少

6、小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）答案：（1）上海到大连的最短飞行时间约为小时； （2）大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米12. 如图，、是表面积为的球面上三点,，为球心，求：（1）两点的球面距离；（2）直线与截面所成的角 答案：（1） （2）四提高拓展13飞机从A处(北纬，东经)，向西飞到C处(北纬，东经)然折后向南飞至B处(南纬，东经)，求飞机的航程 答案：14. 四面体中，,求该四面体的外接球的表面积及两点的球面距离答案：四面体的外接球的表面积： 两点的球面距离：四反馈跟进五学能导航【要点剖析】球面距离问题

7、是立体几何教学中的一个难点，课本内容很少，而可以联系的内容却很多。学习本主题要求达到理解球面距离的合理性，掌握球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构本堂课主要探究了如何求球面上两点间的球面距离，关键在于求这两点所对应的球心角的大小，最后用弧长公式进行求解。但是求出的球心角必须要求用弧度制表示本主题的重点是：球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神，并能够解决实际问题。难点是实际问题数学化（建模）以及球面距离求法的运用【方法点评】 渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐。结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用