版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、第一章 复数与复变函数1、求下列复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数:分析:为了求复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数,应先将复数化成的形式(其中为实数)。解 (1),(2),不确定,(3)因为,所以,(4),2、把下列复数化为三角表示式及指数表示式:解 (1) 由于,。因此三角表示式为: 指数表示式为:(2) 由于,。因此三角表示式为: 指数表示式为: (3) 由于,。因此三角表示式为: ; 指数表示式为: ; (4) 由于 , 。因此三角表示式为: 指数表示式为: (5) 由于 , ,所以根据三角诱导公式得:三角表示式为: 指数表示式为:(6)由于原式可以化简成:同上(5)求解过程。(7)
2、由于 ,所以3、指出复数z与复数 的关系解 令 ,则因此复数z与为模相等,辐角主值相差的两个复数。4、求下列各式的值(1)解 (2)解 (3)解 因为 所以其值为 ,(4)解 因为 ,所以 故其值为 ,5、当时,求 的最大值,其中n为正整数,为复数 解 因为,所以 。 当且仅当与同向且时等号成立,故的最大值为。6、将下列坐标变换公式写成复数形式。 (1)平移公式: ; 解 设,则平移公式的复数形式为 (2)旋转公式:; 解 设,则令,即旋转公式的复数形式为7、试利用推导:(1) ; (2) 。证明:因为,所以设定,把z带入已知等式,得到: 等式左边为:等式右边为:所以原题中(1)和(2)得证。
3、8、设为自然数,且,其中,为实数。证明: 证明 ,命题得证。9、设三点适合条件,。证明:是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。 证法 1: ,即在半径为1的圆上。 只需证为正三角形,即。 同理可证得故,命题得证。证法2: ,即在半径为1的圆上。 只需证为正三角形,即任一夹角为60即可。 ,以点及原点O为顶点的三角形为等边三角形。 同理,以点及原点O为顶点的三角形也为等边三角形。如图1-1 故命题得证。10、证明3个复数成为等边三角形顶点的充要条件是它们适合等式: 证明:(1) 证明其充分性:又(1)式与(2)式相除,得,即。代回(1)式可得, 。所以三边相等,即为等边三角形,得证。(2) 证明其
4、必要性:若为等边三角形,则任一边可通过旋转得到另一边。以为基边,假设绕旋转得到。则。所以,。两边平方化简可得:。得证11、设是1的次方根,但,证明满足方程。 解 依题意,所以。 ,即,得证。12、试证:如果复数是实系数方程的根,那么 也是它的根。解 设,。则。 因为是实系数多项式,根据共轭复数的的第V条性质(见课本p11),得。 又因为,故,。 所以。得证 也是方程的根。13、试证: (1)、0和三点共线; (2)、-1、1四点共圆周() 证明:(1) 设,。则,。所以,即、0和三点共线。(2) 设,。在复平面中,线段过原点(0,0)。由(1)可知,线段也过原点。故线段与线段相交于原点。,。所
5、以。根据相交弦定理的逆定理,命题得证。14、求下列方程所表示的曲线(其中为实参数)。 (1); 解 设,则,即。 所以其表示的曲线为。 (2); 解 设,则,即。 所以其表示的曲线为。(3)为实常数 解 设,则,即。 所以其表示的曲线为。(4)为实常数,为复数解 设,则,即。 所以其表示的曲线为。15、求下列方程所表示的曲线。 (1); 解 设,则。 两边平方,得,即以为圆心,4为半径的圆周。(2);解 设,则。两边平方,得,即为实轴。(3);解 设,则。 ,即。 所以其轨迹为去掉端点的射线。(4)解 依题意所以其轨迹为以为圆心,1为半径的圆周。(5)(为复常数)解 依题意所以其轨迹为以为圆心
6、,为半径的圆周。16、描出满足下列不等式的点z的轨迹图形,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的。(1);解 设,则,区域如图1-2所示。 该区域为无界的单连通域。(2);解 设,则,区域如图1-3所示。 该区域为无界的多连通域。(3);解 设,则 区域如图1-4所示。该区域为有界的多连通域。图1-4(4);解 设,则 区域如图1-5所示。该区域为无界的单连通域。(5);解 设,则根据椭圆的几何性质,易得区域边沿轨迹是长轴为3,短轴为的椭圆。即区域为,如图1-6所示。该区域为有界的单连通域。图1-6(6);解 设,则根据双曲线的几何性质,易得区域边沿轨迹是半实轴为,半虚轴为 的双曲线
7、的左支。即区域为,如图1-7所示。该区域为无界的单连通域。 图1-7(7);解 设,则区域如图1-8所示,该区域为无界的单连通域。图1-8(8)解 设,则。所以,区域如图1-9所示。该区域为有界的单连通域。图1-917、函数把下列平面上的曲线变化为平面上的什么曲线? 解 设,则, 即。(1);令,则所以,即在平面上为以为圆心,半径为的圆周。(2);代入,得,所以代回1式,整理可得。所以,其在平面上为以为圆心,半径为的圆周。(3);代入,得,即,且。所以,其在平面上为不包含原点的直线。(4) 代入,得所以,其在平面上为直线。18、已知函数,求:(1)区域在平面上的像;(2)在平面上的像。解 (1
8、)设。 则,。 所以,即区域映射在平面上的像为区域。 (2)设,则由此可得: ,又由题意,得到:,化简后得到:,这是一条抛物线。19、设,试证当时,的极限不存在。证法1: 令,则 可见,极限与k的取值有关,故不存在。 当时,的极限不存在。证法2:令,则故当时,的极限不存在。20、试证在原点与负实轴上不连续。 证明 (1)证明在原点不连续: 时,其幅角不确定,故无定义。 在原点不连续 (2) 证明在负实轴上不连续: 设在负实轴上,则 当复平面的上半平面趋近时, 当复平面的下半平面趋近时, 所以不存在。故命题得证。第二章 解析函数1、指出下列函数在何处可导,在何处解析。(1);解 令,则,。 四个
9、一阶偏导数处处连续,当且仅当时,满足C-R方程。 所以在处可导,但处处不解析。(2);解 令,则,。 四个一阶偏导数处处连续,当且仅当,即时,满足C-R方程。 所以在直线上可导,但在复平面内处处不解析。(3)。解 设,则。令,则,。四个一阶偏导数处处连续,欲使C-R方程成立,需,得。所以在处可导,但处处不解析。2、求下列函数的解析域,并求其导数。(1);解 原函数为z的多项式,所以在整个复平面上处处解析,其导数为:。(2);解 ,所以该函数在复平面上除外处处解析,其导数为:。(3)。解 当,即时,函数解析。即函数在整个复平面上除外,处处解析,其导数为:。3、设,求的值,使得在复平面处处解析。
10、解 令,则 ,。因为在复平面处处解析,欲使C-R方程成立,需所以,。4、证明:若为解析函数,且,则曲线组和(为实常数)相互正交。证明: 5、设函数在区域D内解析,试证:在D内为常数的充要条件为在D内解析。 解 (1)证明充分性:设,则。因为在区域D内解析,所以。又因为在区域D内解析,所以。联立以上两式,得。 所以,即在D内为常数。得证。 (2)证明必要性: 若在D内为常数,则。又因为在区域D内解析,所以。所以,即在区域D内解析。得证。6、若在区域D内解析,试证明在D内下列各式成立:(1),;解 设,则因为在区域D内解析,所以。 故。 由高阶导数定理可知,与具有任意阶的连续偏导数,故有。 所以。
11、同理可证。 (说明若在区域D内解析,则与为调和函数)(2) ;解 设,则。 , 同理 由题(1)可知:。 故(1)式与(2)式相加得:。 又因为,。 所以,即,得证。(3) 解 设,则因为在区域D内解析,所以。 又因为, 所以 同理:。 故 代入(1)式,得上式等于:。又因为,。所以左右两式相等,命题得证。7、证明:在区域D上解析当且仅当,并利用该结论探讨函数的解析性。证明: 又,因此可以得到,所以可以推导得到:,同理可以得到:又当且仅当时,即时,才满足柯西-黎曼方程,。所以在区域D上,当且仅当时,解析,命题得证。 ,可得,不解析。8、求解下列方程。(1);解 , 故,(2);解 ,。(3);
12、解 ,即,故。(4);解 (5);解 故,(6)。解 ,即。故9、论证下列等式是否成立。(1);解 成立,理由如下 (2);解 成立,理由如下证法一如(1)。 证法二: 利用(1),得。 所以(3);解 不成立,理由如下 设,则 所以 可见两者的实部相等,但虚部取值却可能不同。 例如,当时,虚部中前系数为:。 而虚部中前系数为:。(4) 。解 成立,理由如下: 设,则, 所以由于m和(k+nm)的集合等价,可见两者的实部相等,虚部取值也相等,所以等式成立。10、求下列各式的值。(1);解 (2);解 (3)。解 第三章 复变函数的积分1、分别沿路径与计算积分的值。解 (1)沿,则设C为。 故为
13、任意常数。 (2) 沿,则设C为。 故其中为任意常数。2、沿下列路径分别计算积分:(1)自原点到的直线段;(2)自原点沿实轴到3再垂直向上到的折线段。 解 (1)设自原点到的直线段的参数方程为。 则(2)设自原点沿实轴到3的直线段的参数方程为; 自3垂直向上到的直线段的参数方程为。 则3、计算,其中路径C为: (1)从原点到的直线段; (2)抛物线上从原点到的弧线段。 解 (1)设C为。 故。 所以。 (2)设C为。 故。 所以。4、计算下列积分: (1); 解 (2);解 令,得 所以为其奇点,皆在外。故(3);解 ,即。(4);解 令,得,其中只有在内。 (5);解 (6);解 (7)。解
14、 5、计算积分,其中C由正向圆周和负向圆周组成。 解 方法一:设正向圆周时,。 设为负向圆周时: 所以。 方法二: 依题意,C为以正向圆周为外边界,负向圆周为内边界的复连通域。且被积函数的唯一奇点不在复连通域内。故在复连通域内处处解析。 所以。6、计算下列各积分的值。 (1); 解 (2);解 (3)。解 7、计算下列积分。 (1); 解 (2)。 解 8、设函数在单连通域B内连续,且对于B内任何一条简单闭曲线C都有,证明在B内解析。证明:在单连通域B内取定取定一点,z为B内任意一点,根据已知条件,对于B内任何一条简单闭曲线C都有,可知积分的值与连接与的路线无关,它定义了一个单值函数:,显然。
15、所以F(z)是区域B内的解析函数,根据解析函数的性质,f(z)在B内解析,命题得证。9、设为复平面上的调和函数,证明:为复平面上的解析函数。证明 为调和函数,故其具有二阶连续偏导数。,。 ,。满足C-R方程,故得证。10、证明为调和函数,并求解析函数,并且。 证明: ,即,故为调和函数。 为解析函数,故。 ,为任意常数。 故。 代入,得。 所以。 得:第四章 级数1、判别下列级数的绝对收敛性与收敛性。(1);解 ,为调和级数,发散。 由于,且,。 根据莱布尼兹法则,且,且。所以收敛。故收敛,且为条件收敛。(2);解 为调和级数,发散;收敛。所以原级数发散。(3)解 故原级数收敛,且为绝对收敛。
16、(4)解 由于等比数列收敛,发散,所以原级数发散。2下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛;(2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点;(3)每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。解 (1)不正确。根据阿贝尔Abel定理,每个幂级数在它的收敛圆内绝对收敛;在它的收敛圆外发散;在收敛圆上,可能收敛,也可能发散。例如,由比值审敛法得,幂级数的收敛圆为,在收敛圆上,当时,原级数为,是交错级数,收敛;当时,原级数成为,是调和级数,发散。(2)不正确。由幂级数的性质可知,幂级数的和函数在收敛圆内是一个解析函数。因此,在收敛圆内不可能有奇点。(3)不正确。只
17、有在解析的函数,才能在的某邻域内展开成泰勒级数。例如,在点处连续,但不可导,因此不能在处展开成泰勒级数。3. 求下列幂级数的收敛半径。(1)为正整数解 ,故,得收敛半径。(2);解:,故得收敛半径。(3);解 ,故,得收敛半径(4);解 ,故,得收敛半径。(5);解 设级数,则为的子项。 对于,故收敛半径为。 所以原级数的收敛半径也为。(6)解 ,故,得收敛半径4设级数收敛,而发散,证明的收敛半径为1。解 当时,收敛。根据阿贝尔定理可知,在内收敛,且为绝对收敛。故可推知,的收敛半径。设时,级数收敛。即在内绝对收敛。因为,所以时级数也绝对收敛,即收敛,与条件矛盾。因此,的收敛半径为1。5如果级数
18、在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛,证明它在收敛圆所围的此区域上绝对收敛。 解 设级数的收敛半径为。因为为收敛圆周上一点,即,且在上绝对收敛。所以,当时,有。 由于收敛,故也收敛。即在绝对收敛,命题得证。6把下列各函数展开成的幂级数,并指出它们的收敛半径。(1);解 根据得: 。(2);解 在单位圆上有一奇点,但在上处处解析。故其在可展开成幂级数。,两边求导得:。其收敛半径为。(3);解 令,则。代入,得。因为在复平面内处处解析,故收敛半径为。(4);解 是的奇点,但函数在上处处解析,故其在可展开成幂级数。 因为,且令,则,代入可得: 其收敛半径为。(5);解 。 其收敛半径为。(6)。解 令
19、,则。 , 代入得: 由于是函数的奇点,故其收敛半径为。7求下列各函数在指定点处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径。(1);解 收敛域为,即收敛半径为。(2);解 第一个级数成立的条件是,第一个级数成立的条件是。因此函数的收敛半径为。(3);解 成立条件为,即收敛半径为。(4);解 收敛半径R=2(5)。解 因为是的奇点,且是离最近的奇点,所以函数在处的泰勒级数的收敛域为,即收敛半径为。根据泰勒展开定理,得:所以8下列结论是否正确?用长除法得因为所以 解 不正确。因为的求法是:,条件为。的求法是:,条件为,即。两式成立的条件不同,因此不能直接将他们的级数相加。故结论不正确。9把下列各函数在指定
20、的圆环域内展开成洛朗级数。(1);解 令,由。 代入,得 所以。(2)(前四项);解 记,该函数的奇点为z=1,所以在的范围内,函数可以展开成泰勒级数,根据定义,泰勒级数的系数为:,(3);解 设, 则,即。 所以。 当时,。得: ; 故 当时,。得: 故(4);解 令,由。 代入,得 (5);解 因为 由; 。 得(6)。解 ,根据三角公式可知: 由 。10、将在以原点为中心的各圆环内展开成洛朗级数。解 (1) 当时,。故;。(2) 当时,。故;。(3) 当时,。故;。第五章 留数1、 下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出它的级。(1);解 依题意,在和上不解析,即为的奇点。 由,可知是的
21、可去奇点。 又因为在上不解析,即在的领域内有不解析的点。故不是的孤立奇点。(2);解 令,得。即为的奇点。当时,。对于有,。为的一级零点,故为的二级零点。得为的二级极点。同理,为的二级极点。当时,有故为的一级零点。即为的一级极点。(3);解 因为恒成立,且处处解析。所以无奇点。(4);解 令,得,即。 所以的奇点为及,且它们为孤立奇点。 当时,为的零点。且在的领域内可展开为,即为的二级零点。所以为的二级极点。当及时,由于,且。所以它们为的一级零点,即为的一级极点。(5);解 依题意,易得为的孤立奇点。且其在处的洛朗展开式为: ,故为的二级极点。(6);解 ,是函数的奇点。不存在,所以是函数的本
22、性奇点。令,即是f(z)的零点。又因为,所以是f(z)函数的1级零点。同时因为,所以是原函数的一级极点。(7);解 为的孤立奇点。 在处解析,且。 为的三级极点。(8); 解 为的孤立奇点。 在处解析,且。 为的二级极点。(9)。 解 为的孤立奇点。在处解析,且为的一级极点,和为的二级极点。2、 是函数的几级极点? 解 令方法一:令,则 其幂级数为令,当时,。所以为的五级零点。又,即为的十级零点。为的十级极点。方法二:令,则;所以是的五级零点。故设,其中在处解析,且。得。由于在处解析,且。所以为的十级零点,即为的十级极点。3、 已知函数在处有一个二级极点,这个函数又有下列洛朗展开式:问“又是的
23、本性奇点;又因其中不含幂,因此”,这些说法对吗?解. 1) “z=1是f(z)的本性奇点”这种说法不对。判断孤立奇点的分类是根据函数f(z)在它的孤立奇点的去心邻域内的洛朗展开式进行判断。本题中z=1是函数f(z)的孤立奇点,以z=1为中心的去心邻域对f(z)进行洛朗展开,可以得到:展开式中含有有限个(z-1)的负幂次项,且最高负幂次为2,即z=1是f(z)的二级极点。2)“又因其中不含幂,因此”这种说法不对。根据f(z)在z=1为中心的去心邻域洛朗展开式可知,。4、 求下列函数在有限奇点处的留数。(1);解 ,即和为的一级极点。 得; 。(2);解 为的一级零点,为的四级零点。 为的三级零点
24、。 得。(3);解 ,即为其一级极点。 ; ;。(4);解 的奇点为,为一级极点,且其留数为:(5);解 为的本性奇点,即。(6);解 且为它的奇点。 为的本性奇点,即,。(7);解 ,当时,是的零点。 对于有,所以为的一级零点,即为原函数的一级极点。又有: 故为三级零点,z=0为的三级极点。 (8)解 是函数的奇点,5、 计算下列各积分(利用留数;圆周均取正向)。(1);解 在积分曲线内,被积函数有且只有一个奇点,且为二级极点。 (2);解 为被积函数二级极点,且在积分曲线的内部。 。(3);解 令得,。 其中在积分曲线,且为被积函数的一级极点。 (4);解 ,且为其奇点,在积分曲线内。故。
25、(5);解 为被积函数的一级极点,同时在积分曲线内。 且; ; 。 (6) (其中m为整数)。解 时,为的可去奇点;时,为的级极点。故时,;时,;时,。得。6、 判定是下列各函数的什么奇点?并求出在处的留数、(1);解 且有无穷多的正幂项,故为其本性奇点。 。(2);解 可见其洛朗级数的展开式中有无穷多项的正幂项,故为其本性奇点。(3)。解 当时,可见其洛朗级数的展开式中有不含的正幂项,故为其可去奇点。7、 求的值,如果(1);解 可见其洛朗级数的展开式中有无穷多项的正幂项,故为其本性奇点。(2)。解 和为的一级极点,为的四级极点。 故得。8、 计算下列各积分(其中C为正向圆周)。(1);解
26、在积分曲线内,被积函数有两个奇点,且为二级极点,为一级极点。 ;。(2);解 在积分曲线内,被积函数有两个奇点:及。 (3),(为一正整数)。解 令,得。即被积函数共有个一级极点。 9、 计算下列积分。(1);解 设,则,即,。 被积函数在内只有一个一级极点。故。(2);解 设,则,即,。 被积函数在内只有一个二级极点。故。(3);解 被积函数在上半平面内只有一个二级极点,其留数为: 。 得(4);解 被积函数在上半平面内只有两个一级极点,其留数为: ;同理。因为被积函数为偶函数。故(5);解 设,则。设。 则在上半平面内只有一个一级极点,其留数为 。 ; 。(6)。解 设,则在上半平面内只有
27、一个一级极点,其留数为 。 。 为偶函数,故。第六章 矢量分析与场论1、 设,证明:,以及。证明:,2、 求曲线处的单位切向矢量解:3、 设,求 及.解:,4、 设,计算解:,5. 设,计算解:6. 求数量场通过点的等值面方程解:,过点,即:,即,所以过M点的等直面方程为:7. 求矢量场的矢量线方程解:因为,所以,则矢量线所应满足的微分方程为:这等价为:解之得:,为任意常数,这就是矢量场A的矢量线方程。8. 求矢量场通过点的矢量线方程。解:矢量线所满足的微分方程为:这等价为:,解之得:,为任意常数,这就是矢量场A的矢量线方程。9. 求数量场在处沿矢径方向的方向导数。解:,在点处有:,处的失径为,的方向余弦为:,因此可得到方向导数为:10. 设数量场,求从点指向方向的方向导数,在沿什么方向的方向导数最大?最大值为多少?解:,在处有:, ,从点指向方向的方向为,的方向余弦为:,因此可得到方向导数为:在点处,数量场沿梯度方向的方向导数最大,即:。方向导数最大值为:11. 求平面数量场,沿曲线过点的切线方向的方向导数及梯度解:数量场在M点处的梯度为:曲线在点M切线方向的即该曲线的矢性函数的导矢,该曲线的失性函数为:该曲线在M点切线方向的方向余弦为:所以数量场在M点处的方向导数为:1
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 血肿的应急处理
- 应收会计年终总结
- 2023年气相色谱仪资金需求报告
- 病例讨论周围神经病
- 3.3.3离子反应 课件高一上学期化学苏教版(2019)必修第一册
- 背影教案反思
- 好玩的冰说课稿
- 开展我为同学办实事活动
- 神经病学临床案例分享
- 安全生产变更索赔管理细则
- 统计学安全培训
- 国家文化安全教育课件
- 提升员工参与度的方法与技巧
- 九年级Unit9大单元教学设计
- 《水字演变及成语》课件
- 山东省汽车维修工时定额(T-SDAMTIA 0001-2023)
- 电脑故障检测报告
- 春节期间的传统烟花和焰火表演
- 绿植花卉租摆及园林养护服务 投标方案(技术方案)
- 2023年6月天津高考英语第二次试卷真题重点词汇清单
- 会展概论-来逢波-习题答案
评论
0/150
提交评论