复变函数与场论简明教程习题参考

1、第一章 复数与复变函数1、求下列复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数:分析:为了求复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数，应先将复数化成的形式(其中为实数)。解 (1)，(2)，不确定，(3)因为，所以，(4)，2、把下列复数化为三角表示式及指数表示式:解 (1) 由于，。因此三角表示式为: 指数表示式为:(2) 由于，。因此三角表示式为: 指数表示式为: (3) 由于，。因此三角表示式为: ； 指数表示式为: ； (4) 由于 ， 。因此三角表示式为： 指数表示式为： (5) 由于 ， ，所以根据三角诱导公式得：三角表示式为： 指数表示式为：(6)由于原式可以化简成：同上（5）求解过程。(7)

2、由于 ，所以3、指出复数z与复数 的关系解 令 ，则因此复数z与为模相等，辐角主值相差的两个复数。4、求下列各式的值(1)解 (2)解 (3)解 因为 所以其值为 ，(4)解 因为 ，所以 故其值为 ，5、当时，求 的最大值，其中n为正整数，为复数 解 因为，所以 。 当且仅当与同向且时等号成立，故的最大值为。6、将下列坐标变换公式写成复数形式。 (1)平移公式： ； 解 设，则平移公式的复数形式为 (2)旋转公式：； 解 设，则令，即旋转公式的复数形式为7、试利用推导：(1) ; (2) 。证明：因为，所以设定，把z带入已知等式，得到： 等式左边为：等式右边为：所以原题中（1）和（2）得证。

3、8、设为自然数，且，其中，为实数。证明： 证明 ，命题得证。9、设三点适合条件，。证明：是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。 证法 1： ，即在半径为1的圆上。 只需证为正三角形，即。 同理可证得故，命题得证。证法2： ，即在半径为1的圆上。 只需证为正三角形，即任一夹角为60即可。 ，以点及原点O为顶点的三角形为等边三角形。 同理，以点及原点O为顶点的三角形也为等边三角形。如图1-1 故命题得证。10、证明3个复数成为等边三角形顶点的充要条件是它们适合等式： 证明：(1) 证明其充分性：又(1)式与(2)式相除，得，即。代回(1)式可得， 。所以三边相等，即为等边三角形，得证。(2) 证明其

4、必要性：若为等边三角形，则任一边可通过旋转得到另一边。以为基边，假设绕旋转得到。则。所以，。两边平方化简可得：。得证11、设是1的次方根，但，证明满足方程。 解 依题意，所以。 ，即，得证。12、试证：如果复数是实系数方程的根，那么 也是它的根。解 设，。则。 因为是实系数多项式，根据共轭复数的的第V条性质(见课本p11)，得。 又因为，故，。 所以。得证 也是方程的根。13、试证： (1)、0和三点共线； (2)、-1、1四点共圆周() 证明：(1) 设，。则，。所以，即、0和三点共线。(2) 设，。在复平面中，线段过原点(0,0)。由(1)可知，线段也过原点。故线段与线段相交于原点。，。所

5、以。根据相交弦定理的逆定理，命题得证。14、求下列方程所表示的曲线（其中为实参数）。 (1)； 解 设，则，即。 所以其表示的曲线为。 (2)； 解 设，则，即。 所以其表示的曲线为。(3)为实常数 解 设，则，即。 所以其表示的曲线为。(4)为实常数，为复数解 设，则，即。 所以其表示的曲线为。15、求下列方程所表示的曲线。 (1)； 解 设，则。 两边平方，得，即以为圆心，4为半径的圆周。(2)；解 设，则。两边平方，得，即为实轴。(3)；解 设，则。 ，即。 所以其轨迹为去掉端点的射线。(4)解 依题意所以其轨迹为以为圆心，1为半径的圆周。(5)(为复常数)解 依题意所以其轨迹为以为圆心

6、，为半径的圆周。16、描出满足下列不等式的点z的轨迹图形，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的。(1)；解 设，则，区域如图1-2所示。 该区域为无界的单连通域。(2)；解 设，则，区域如图1-3所示。 该区域为无界的多连通域。(3)；解 设，则 区域如图1-4所示。该区域为有界的多连通域。图1-4(4)；解 设，则 区域如图1-5所示。该区域为无界的单连通域。(5)；解 设，则根据椭圆的几何性质，易得区域边沿轨迹是长轴为3，短轴为的椭圆。即区域为，如图1-6所示。该区域为有界的单连通域。图1-6(6)；解 设，则根据双曲线的几何性质，易得区域边沿轨迹是半实轴为，半虚轴为 的双曲线

7、的左支。即区域为，如图1-7所示。该区域为无界的单连通域。 图1-7(7)；解 设，则区域如图1-8所示，该区域为无界的单连通域。图1-8(8)解 设，则。所以，区域如图1-9所示。该区域为有界的单连通域。图1-917、函数把下列平面上的曲线变化为平面上的什么曲线？ 解 设，则， 即。(1)；令，则所以，即在平面上为以为圆心，半径为的圆周。(2)；代入，得，所以代回1式，整理可得。所以，其在平面上为以为圆心，半径为的圆周。(3)；代入，得，即，且。所以，其在平面上为不包含原点的直线。(4) 代入，得所以，其在平面上为直线。18、已知函数，求：(1)区域在平面上的像；(2)在平面上的像。解 (1

8、)设。 则，。 所以，即区域映射在平面上的像为区域。 (2)设，则由此可得： ，又由题意，得到：，化简后得到：，这是一条抛物线。19、设，试证当时，的极限不存在。证法1： 令，则 可见，极限与k的取值有关，故不存在。 当时，的极限不存在。证法2：令，则故当时，的极限不存在。20、试证在原点与负实轴上不连续。 证明 (1)证明在原点不连续： 时，其幅角不确定，故无定义。 在原点不连续 (2) 证明在负实轴上不连续： 设在负实轴上，则 当复平面的上半平面趋近时， 当复平面的下半平面趋近时， 所以不存在。故命题得证。第二章 解析函数1、指出下列函数在何处可导，在何处解析。(1)；解 令，则，。 四个

9、一阶偏导数处处连续，当且仅当时，满足C-R方程。 所以在处可导，但处处不解析。(2)；解 令，则，。 四个一阶偏导数处处连续，当且仅当，即时，满足C-R方程。 所以在直线上可导，但在复平面内处处不解析。(3)。解 设，则。令，则，。四个一阶偏导数处处连续，欲使C-R方程成立，需，得。所以在处可导，但处处不解析。2、求下列函数的解析域，并求其导数。(1)；解 原函数为z的多项式，所以在整个复平面上处处解析，其导数为：。(2)；解 ，所以该函数在复平面上除外处处解析，其导数为：。(3)。解 当，即时，函数解析。即函数在整个复平面上除外，处处解析，其导数为：。3、设，求的值，使得在复平面处处解析。

10、解 令，则 ，。因为在复平面处处解析，欲使C-R方程成立，需所以，。4、证明：若为解析函数，且，则曲线组和（为实常数）相互正交。证明： 5、设函数在区域D内解析，试证：在D内为常数的充要条件为在D内解析。 解 (1)证明充分性：设，则。因为在区域D内解析，所以。又因为在区域D内解析，所以。联立以上两式，得。 所以，即在D内为常数。得证。 (2)证明必要性： 若在D内为常数，则。又因为在区域D内解析，所以。所以，即在区域D内解析。得证。6、若在区域D内解析，试证明在D内下列各式成立：(1)，；解 设，则因为在区域D内解析，所以。 故。 由高阶导数定理可知，与具有任意阶的连续偏导数，故有。 所以。

11、同理可证。 （说明若在区域D内解析，则与为调和函数）(2) ；解 设，则。 ， 同理 由题(1)可知：。 故(1)式与(2)式相加得：。 又因为，。 所以，即，得证。(3) 解 设，则因为在区域D内解析，所以。 又因为， 所以 同理：。 故 代入(1)式，得上式等于：。又因为，。所以左右两式相等，命题得证。7、证明：在区域D上解析当且仅当，并利用该结论探讨函数的解析性。证明： 又，因此可以得到，所以可以推导得到：，同理可以得到：又当且仅当时，即时，才满足柯西-黎曼方程，。所以在区域D上，当且仅当时，解析，命题得证。 ，可得，不解析。8、求解下列方程。(1)；解 ， 故，(2)；解 ，。(3)；

12、解 ，即，故。(4)；解 (5)；解 故，(6)。解 ，即。故9、论证下列等式是否成立。(1)；解 成立，理由如下 (2)；解 成立，理由如下证法一如(1)。 证法二： 利用(1)，得。 所以(3)；解 不成立，理由如下 设，则 所以 可见两者的实部相等，但虚部取值却可能不同。 例如，当时，虚部中前系数为：。 而虚部中前系数为：。(4) 。解 成立，理由如下： 设，则， 所以由于m和(k+nm)的集合等价，可见两者的实部相等，虚部取值也相等，所以等式成立。10、求下列各式的值。(1)；解 (2)；解 (3)。解 第三章 复变函数的积分1、分别沿路径与计算积分的值。解 (1)沿，则设C为。 故为

13、任意常数。 (2) 沿，则设C为。 故其中为任意常数。2、沿下列路径分别计算积分：(1)自原点到的直线段；(2)自原点沿实轴到3再垂直向上到的折线段。 解 (1)设自原点到的直线段的参数方程为。 则(2)设自原点沿实轴到3的直线段的参数方程为； 自3垂直向上到的直线段的参数方程为。 则3、计算，其中路径C为： (1)从原点到的直线段； (2)抛物线上从原点到的弧线段。 解 (1)设C为。 故。 所以。 (2)设C为。 故。 所以。4、计算下列积分： (1)； 解 (2)；解 令，得 所以为其奇点，皆在外。故(3)；解 ，即。(4)；解 令，得，其中只有在内。 (5)；解 (6)；解 (7)。解

14、 5、计算积分，其中C由正向圆周和负向圆周组成。 解 方法一：设正向圆周时，。 设为负向圆周时： 所以。 方法二： 依题意，C为以正向圆周为外边界，负向圆周为内边界的复连通域。且被积函数的唯一奇点不在复连通域内。故在复连通域内处处解析。 所以。6、计算下列各积分的值。 (1)； 解 (2)；解 (3)。解 7、计算下列积分。 (1)； 解 (2)。 解 8、设函数在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线C都有，证明在B内解析。证明：在单连通域B内取定取定一点，z为B内任意一点，根据已知条件，对于B内任何一条简单闭曲线C都有，可知积分的值与连接与的路线无关，它定义了一个单值函数：，显然。

15、所以F(z)是区域B内的解析函数，根据解析函数的性质，f(z)在B内解析，命题得证。9、设为复平面上的调和函数，证明：为复平面上的解析函数。证明 为调和函数，故其具有二阶连续偏导数。，。 ，。满足C-R方程，故得证。10、证明为调和函数，并求解析函数，并且。 证明： ，即，故为调和函数。 为解析函数，故。 ，为任意常数。 故。 代入，得。 所以。 得：第四章 级数1、判别下列级数的绝对收敛性与收敛性。(1)；解 ，为调和级数，发散。 由于，且，。 根据莱布尼兹法则，且，且。所以收敛。故收敛，且为条件收敛。(2)；解 为调和级数，发散；收敛。所以原级数发散。(3)解 故原级数收敛，且为绝对收敛。

16、(4)解 由于等比数列收敛，发散，所以原级数发散。2下列说法是否正确？为什么？(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；(2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；(3)每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。解 (1)不正确。根据阿贝尔Abel定理，每个幂级数在它的收敛圆内绝对收敛；在它的收敛圆外发散；在收敛圆上，可能收敛，也可能发散。例如，由比值审敛法得，幂级数的收敛圆为，在收敛圆上，当时，原级数为，是交错级数，收敛；当时，原级数成为，是调和级数，发散。(2)不正确。由幂级数的性质可知，幂级数的和函数在收敛圆内是一个解析函数。因此，在收敛圆内不可能有奇点。(3)不正确。只

17、有在解析的函数，才能在的某邻域内展开成泰勒级数。例如，在点处连续，但不可导，因此不能在处展开成泰勒级数。3. 求下列幂级数的收敛半径。(1)为正整数解 ，故，得收敛半径。(2)；解：，故得收敛半径。(3)；解 ，故，得收敛半径(4)；解 ，故，得收敛半径。(5)；解 设级数，则为的子项。 对于，故收敛半径为。 所以原级数的收敛半径也为。(6)解 ，故，得收敛半径4设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1。解 当时，收敛。根据阿贝尔定理可知，在内收敛，且为绝对收敛。故可推知，的收敛半径。设时，级数收敛。即在内绝对收敛。因为，所以时级数也绝对收敛，即收敛，与条件矛盾。因此，的收敛半径为1。5如果级数

18、在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的此区域上绝对收敛。 解 设级数的收敛半径为。因为为收敛圆周上一点，即，且在上绝对收敛。所以，当时，有。 由于收敛，故也收敛。即在绝对收敛，命题得证。6把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径。(1)；解 根据得： 。(2)；解 在单位圆上有一奇点，但在上处处解析。故其在可展开成幂级数。，两边求导得：。其收敛半径为。(3)；解 令，则。代入，得。因为在复平面内处处解析，故收敛半径为。(4)；解 是的奇点，但函数在上处处解析，故其在可展开成幂级数。 因为，且令，则，代入可得： 其收敛半径为。(5)；解 。 其收敛半径为。(6)。解 令

19、，则。 ， 代入得： 由于是函数的奇点，故其收敛半径为。7求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径。(1)；解 收敛域为，即收敛半径为。(2)；解 第一个级数成立的条件是，第一个级数成立的条件是。因此函数的收敛半径为。(3)；解 成立条件为，即收敛半径为。(4)；解 收敛半径R=2(5)。解 因为是的奇点，且是离最近的奇点，所以函数在处的泰勒级数的收敛域为，即收敛半径为。根据泰勒展开定理，得：所以8下列结论是否正确？用长除法得因为所以 解 不正确。因为的求法是：，条件为。的求法是：，条件为，即。两式成立的条件不同，因此不能直接将他们的级数相加。故结论不正确。9把下列各函数在指定

20、的圆环域内展开成洛朗级数。(1)；解 令，由。 代入，得 所以。(2)(前四项)；解 记，该函数的奇点为z=1，所以在的范围内，函数可以展开成泰勒级数，根据定义，泰勒级数的系数为：，(3)；解 设， 则，即。 所以。 当时，。得： ； 故 当时，。得： 故(4)；解 令，由。 代入，得 (5)；解 因为 由； 。 得(6)。解 ，根据三角公式可知： 由 。10、将在以原点为中心的各圆环内展开成洛朗级数。解 (1) 当时，。故；。(2) 当时，。故；。(3) 当时，。故；。第五章 留数1、 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。(1)；解 依题意，在和上不解析，即为的奇点。 由，可知是的

21、可去奇点。 又因为在上不解析，即在的领域内有不解析的点。故不是的孤立奇点。(2)；解 令，得。即为的奇点。当时，。对于有，。为的一级零点，故为的二级零点。得为的二级极点。同理，为的二级极点。当时，有故为的一级零点。即为的一级极点。(3)；解 因为恒成立，且处处解析。所以无奇点。(4)；解 令，得，即。 所以的奇点为及，且它们为孤立奇点。 当时，为的零点。且在的领域内可展开为，即为的二级零点。所以为的二级极点。当及时，由于，且。所以它们为的一级零点，即为的一级极点。(5)；解 依题意，易得为的孤立奇点。且其在处的洛朗展开式为： ，故为的二级极点。(6)；解 ，是函数的奇点。不存在，所以是函数的本

22、性奇点。令，即是f(z)的零点。又因为，所以是f(z)函数的1级零点。同时因为，所以是原函数的一级极点。(7)；解 为的孤立奇点。 在处解析，且。 为的三级极点。(8)； 解 为的孤立奇点。 在处解析，且。 为的二级极点。(9)。 解 为的孤立奇点。在处解析，且为的一级极点，和为的二级极点。2、 是函数的几级极点？ 解 令方法一：令，则 其幂级数为令，当时，。所以为的五级零点。又，即为的十级零点。为的十级极点。方法二：令，则；所以是的五级零点。故设，其中在处解析，且。得。由于在处解析，且。所以为的十级零点，即为的十级极点。3、 已知函数在处有一个二级极点，这个函数又有下列洛朗展开式：问“又是的

23、本性奇点；又因其中不含幂，因此”，这些说法对吗？解. 1) “z=1是f(z)的本性奇点”这种说法不对。判断孤立奇点的分类是根据函数f(z)在它的孤立奇点的去心邻域内的洛朗展开式进行判断。本题中z=1是函数f(z)的孤立奇点，以z=1为中心的去心邻域对f(z)进行洛朗展开，可以得到：展开式中含有有限个(z-1)的负幂次项，且最高负幂次为2，即z=1是f(z)的二级极点。2）“又因其中不含幂，因此”这种说法不对。根据f(z)在z=1为中心的去心邻域洛朗展开式可知，。4、 求下列函数在有限奇点处的留数。(1)；解 ，即和为的一级极点。 得； 。(2)；解 为的一级零点，为的四级零点。 为的三级零点

24、。 得。(3)；解 ，即为其一级极点。 ； ；。(4)；解 的奇点为，为一级极点，且其留数为：(5)；解 为的本性奇点，即。(6)；解 且为它的奇点。 为的本性奇点，即，。(7)；解 ，当时，是的零点。 对于有，所以为的一级零点，即为原函数的一级极点。又有： 故为三级零点，z=0为的三级极点。 (8)解 是函数的奇点，5、 计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）。(1)；解 在积分曲线内，被积函数有且只有一个奇点，且为二级极点。 (2)；解 为被积函数二级极点，且在积分曲线的内部。 。(3)；解 令得，。 其中在积分曲线，且为被积函数的一级极点。 (4)；解 ，且为其奇点，在积分曲线内。故。

25、(5)；解 为被积函数的一级极点，同时在积分曲线内。 且； ； 。 (6) (其中m为整数)。解 时，为的可去奇点；时，为的级极点。故时，；时，；时，。得。6、 判定是下列各函数的什么奇点？并求出在处的留数、(1)；解 且有无穷多的正幂项，故为其本性奇点。 。(2)；解 可见其洛朗级数的展开式中有无穷多项的正幂项，故为其本性奇点。(3)。解 当时，可见其洛朗级数的展开式中有不含的正幂项，故为其可去奇点。7、 求的值，如果(1)；解 可见其洛朗级数的展开式中有无穷多项的正幂项，故为其本性奇点。(2)。解 和为的一级极点，为的四级极点。 故得。8、 计算下列各积分(其中C为正向圆周)。(1)；解

26、在积分曲线内，被积函数有两个奇点，且为二级极点，为一级极点。 ；。(2)；解 在积分曲线内，被积函数有两个奇点：及。 (3)，(为一正整数)。解 令，得。即被积函数共有个一级极点。 9、 计算下列积分。(1)；解 设，则，即，。 被积函数在内只有一个一级极点。故。(2)；解 设，则，即，。 被积函数在内只有一个二级极点。故。(3)；解 被积函数在上半平面内只有一个二级极点，其留数为： 。 得(4)；解 被积函数在上半平面内只有两个一级极点，其留数为： ；同理。因为被积函数为偶函数。故(5)；解 设，则。设。 则在上半平面内只有一个一级极点，其留数为 。 ； 。(6)。解 设，则在上半平面内只有

27、一个一级极点，其留数为 。 。 为偶函数，故。第六章 矢量分析与场论1、 设，证明：，以及。证明：，2、 求曲线处的单位切向矢量解：3、 设，求 及.解：，4、 设，计算解：，5. 设，计算解：6. 求数量场通过点的等值面方程解：，过点，即：，即，所以过M点的等直面方程为：7. 求矢量场的矢量线方程解：因为，所以，则矢量线所应满足的微分方程为：这等价为：解之得：，为任意常数，这就是矢量场A的矢量线方程。8. 求矢量场通过点的矢量线方程。解：矢量线所满足的微分方程为：这等价为：，解之得：，为任意常数，这就是矢量场A的矢量线方程。9. 求数量场在处沿矢径方向的方向导数。解：，在点处有：，处的失径为，的方向余弦为：，因此可得到方向导数为：10. 设数量场，求从点指向方向的方向导数，在沿什么方向的方向导数最大？最大值为多少？解：，在处有：， ，从点指向方向的方向为，的方向余弦为：，因此可得到方向导数为：在点处，数量场沿梯度方向的方向导数最大，即：。方向导数最大值为：11. 求平面数量场，沿曲线过点的切线方向的方向导数及梯度解：数量场在M点处的梯度为：曲线在点M切线方向的即该曲线的矢性函数的导矢，该曲线的失性函数为：该曲线在M点切线方向的方向余弦为：所以数量场在M点处的方向导数为：1