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文档简介
1、第一章 复数与复变函数1、求下列复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数:分析:为了求复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数,应先将复数化成的形式(其中为实数)。解 (1),(2),不确定,(3)因为,所以,(4),2、把下列复数化为三角表示式及指数表示式:解 (1) 由于,。因此三角表示式为: 指数表示式为:(2) 由于,。因此三角表示式为: 指数表示式为: (3) 由于,。因此三角表示式为: ; 指数表示式为: ; (4) 由于 , 。因此三角表示式为: 指数表示式为: (5) 由于 , ,所以根据三角诱导公式得:三角表示式为: 指数表示式为:(6)由于原式可以化简成:同上(5)求解过程。(7)
2、由于 ,所以3、指出复数z与复数 的关系解 令 ,则因此复数z与为模相等,辐角主值相差的两个复数。4、求下列各式的值(1)解 (2)解 (3)解 因为 所以其值为 ,(4)解 因为 ,所以 故其值为 ,5、当时,求 的最大值,其中n为正整数,为复数 解 因为,所以 。 当且仅当与同向且时等号成立,故的最大值为。6、将下列坐标变换公式写成复数形式。 (1)平移公式: ; 解 设,则平移公式的复数形式为 (2)旋转公式:; 解 设,则令,即旋转公式的复数形式为7、试利用推导:(1) ; (2) 。证明:因为,所以设定,把z带入已知等式,得到: 等式左边为:等式右边为:所以原题中(1)和(2)得证。
3、8、设为自然数,且,其中,为实数。证明: 证明 ,命题得证。9、设三点适合条件,。证明:是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。 证法 1: ,即在半径为1的圆上。 只需证为正三角形,即。 同理可证得故,命题得证。证法2: ,即在半径为1的圆上。 只需证为正三角形,即任一夹角为60即可。 ,以点及原点O为顶点的三角形为等边三角形。 同理,以点及原点O为顶点的三角形也为等边三角形。如图1-1 故命题得证。10、证明3个复数成为等边三角形顶点的充要条件是它们适合等式: 证明:(1) 证明其充分性:又(1)式与(2)式相除,得,即。代回(1)式可得, 。所以三边相等,即为等边三角形,得证。(2) 证明其
4、必要性:若为等边三角形,则任一边可通过旋转得到另一边。以为基边,假设绕旋转得到。则。所以,。两边平方化简可得:。得证11、设是1的次方根,但,证明满足方程。 解 依题意,所以。 ,即,得证。12、试证:如果复数是实系数方程的根,那么 也是它的根。解 设,。则。 因为是实系数多项式,根据共轭复数的的第V条性质(见课本p11),得。 又因为,故,。 所以。得证 也是方程的根。13、试证: (1)、0和三点共线; (2)、-1、1四点共圆周() 证明:(1) 设,。则,。所以,即、0和三点共线。(2) 设,。在复平面中,线段过原点(0,0)。由(1)可知,线段也过原点。故线段与线段相交于原点。,。所
5、以。根据相交弦定理的逆定理,命题得证。14、求下列方程所表示的曲线(其中为实参数)。 (1); 解 设,则,即。 所以其表示的曲线为。 (2); 解 设,则,即。 所以其表示的曲线为。(3)为实常数 解 设,则,即。 所以其表示的曲线为。(4)为实常数,为复数解 设,则,即。 所以其表示的曲线为。15、求下列方程所表示的曲线。 (1); 解 设,则。 两边平方,得,即以为圆心,4为半径的圆周。(2);解 设,则。两边平方,得,即为实轴。(3);解 设,则。 ,即。 所以其轨迹为去掉端点的射线。(4)解 依题意所以其轨迹为以为圆心,1为半径的圆周。(5)(为复常数)解 依题意所以其轨迹为以为圆心
6、,为半径的圆周。16、描出满足下列不等式的点z的轨迹图形,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的。(1);解 设,则,区域如图1-2所示。 该区域为无界的单连通域。(2);解 设,则,区域如图1-3所示。 该区域为无界的多连通域。(3);解 设,则 区域如图1-4所示。该区域为有界的多连通域。图1-4(4);解 设,则 区域如图1-5所示。该区域为无界的单连通域。(5);解 设,则根据椭圆的几何性质,易得区域边沿轨迹是长轴为3,短轴为的椭圆。即区域为,如图1-6所示。该区域为有界的单连通域。图1-6(6);解 设,则根据双曲线的几何性质,易得区域边沿轨迹是半实轴为,半虚轴为 的双曲线
7、的左支。即区域为,如图1-7所示。该区域为无界的单连通域。 图1-7(7);解 设,则区域如图1-8所示,该区域为无界的单连通域。图1-8(8)解 设,则。所以,区域如图1-9所示。该区域为有界的单连通域。图1-917、函数把下列平面上的曲线变化为平面上的什么曲线? 解 设,则, 即。(1);令,则所以,即在平面上为以为圆心,半径为的圆周。(2);代入,得,所以代回1式,整理可得。所以,其在平面上为以为圆心,半径为的圆周。(3);代入,得,即,且。所以,其在平面上为不包含原点的直线。(4) 代入,得所以,其在平面上为直线。18、已知函数,求:(1)区域在平面上的像;(2)在平面上的像。解 (1
8、)设。 则,。 所以,即区域映射在平面上的像为区域。 (2)设,则由此可得: ,又由题意,得到:,化简后得到:,这是一条抛物线。19、设,试证当时,的极限不存在。证法1: 令,则 可见,极限与k的取值有关,故不存在。 当时,的极限不存在。证法2:令,则故当时,的极限不存在。20、试证在原点与负实轴上不连续。 证明 (1)证明在原点不连续: 时,其幅角不确定,故无定义。 在原点不连续 (2) 证明在负实轴上不连续: 设在负实轴上,则 当复平面的上半平面趋近时, 当复平面的下半平面趋近时, 所以不存在。故命题得证。第二章 解析函数1、指出下列函数在何处可导,在何处解析。(1);解 令,则,。 四个
9、一阶偏导数处处连续,当且仅当时,满足C-R方程。 所以在处可导,但处处不解析。(2);解 令,则,。 四个一阶偏导数处处连续,当且仅当,即时,满足C-R方程。 所以在直线上可导,但在复平面内处处不解析。(3)。解 设,则。令,则,。四个一阶偏导数处处连续,欲使C-R方程成立,需,得。所以在处可导,但处处不解析。2、求下列函数的解析域,并求其导数。(1);解 原函数为z的多项式,所以在整个复平面上处处解析,其导数为:。(2);解 ,所以该函数在复平面上除外处处解析,其导数为:。(3)。解 当,即时,函数解析。即函数在整个复平面上除外,处处解析,其导数为:。3、设,求的值,使得在复平面处处解析。
10、解 令,则 ,。因为在复平面处处解析,欲使C-R方程成立,需所以,。4、证明:若为解析函数,且,则曲线组和(为实常数)相互正交。证明: 5、设函数在区域D内解析,试证:在D内为常数的充要条件为在D内解析。 解 (1)证明充分性:设,则。因为在区域D内解析,所以。又因为在区域D内解析,所以。联立以上两式,得。 所以,即在D内为常数。得证。 (2)证明必要性: 若在D内为常数,则。又因为在区域D内解析,所以。所以,即在区域D内解析。得证。6、若在区域D内解析,试证明在D内下列各式成立:(1),;解 设,则因为在区域D内解析,所以。 故。 由高阶导数定理可知,与具有任意阶的连续偏导数,故有。 所以。
11、同理可证。 (说明若在区域D内解析,则与为调和函数)(2) ;解 设,则。 , 同理 由题(1)可知:。 故(1)式与(2)式相加得:。 又因为,。 所以,即,得证。(3) 解 设,则因为在区域D内解析,所以。 又因为, 所以 同理:。 故 代入(1)式,得上式等于:。又因为,。所以左右两式相等,命题得证。7、证明:在区域D上解析当且仅当,并利用该结论探讨函数的解析性。证明: 又,因此可以得到,所以可以推导得到:,同理可以得到:又当且仅当时,即时,才满足柯西-黎曼方程,。所以在区域D上,当且仅当时,解析,命题得证。 ,可得,不解析。8、求解下列方程。(1);解 , 故,(2);解 ,。(3);
12、解 ,即,故。(4);解 (5);解 故,(6)。解 ,即。故9、论证下列等式是否成立。(1);解 成立,理由如下 (2);解 成立,理由如下证法一如(1)。 证法二: 利用(1),得。 所以(3);解 不成立,理由如下 设,则 所以 可见两者的实部相等,但虚部取值却可能不同。 例如,当时,虚部中前系数为:。 而虚部中前系数为:。(4) 。解 成立,理由如下: 设,则, 所以由于m和(k+nm)的集合等价,可见两者的实部相等,虚部取值也相等,所以等式成立。10、求下列各式的值。(1);解 (2);解 (3)。解 第三章 复变函数的积分1、分别沿路径与计算积分的值。解 (1)沿,则设C为。 故为
13、任意常数。 (2) 沿,则设C为。 故其中为任意常数。2、沿下列路径分别计算积分:(1)自原点到的直线段;(2)自原点沿实轴到3再垂直向上到的折线段。 解 (1)设自原点到的直线段的参数方程为。 则(2)设自原点沿实轴到3的直线段的参数方程为; 自3垂直向上到的直线段的参数方程为。 则3、计算,其中路径C为: (1)从原点到的直线段; (2)抛物线上从原点到的弧线段。 解 (1)设C为。 故。 所以。 (2)设C为。 故。 所以。4、计算下列积分: (1); 解 (2);解 令,得 所以为其奇点,皆在外。故(3);解 ,即。(4);解 令,得,其中只有在内。 (5);解 (6);解 (7)。解
14、 5、计算积分,其中C由正向圆周和负向圆周组成。 解 方法一:设正向圆周时,。 设为负向圆周时: 所以。 方法二: 依题意,C为以正向圆周为外边界,负向圆周为内边界的复连通域。且被积函数的唯一奇点不在复连通域内。故在复连通域内处处解析。 所以。6、计算下列各积分的值。 (1); 解 (2);解 (3)。解 7、计算下列积分。 (1); 解 (2)。 解 8、设函数在单连通域B内连续,且对于B内任何一条简单闭曲线C都有,证明在B内解析。证明:在单连通域B内取定取定一点,z为B内任意一点,根据已知条件,对于B内任何一条简单闭曲线C都有,可知积分的值与连接与的路线无关,它定义了一个单值函数:,显然。
15、所以F(z)是区域B内的解析函数,根据解析函数的性质,f(z)在B内解析,命题得证。9、设为复平面上的调和函数,证明:为复平面上的解析函数。证明 为调和函数,故其具有二阶连续偏导数。,。 ,。满足C-R方程,故得证。10、证明为调和函数,并求解析函数,并且。 证明: ,即,故为调和函数。 为解析函数,故。 ,为任意常数。 故。 代入,得。 所以。 得:第四章 级数1、判别下列级数的绝对收敛性与收敛性。(1);解 ,为调和级数,发散。 由于,且,。 根据莱布尼兹法则,且,且。所以收敛。故收敛,且为条件收敛。(2);解 为调和级数,发散;收敛。所以原级数发散。(3)解 故原级数收敛,且为绝对收敛。
16、(4)解 由于等比数列收敛,发散,所以原级数发散。2下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛;(2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点;(3)每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。解 (1)不正确。根据阿贝尔Abel定理,每个幂级数在它的收敛圆内绝对收敛;在它的收敛圆外发散;在收敛圆上,可能收敛,也可能发散。例如,由比值审敛法得,幂级数的收敛圆为,在收敛圆上,当时,原级数为,是交错级数,收敛;当时,原级数成为,是调和级数,发散。(2)不正确。由幂级数的性质可知,幂级数的和函数在收敛圆内是一个解析函数。因此,在收敛圆内不可能有奇点。(3)不正确。只
17、有在解析的函数,才能在的某邻域内展开成泰勒级数。例如,在点处连续,但不可导,因此不能在处展开成泰勒级数。3. 求下列幂级数的收敛半径。(1)为正整数解 ,故,得收敛半径。(2);解:,故得收敛半径。(3);解 ,故,得收敛半径(4);解 ,故,得收敛半径。(5);解 设级数,则为的子项。 对于,故收敛半径为。 所以原级数的收敛半径也为。(6)解 ,故,得收敛半径4设级数收敛,而发散,证明的收敛半径为1。解 当时,收敛。根据阿贝尔定理可知,在内收敛,且为绝对收敛。故可推知,的收敛半径。设时,级数收敛。即在内绝对收敛。因为,所以时级数也绝对收敛,即收敛,与条件矛盾。因此,的收敛半径为1。5如果级数
18、在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛,证明它在收敛圆所围的此区域上绝对收敛。 解 设级数的收敛半径为。因为为收敛圆周上一点,即,且在上绝对收敛。所以,当时,有。 由于收敛,故也收敛。即在绝对收敛,命题得证。6把下列各函数展开成的幂级数,并指出它们的收敛半径。(1);解 根据得: 。(2);解 在单位圆上有一奇点,但在上处处解析。故其在可展开成幂级数。,两边求导得:。其收敛半径为。(3);解 令,则。代入,得。因为在复平面内处处解析,故收敛半径为。(4);解 是的奇点,但函数在上处处解析,故其在可展开成幂级数。 因为,且令,则,代入可得: 其收敛半径为。(5);解 。 其收敛半径为。(6)。解 令
19、,则。 , 代入得: 由于是函数的奇点,故其收敛半径为。7求下列各函数在指定点处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径。(1);解 收敛域为,即收敛半径为。(2);解 第一个级数成立的条件是,第一个级数成立的条件是。因此函数的收敛半径为。(3);解 成立条件为,即收敛半径为。(4);解 收敛半径R=2(5)。解 因为是的奇点,且是离最近的奇点,所以函数在处的泰勒级数的收敛域为,即收敛半径为。根据泰勒展开定理,得:所以8下列结论是否正确?用长除法得因为所以 解 不正确。因为的求法是:,条件为。的求法是:,条件为,即。两式成立的条件不同,因此不能直接将他们的级数相加。故结论不正确。9把下列各函数在指定
20、的圆环域内展开成洛朗级数。(1);解 令,由。 代入,得 所以。(2)(前四项);解 记,该函数的奇点为z=1,所以在的范围内,函数可以展开成泰勒级数,根据定义,泰勒级数的系数为:,(3);解 设, 则,即。 所以。 当时,。得: ; 故 当时,。得: 故(4);解 令,由。 代入,得 (5);解 因为 由; 。 得(6)。解 ,根据三角公式可知: 由 。10、将在以原点为中心的各圆环内展开成洛朗级数。解 (1) 当时,。故;。(2) 当时,。故;。(3) 当时,。故;。第五章 留数1、 下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出它的级。(1);解 依题意,在和上不解析,即为的奇点。 由,可知是的
21、可去奇点。 又因为在上不解析,即在的领域内有不解析的点。故不是的孤立奇点。(2);解 令,得。即为的奇点。当时,。对于有,。为的一级零点,故为的二级零点。得为的二级极点。同理,为的二级极点。当时,有故为的一级零点。即为的一级极点。(3);解 因为恒成立,且处处解析。所以无奇点。(4);解 令,得,即。 所以的奇点为及,且它们为孤立奇点。 当时,为的零点。且在的领域内可展开为,即为的二级零点。所以为的二级极点。当及时,由于,且。所以它们为的一级零点,即为的一级极点。(5);解 依题意,易得为的孤立奇点。且其在处的洛朗展开式为: ,故为的二级极点。(6);解 ,是函数的奇点。不存在,所以是函数的本
22、性奇点。令,即是f(z)的零点。又因为,所以是f(z)函数的1级零点。同时因为,所以是原函数的一级极点。(7);解 为的孤立奇点。 在处解析,且。 为的三级极点。(8); 解 为的孤立奇点。 在处解析,且。 为的二级极点。(9)。 解 为的孤立奇点。在处解析,且为的一级极点,和为的二级极点。2、 是函数的几级极点? 解 令方法一:令,则 其幂级数为令,当时,。所以为的五级零点。又,即为的十级零点。为的十级极点。方法二:令,则;所以是的五级零点。故设,其中在处解析,且。得。由于在处解析,且。所以为的十级零点,即为的十级极点。3、 已知函数在处有一个二级极点,这个函数又有下列洛朗展开式:问“又是的
23、本性奇点;又因其中不含幂,因此”,这些说法对吗?解. 1) “z=1是f(z)的本性奇点”这种说法不对。判断孤立奇点的分类是根据函数f(z)在它的孤立奇点的去心邻域内的洛朗展开式进行判断。本题中z=1是函数f(z)的孤立奇点,以z=1为中心的去心邻域对f(z)进行洛朗展开,可以得到:展开式中含有有限个(z-1)的负幂次项,且最高负幂次为2,即z=1是f(z)的二级极点。2)“又因其中不含幂,因此”这种说法不对。根据f(z)在z=1为中心的去心邻域洛朗展开式可知,。4、 求下列函数在有限奇点处的留数。(1);解 ,即和为的一级极点。 得; 。(2);解 为的一级零点,为的四级零点。 为的三级零点
24、。 得。(3);解 ,即为其一级极点。 ; ;。(4);解 的奇点为,为一级极点,且其留数为:(5);解 为的本性奇点,即。(6);解 且为它的奇点。 为的本性奇点,即,。(7);解 ,当时,是的零点。 对于有,所以为的一级零点,即为原函数的一级极点。又有: 故为三级零点,z=0为的三级极点。 (8)解 是函数的奇点,5、 计算下列各积分(利用留数;圆周均取正向)。(1);解 在积分曲线内,被积函数有且只有一个奇点,且为二级极点。 (2);解 为被积函数二级极点,且在积分曲线的内部。 。(3);解 令得,。 其中在积分曲线,且为被积函数的一级极点。 (4);解 ,且为其奇点,在积分曲线内。故。
25、(5);解 为被积函数的一级极点,同时在积分曲线内。 且; ; 。 (6) (其中m为整数)。解 时,为的可去奇点;时,为的级极点。故时,;时,;时,。得。6、 判定是下列各函数的什么奇点?并求出在处的留数、(1);解 且有无穷多的正幂项,故为其本性奇点。 。(2);解 可见其洛朗级数的展开式中有无穷多项的正幂项,故为其本性奇点。(3)。解 当时,可见其洛朗级数的展开式中有不含的正幂项,故为其可去奇点。7、 求的值,如果(1);解 可见其洛朗级数的展开式中有无穷多项的正幂项,故为其本性奇点。(2)。解 和为的一级极点,为的四级极点。 故得。8、 计算下列各积分(其中C为正向圆周)。(1);解
26、在积分曲线内,被积函数有两个奇点,且为二级极点,为一级极点。 ;。(2);解 在积分曲线内,被积函数有两个奇点:及。 (3),(为一正整数)。解 令,得。即被积函数共有个一级极点。 9、 计算下列积分。(1);解 设,则,即,。 被积函数在内只有一个一级极点。故。(2);解 设,则,即,。 被积函数在内只有一个二级极点。故。(3);解 被积函数在上半平面内只有一个二级极点,其留数为: 。 得(4);解 被积函数在上半平面内只有两个一级极点,其留数为: ;同理。因为被积函数为偶函数。故(5);解 设,则。设。 则在上半平面内只有一个一级极点,其留数为 。 ; 。(6)。解 设,则在上半平面内只有
27、一个一级极点,其留数为 。 。 为偶函数,故。第六章 矢量分析与场论1、 设,证明:,以及。证明:,2、 求曲线处的单位切向矢量解:3、 设,求 及.解:,4、 设,计算解:,5. 设,计算解:6. 求数量场通过点的等值面方程解:,过点,即:,即,所以过M点的等直面方程为:7. 求矢量场的矢量线方程解:因为,所以,则矢量线所应满足的微分方程为:这等价为:解之得:,为任意常数,这就是矢量场A的矢量线方程。8. 求矢量场通过点的矢量线方程。解:矢量线所满足的微分方程为:这等价为:,解之得:,为任意常数,这就是矢量场A的矢量线方程。9. 求数量场在处沿矢径方向的方向导数。解:,在点处有:,处的失径为,的方向余弦为:,因此可得到方向导数为:10. 设数量场,求从点指向方向的方向导数,在沿什么方向的方向导数最大?最大值为多少?解:,在处有:, ,从点指向方向的方向为,的方向余弦为:,因此可得到方向导数为:在点处,数量场沿梯度方向的方向导数最大,即:。方向导数最大值为:11. 求平面数量场,沿曲线过点的切线方向的方向导数及梯度解:数量场在M点处的梯度为:曲线在点M切线方向的即该曲线的矢性函数的导矢,该曲线的失性函数为:该曲线在M点切线方向的方向余弦为:所以数量场在M点处的方向导数为:1
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