高中数学向量专题中档难度题目最全汇总

1、高中数学向量专题一选择题（共27小题）1如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD=120，AB=AD=1若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）ABCD32已知，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足4+3=0，则|的最小值是（）A1B+1C2D23已知点G是ABC内一点，满足+=，若BAC=，=1，则|的最小值是（）ABCD4已知ABC中，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A4B2C1D05已知向量，夹角为，|=2，对任意xR，有|+x|，则|t|+|t|（tR）的最小值是（）ABCD6如图，在ABC中，点D，E是线段B

2、C上两个动点，且=x，则的最小值为（）AB2CD7已知ABC中，A=120，且AB=3，AC=4，若，且，则实数的值为（）ABC6D8已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）ABCD9已知：|=1，|=，=0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设=m+n（m，nR），则的值为（）A2BC3D410已知，为单位向量，且，向量满足|=2，则|的范围为（）A1，1+B2，2+CD32，3+211已知平面内任意不共线三点A，B，C，则的值为（）A正数B负数C0D以上说法都有可能13在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=4，则的最小值是（）A4B8C10D1214已知O是正方形ABCD

3、的中心若=，其中，R，则=（）AB2CD15ABC所在平面上一点P满足+=，则PAB的面积与ABC的面积比为（）A2：3B1：3C1：4D1：616在ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则=（）A7B7C28D2817已知O是正ABC的中心若=，其中，R，则的值为（）ABCD218设ABC的面积为S，若，tanA=2，则S=（）A1B2CD19已知向量，为平面向量，|=|=2=1，且使得2与所成夹角为，则|的最大值为（）ABC1D+120已知O为ABC内一点，且有，记ABC，BCO，ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A3：2：1B3：1：2C6：1：2D6：2

4、：121已知ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）ABCD122已知向量，满足|=2，|=3，若（2）（）=0，则|的最小值是（）A2B2+C1D223如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是ABC的重心，则用向量表示为（）ABCD24设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若=，则O为ABC的（）A内心B外心C重心D垂心25已知平面向量，满足|=|=|=1，若=，则（2+）（）的最小值为（）A2BC1D026已知O是ABC内部一点，且3=，则OBC的面积与ABC的面积之比为（）AB1CD227已知向量满足：，若，的最大值和最小值分别为m

5、，n，则m+n等于（）ABCD二填空题（共3小题）28已知直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=90，ADC=45，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则|3+|的最小值为 29已知向量=（2，3），=（m，6），若，则|2+|= 30已知在ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，+=，若|=4，|=2，SAPQ=，则的值为 2018年09月30日186*1015的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共27小题）1如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD=120，AB=AD=1若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）ABCD3【分析】如图所示，以D为原点，以DA所在的

6、直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BNx轴，过点B做BMy轴，ABBC，ADCD，BAD=120，AB=AD=1，AN=ABcos60=，BN=ABsin60=，DN=1+=，BM=，CM=MBtan30=，DC=DM+MC=，A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），=（1，m），=（，m），0m，=+m2m=（m）2+=（m）2+，当m=时，取得最小值为故选：A2已知，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足4+3=

7、0，则|的最小值是（）A1B+1C2D2【分析】把等式4+3=0变形，可得得，即（）（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x0）上，画出图形，数形结合得答案【解答】解：由4+3=0，得，（）（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x0）上不妨以y=为例，则|的最小值是（2，0）到直线的距离减1即故选：A3已知点G是ABC内一点，满足+=，若BAC=，=1，则|的最小值是（）ABCD【分析】用，表示出，利用基本不等式得出|AB|2+|AC|2

8、的最小值即可【解答】解：点G是ABC内一点，满足+=，G是ABC的重心，=（ +），=（2+2+2）=（|AB|2+|AC|2）+，=|AB|AC|=1，|AB|AC|=2，AB2+AC22|AB|AC|=4，2=|故选：C4已知ABC中，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A4B2C1D0【分析】根据题意，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出【解答】解：ABC中，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直

9、角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0m1，Q的坐标为（0，n），0n1，=（1，n），=（m，1），=mn=（m+n）2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为2，故选：B5已知向量，夹角为，|=2，对任意xR，有|+x|，则|t|+|t|（tR）的最小值是（）ABCD【分析】由题意对任意xR，有，两边平方整理由判别式小于等于0，可得（），运用数量积的定义可得即有|=1，画出=，=，建立平面直角坐标系，设出A，B的坐标，求得|t|+|t|的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所求最小值【解答】解：向量，夹角为，对任意xR，有，两边平方整理可得x

10、22+2x（22）0，则=4（）2+42（22）0，即有（2）20，即为2=，则（），由向量，夹角为，|=2，由2=|cos，即有|=1，则|=，画出=，=，建立平面直角坐标系，如图所示；则A（1，0），B（0，），=（1，0），=（1，）；=+=+=2（+表示P（t，0）与M（，），N（，）的距离之和的2倍，当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|即有2|MN|=2=故选：D6如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且=x，则的最小值为（）AB2CD【分析】设，由B，D，E，C共线可得x+y=2，可得=（）（x+y）=（5+）【解答】解：设，B，D，E，C共线，m+n=1，+=1=x

11、，则x+y=2，=（）（x+y）=（5+）则的最小值为故选：D7已知ABC中，A=120，且AB=3，AC=4，若，且，则实数的值为（）ABC6D【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得=（+）（）=0，整理变形可得（1）34cos1209+16=0，解可得的值，即可得答案【解答】解：根据题意，ABC中，A=120，且AB=3，AC=4，若，且，则有=（+）（）=2+2=（1）2+2=0，整理可得：（1）34cos1209+16=0，解可得：=故选：A8已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）ABCD【分析】根据题意，设为、的夹角，据此依次分析选项，综合可得答案【解答】

12、解：根据题意，设为、的夹角，据此依次分析选项：对于A、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；对于B、=|cos，当、不垂直时，0，B错误；对于C、=|cos=cos1，C错误；对于D、是两个单位向量，即|=|，则有2=2，D正确；故选：D9已知：|=1，|=，=0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设=m+n（m，nR），则的值为（）A2BC3D4【分析】由已知建立平面直角坐标系，得到的坐标，结合=m+n求得的坐标，再由与的夹角为30求解【解答】解：|=1，|=，=0，建立平面直角坐标系如图：则，=m+n=（m，），又与的夹角为30，则的值为3故选：C10已知，为单位向

13、量，且，向量满足|=2，则|的范围为（）A1，1+B2，2+CD32，3+2【分析】由，是单位向量，=0可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）由向量满足|=2，可得（x1）2+（y1）2=4其圆心C（1，1），半径r=2利用|OC|r|=|OC|+r即可得出【解答】解：由，是单位向量，=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|=2，|（x1，y1）|=2，=2，即（x1）2+（y1）2=4，其圆心C（1，1），半径r=2，|OC|=2|=2+故选：B11已知平面内任意不共线三点A，B，C，则的值为（）A正数B负数C0D以上说法都有可能【分析】当不共线三点A，B，C构

14、成锐角三角形或直角三角形时，显然有；当三点A，B，C构成钝角三角形，可设C为钝角，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则有ca，cb，并可得出=accosBabcosCbccosAab（cosA+cosB+cosC）=abcosA+cosBcos（A+B），说明cosA+cosB+cos（A+B）0即可【解答】解：如果三点A，B，C构成的三角形为锐角三角形或直角三角形，显然；如果三点A，B，C构成钝角三角形，可设C为钝角，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：ca，cb；则=accos（B）+abcos（C）+bccos（A）abcosBabcosCabcosA=ab（cosB+cosC

15、+cosA）=abcosA+cosBcos（A+B）=ab（cosA+cosBcosAcosB+sinAsinB）=abcosA+cosB（1cosA）+sinAsinBA，B是锐角；cosA0，cosB0，且1cosA0，sinAsinB0；故选：B12已知抛物线C：y2=x，过点P（a，0）的直线与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若0，则a的取值范围是（）A（，0）B（0，1）C（1，+）D1【分析】设过点P（a，0）的直线方程为my=xa，由直线与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积列不等式求出a的取值范围【解答】解：设过点P（a，0）的直

16、线方程为my=xa，且该直线与抛物线C：y2=x相交于A，B两点，则，y2mya=0，=x1x2+y1y2=+y1y2=a2a0，解得0a1；a的取值范围是（0，1）故选：B13在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=4，则的最小值是（）A4B8C10D12【分析】如图所示，延长OM到点E，使得ME=OM又点M是线段BC的中点，则四边形OBEC是平行四边形利用向量的平行四边形法则、共线定理、数量积运算、二次函数的单调性即可得出【解答】解：如图所示，延长OM到点E，使得ME=OM又点M是线段BC的中点，则四边形OBEC是平行四边形=2=，当且仅当，即点O为线段AM的中点时，取得最小值8故选

17、：B14已知O是正方形ABCD的中心若=，其中，R，则=（）AB2CD【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出，即可得出答案【解答】解：=+=，=1，=，=2故选：B15ABC所在平面上一点P满足+=，则PAB的面积与ABC的面积比为（）A2：3B1：3C1：4D1：6【分析】如图所示，由于点P满足+=，可得=，化为即可得到PAB的面积与ABC的面积比=AP：AB【解答】解：如图所示，点P满足+=，=，PAB的面积与ABC的面积比=AP：AC=1：3故选：B16在ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则=（）A7B7C28D28【分析】利用已知条件推出BC=8，BC边上中线长为3，通过

18、向量的模的平方，转化求解即可【解答】解：在ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，可得：，可得，两式作差可得：4=28，所以=7故选：A17已知O是正ABC的中心若=，其中，R，则的值为（）ABCD2【分析】O是正ABC的中心，可得，由=，可得+=， 可得1+=2=即可得的值【解答】解：O是正ABC的中心，由=，可得+=，（1+）+（）=1+=2=则的值为，故选：C18设ABC的面积为S，若，tanA=2，则S=（）A1B2CD【分析】利用向量的数量积，以及三角函数，化简求解即可【解答】解：tanA=2，可得cosA=，sinA=，可得bccosA=1，可得bc=，ABC的面积为S=bcsi

19、nA=1故选：A19已知向量，为平面向量，|=|=2=1，且使得2与所成夹角为，则|的最大值为（）ABC1D+1【分析】由向量的数量积的定义可得，=，设=（x，y），=（1，0），=（cos，sin）=（，），判断四点A、B、C、D共圆，设圆心为E，C在圆E上运动，结合图象可得所求最大值【解答】解：设=，=，=，平面向量，满足|=|=2=1，cos，=，=，设=（x，y），=（1，0），=（cos，sin）=（，），2与的夹角为，即为2与的夹角为，可得BCD+BAD=180，则四点A、B、C、D共圆，设圆心为E，C在圆E上运动，可得E的横坐标为，由BD=，可得2r=2，解得r=1，由A（1，0

20、），可得E（，），即有|OE|=，则|的最大值为1+故选：A20已知O为ABC内一点，且有，记ABC，BCO，ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A3：2：1B3：1：2C6：1：2D6：2：1【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE则+2=+=，由于+2+3=，可得=3又=2，可得=2于是=，得到SABC=2SAOB同理可得：SABC=3SAOC，SABC=6SBOC即可得出【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE则+2=+=，+2+3=，=3又=2，可得=2于是=，SABC=2SAOB

21、同理可得：SABC=3SAOC，SABC=6SBOCABC，BOC，ACO的面积比=6：1：2故选：C21已知ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）ABCD1【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算（+）的最小值即可【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，），B（，0），C（，0），设P（x，y），则=（x，y），=（x，y），=（x，y），所以（+）=x（2x）+（y）（2y）=2x2y+2y2=2x2+2（y）2；所以当x=0，y=时，取得最小值是故选：B22已知向量，满足|=2，|=3，若（2）（）=0，则|的最小值是（）

22、A2B2+C1D2【分析】由题意设，再设，这样根据即可得出终点的轨迹，而数形结合即可求出的最小值【解答】解：根据条件，设，设，则：=0；的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：|的最小值为：故选：A23如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是ABC的重心，则用向量表示为（）ABCD【分析】根据向量加法的平行四边形法则及数乘的几何意义，再根据三角形重心的性质便可得出，这样根据向量加法的几何意义及向量的数乘运算即可表示出向量【解答】解：根据题意，；=故选：A24设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若=，则O为ABC的（）A内心B外心C重心D垂心【分析】运用向量的加减

23、运算，以及向量数量积的性质，结合三角形的外心，可得所求【解答】解：若=，可得（+）=（+）=（+）=0，即为（）（+）=（）（+）=（）（+）=0，即有|2=|2=|2，则|=|=|，故O为ABC的外心，故选：B25已知平面向量，满足|=|=|=1，若=，则（2+）（）的最小值为（）A2BC1D0【分析】推导出=60，设=（1，0），=（），=（x，y），则x2+y2=1，则（2+）（）=（2+x，y）（，y）=y=sin（+150），由此能求出（2+）（）的最小值【解答】解：平面向量，满足|=|=|=1，=，cos=，=60，设=（1，0），=（），=（x，y），则x2+y2=1，（2+）（

24、）=（2+x，y）（，y）=（2+x）（）+（y）y=y=sin（+150），（2+）（）的最小值为故选：B26已知O是ABC内部一点，且3=，则OBC的面积与ABC的面积之比为（）AB1CD2【分析】由向量式可得O为三角形ABC中位线FE的三等分点（靠近E），从而可得两三角形面积和ABC的关系，可从而得答案【解答】解：3=，2（如图E，F分别是对应边的中点，由平行四边形法则知：2=，O为三角形ABC中位线FE的三等分点（靠近E），O到CB的距离是三角形ABC高的一半，则OBC的面积与ABC的面积之比为1：2故选：A27已知向量满足：，若，的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于（）ABCD【分析】由已知可得，设，则=x1=，结合，可得y1=3，不妨取=（，3），设=（x，y），结合（）（）=0，可得x，y所满足的关系式，数形结合得答案【解答】解：由，即12，设，则=x1=，且|=，y1=3，不妨取=（，3）设=（x，y），则=（1x，y），=（x，3y），由题意（）（）=0，（