材力 孙训方 第六章弯曲变形.ppt

1、第 六 章,弯 曲 变 形,主要内容,6-1 梁的位移-挠度及转角 6-2 挠曲线的近似微分方程 6-3 用积分法求梁的变形 6-4 用叠加法求梁的变形 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 6-6 梁内的弯曲应变能,【学 时】6 【基本要求】,了解弯曲变形的描述 理解挠度，转角及梁弯曲近似微分方程 掌握积分法及叠加法求梁的变形。 熟练掌握梁的刚度计算 了解提高梁刚度的措施,【重点】积分法求梁的变形及梁的刚度计算 【难点】叠加法求梁的变形,挠曲线（弹性曲线） ：,在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为xoy平面内的一条曲线。这条连续、光滑的曲线梁的挠曲线。,6-1 梁的位移-挠度及转角,x,y

2、,截面转角和挠度,（梁弯曲变形的两个基本量）,一般情况下，不同 横截面的挠度值不同。,横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变 的规律用挠曲线方程表示。即：,符号：挠度向下为正，向上为负。 单位：mm,P,挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴 线（x 轴）方向上所产生的线位移，称 为梁在截面的挠度。,x,y,转角：横截面绕中性轴所转过的角度。如A,由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面 变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。所以,A：曲线OAB在A点的切线与X轴间的夹角。,符号：横截面顺时针转为正，反之为负。 单位：弧度,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,y,截面挠度与转角的关系,挠曲

3、线的斜率：,由于是小变形， 极小。可用：,结论：挠曲线上任意点处切线的斜率 等于该点处横截面的转角。,x,y,挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,6-2 挠曲线的近似微分方程,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,思考：为什么称为近似微分方程？,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,7-3,6-3 用积分法求梁的变形,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边

4、界条件:支座处的约束条件,积分常数的确定,弹簧变形,光滑连续条件：相邻两端梁在交接处的位 移光滑连续条件,，,在,在,条件的完备性：,对静定梁，若梁的弯矩分了n段，每段积分有两个常数，共有2n个常数；而梁有2个边界条件；n段，(n-1)个内点，每一内点有两个光滑连续条件，共有2(n-1)个光滑连续条件，这样常数的个数刚好与定常数的条件数相等。,例6-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度

5、方程,6）确定最大转角和最大挠度,例6-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,6）确定最大转角,令 得，,即，在A处，截面转角取得极值,令 得，,说明在B处，转角取得极值,因为ab，所以，,（ ）,7）确定最大挠度,令 得，,说明在AC段内，挠度取得了极值：,经过类似分析，在ab的情况下，在CB段内,挠

6、度没有,极值点，所以最大挠度为：,思考:,积分法求变形有什么优缺点？,（1） 由,知,b越小,x0越大，即荷载越靠近右支座，梁的最大挠度点离中点就越远，而且梁的最大挠度与梁中点的差值也随之,讨论,增加。在b甚小的极端情况下，有,此时，,，所以，在简支梁中，不论,它受什么载荷，只要挠曲线上无拐点，总可以,(2) 当集中力 F作用在 简支梁中点时,则,(3)注意,在积分时,为了保证每段对应常数相等,必须遵循以 下两个原则: 对各段梁,都是从同一坐标原点到截面之间的梁段上的外力列出弯矩方程; 对(x-a)项的积分,以(x-a)作为自变量,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为

7、 ，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,7-4,6-4 用叠加法求梁的变形,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,比较,与,* 荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个荷载，利用单个荷载作用下梁的挠度和转角的结果进行叠加，就可求得梁在多个荷载作用下的总变形。,例如,注意:叠加法是在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极限，才成立.,例6-3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截

8、面的挠度yC ；B截面的转角B,1）将梁上的载荷分解,2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,解,y,y,y,y,+,+,y,3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,+,+,y,y,y,y,例6-4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。再将处理后的梁分解为简单载荷作用的叠加,解,y,y,y,+,3）将结果叠加,2）计算各自C截面的挠度和转角。,+,y,y,

9、y,注意;利用附录的变形表查挠度和转角时,要注意载荷的方向和变量的含义,* 逐段刚化法：将梁分成几段，分别计算各段梁 的变形在需求位移处引起的位移，然后计算其总和。,即：考虑某段梁的变形时，将其它梁段视为刚体，在利用外力平移计算其它梁段的变形，最后叠加。,例题6-5：求最大挠度和转角,例题6-6：已知简支外伸梁抗弯刚度EI。试求：A点挠度,解：,注意;每段梁的受力和约束要保持不变,一.刚度条件,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,7-5,6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,例题6-7：已知：P1=2KN，P2=1KN。L=400mm，a=100mm，外径D

10、=80mm，内径d=40mm，E=200GPa，截面C处挠度不超过两轴承间距离的10-4，轴承B处转角不超过10-3弧度。试校核该主轴的刚度。,满足刚度条件,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：,解,例6-8 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,例6-8 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,B,2）由刚度

11、条件确定轴的直径：,二.提高梁刚度的措施,注： 梁的变形不仅与荷载、支承有关， 而且与材料、跨度等也有关。,1. 提高梁的抗弯刚度 EI,对弹性模量来说，即使采用高强合金钢也 只是增加了许用应力，但 E 值比较接近，（提 高梁的抗弯强度的措施）。要增加梁的抗弯刚 度还是需要考虑横截面的惯性矩。,即选择合理的截面形状,梁的变形与横截面的惯性矩成反比，增加 惯性矩可以提高梁的抗弯刚度。（与提高梁的 抗弯强度的办法相类似）,为提高梁的强度可以将梁的局部截面 惯性矩增加，即采用变截面梁。但对提高 梁的刚度收效不大。,梁的最大正应力只与最大弯矩所在截面 有关，而梁在任意指定截面处的位移则与全 梁的变形有

12、关。要提高梁的刚度，必须使全 梁的变形减小，因此应增大全梁或大部分梁 的截面惯性矩,注意:,2. 减小跨度,* 调整支承外伸梁,* 增加支承超静定,3.改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,由梁的近似微分方程知,梁的挠度和转角与弯矩成正比,由此通过减小弯矩,也能提高梁的刚度,3.改善荷载形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,弹性体在外力作用下，因发生弹性变形而储存在弹性体内的能量，称为应变能或变形能。用,表示。,一.应变能,在弹性体变形过程中，储存在弹性体内的应 变能,在数值上等于外力所做的功W，即,二.弹性体的功能原理,三.梁的弯曲应变能,在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得,6-6 梁内

13、的弯曲应变能,又,所以圆心角为:,且代入顶式得,横力弯曲时，梁内应变能包含两部分,与弯曲变形相应的弯曲应变能和与剪切变形相应的剪切应变能.,对于弯曲应变能,梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁,弯矩的增量，可不计,于是可用纯弯曲的应变能公式计算其应变能 积分得全梁的弯曲应变能为,当各段梁的弯矩表达式不同时,积分也需分段进行; 在工程中由于梁的跨长往往大于截面高度的10倍, 剪切变形能可不计.,注意:,根据梁的近似微分方程,梁的弯曲应变能又可写成,注意: 以上各式只有当梁在线弹性范围内工作时才是适用的,1本章是在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假设仍然成立。 变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方向的位移称为挠度；横截面变形前后的夹角称为转角 。梁的轴线在变形后成为一条连续光滑的曲线，称为挠度曲线。挠度曲线与转角的关系为,本章小结,2根据小挠度微分方程:,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,若梁的弯矩分了n段，每段积分有两个常数，共有2n个常数；而梁有2个边界条件；n段，(n-1)个内点，每一内点有两个光滑连续条件，又有2(n-1)个光滑连续条件，这样一共有2n定