《工程数学概率统计简明教程同济大学应用数学系》课后答案lxywyl

1用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A1抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A两次出现的面相同；2记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A3从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A一分钟内呼叫次数不超过3次；寿命在2000到2500小时之间。解1,，A,2记X为一分钟内接到的呼叫次数，则XK|K0,1,2,LL，AXK|K0,1,2,33记X为抽到的灯泡的寿命（单位小时），则X0,，AX2000,25002袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A取得球的号码是偶数，B取得球的号码是奇数，C取得球的号码小于5，问下列运算表示什么事件1AUB；2AB；3AC；4AC；5AC；6BUC；7AC解1AUB是必然事件；2AB是不可能事件；3AC取得球的号码是2，4；4AC取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10；5AC取得球的号码为奇数，且不小于5取得球的号码为5，7，9；6BUCBIC取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10；7ACAC取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，103在区间0,2上任取一数，记A1AUB；2AB；3AB；4AUBX1X21，BX1X43，求下列事件的表达式2解1AUBX1X3422ABX0X1或1X22IBX1X41UX1X3223因为AB，所以AB；4AUBAUX0X1或3X2X0X1或1X1或3X24用事件A,B,C42422的运算关系式表示下列事件1A出现，B,C都不出现（记为E1）；2A,B都出现，C不出现（记为E2）；3所有三个事件都出现（记为E3）；4三个事件中至少有一个出现（记为E4）；5三个事件都不出现（记为E5）；6不多于一个事件出现（记为E6）；7不多于两个事件出现（记为E7）；8三个事件中至少有两个出现（记为E8）。解1E13E35E5ABC；2E2ABC；4E4ABC；6E6ABC；AUBUC；ABCUABCUABCUABC；7E7ABCAUBUC；8E8ABUACUBC5一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设AI表示事件“第I次抽到废品”，I1,2,3课，试后用AI答表示案下列1第一次、第二次中至少有一次抽到废品；2只有第一次抽到废品；3三次都抽到废品；4至少有一次抽到合格品；2只有两次抽到废品。解1A1UA2；2A1A2A3；3A1A2A3；4A1UA2UA3；5A1A2A3UA1A2A3UA1A2A36接连进行三次射击，设AI第I次射击命中，IC三次射击至少命中二次；试用AI表示B和C。1,2,3，B三次射击恰好命中二次，解BA1A2A3UA1A2A3UA1A2A3CA1A2UA1A3UA2A3习题二解答1从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。解这是不放回抽取，样本点总数N50，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数3455K于是21PAKN455215034544535049482993922一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求1第一次、第二次都取到红球的概率；2第一次取到红球，第二次取到白球的概率；3二次取得的球为红、白各一的概率；4第二次取到红球的概率。解本题是有放回抽取模式，样本点总数NA,B,C,D72记1234题求概率的事件分别为2有利于A的样本点数KA52，故PA5257495210有利于B的样本点数KB52，故PB724920有利于C的样本点数KC252，故PC4975355有利于D的样本点数KD75，故PD72课154973一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求1最小号码是3的概率；2最大号码是3的概率。解本题是无放回模式，样本点总数N65最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为23，所求概率为231655最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22，所求概率为22652后答案网WWWKHDAWCOM4一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率12只都合格；21只合格，1只不合格；3至少有1只合格。解分别记题1、2、3涉及的事件为A,B,C，则4PAPB2432266525242114228665152注意到CAUB，且A与B互斥，因而由概率的可加性知PCPAPB2814515155掷两颗骰子，求下列事件的概率1点数之和为7；2点数之和不超过5；3点数之和为偶数。解分别记题1、2、3的事件为A,B,C,样本点总数N62A含样本点2,5,5,2,1,6,6,1,3,4,4,3PA61626B含样本点1,1,1,2,2,1,1,3,3,1,1,4,4,1,2,2,2,3,3,2PB1056218C含样本点1,1,1,3,3,1,1,5,5,12,2,2,4,4,2,2,6,6,2,3,3,3,5,5,34,4,4,6,6,45,56,6,一共18个样本点。PC1813626把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为543，所以PA5435312257总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率1事件A“其中恰有一位精通英语”；2事件B“其中恰有二位精通英语”；3事件C“其中有人精通英语”。解样本点总数为5312312PA5323363；54310511221552232918S2课3后答案网WWWKHDAWCOM221PB53333；543103因CAUB，且A与B互斥，因而PCPAPB339510108设一质点一定落在XOY平面内由X轴、Y轴及直线XAY1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直1X1/3的左边的概率。解记求概率的事件为A，则SAY为图中阴影部分，而|1/2，|SA|H最后由几何概型的概率计算公式可得PA|SA|5/1851|1/29O1/3X9（见前面问答题23）图2310已知AB，PA04，PB06，求1PA,PB；2PAUB；3PAB；4PBA,PAB；5PAB解1PA1PA10406，PB1PB10604；2PAUB3PABPAPAPB04；PABPAPBPAPB06；4PBA5PABPABPBAP060,04PAB02PAUB1PAUB1060411设A,B是两个事件，已知PA05，PB07，PAUB08，试求PAB及PBA解注意到PAUBPAPBPAB，因而PABPAPBPAUB05070804于是，PABPAABPAPAB050401；PBAPBABPBPAB070403习题三解答1已知随机事件A的概率PA试求PAB及PAB05，随机事件B的概率PB06，条件概率PB|A08，解PABPAPB|A050804PABPAUB1PAUB1PAPBPAB1050604032一批零件共100个，次品率为10，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。解P109908191009998999810783某人有一笔资金，他投入基金的概率为058，购买股票的概率为028，两项投资都做的概率为0191已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少2已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少解记A基金，B股票，则PA058,PB028,PAB019课后答12PB|APA|BPABPAPABPB019058019028案032网70678WWWKHDAWCOM4给定PA05，PB03，PAB015，验证下面四个等式PA|BPA,PA|BPA,PB|APB，PB|APB解PA|BPABPB015031PA2PA|BPABPBPA1PABPB05015070350705PAPB|APABPA0150503PBPB|APABPAPB1PABPA030150501505PB5有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为03，02，01，04，若坐火车，迟到的概率是025，若坐船，迟到的概率是03，若坐汽车，迟到的概率是01，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。解B迟到，A1且按题意坐火车，A2坐船，A3坐汽车，A4乘飞机，则B4UBAI，I1由全概率公式有PB|A14025，PB|A203，PB|A301，PB|A40PBPAIPB|AII1030250203010101456已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率1随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；2合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解1记B该球是红球，A1取自甲袋，A2取自乙袋，已知PB|A16/10，PB|A2PB8/14，所以PAPB|APAPB|A1618412112PB14724122210214707某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25，35，40，各车间产品的次品率分别为5，4，2，求该厂产品的次品率。解0250050350040400200125001400008003453458发报台分别以概率06，04发出“和“，由于通信受到干扰，当发出“时，分别以概率08和02收到“和“，同样，当发出信号“时，分别以09和01的概率收到“和“。求1收到信号“的概率；2当收到“时，发出“的概率。解记B收到信号“，A发出信号“1PBPAPB|APAPB|A060804010480040522PA|BPAPB|A060812PB052139设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25，35，40，各个车间成品中次品的百分比分别为5，4，2，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次课后答案网WWWKHDAWCOM品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。解为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D次品，因此PDPAPD|APBPD|BPCPD|C02500503500404002001250014000800345PA|DPAPD|A0250050362PD00345PB|DPBPD|B0350040406PD00345PC|DPCPD|C040020232PD10设A与B独立，且PA00345P,PBQ，求下列事件的概率PAUB，PAUB，PAUB解PAUBPAUBPAPAPBPBPAPBPAPBPQPQP1QP1Q1QPQPAUBPAB1PAPB1PQ11已知A,B独立，且PAB1/9,PABPAB，求PA,PB解因PABPAB，由独立性有PAPBPAPB从而PAPAPBPBPAPB导致PAPB再由PAB1/9，有1/9PAPB1PA1PB1PA2所以1PA1/3。最后得到PBPA2/312甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。解记B命中目标，A1而甲命中，A2乙命中，A3丙命中，则3BUAI，因I1PB31PA1PAPAPA1211118II123I13239913设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为P，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。解记A通达，12AI元件I通达，I1,2,3,4,5,634则AA1A2UA3A4UA5A6，所以56PAPA1A2PA3A4PA5A6图31PA1A2A3A4PA3A4A5A6PA1A2A5A6PA1A2A3A4A5A631P231P41P614假设一部机器在一天内发生故障的概率为02，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。解P530230820051215灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为02，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。解P33023308202200080096010416设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率PA1011063522563212274412831解记AI19A课在第后I次试答验中案出现网，I1,W2,3WWPKPHADAWCOMUI123依假设PA27I11PAAA11P3所以，1P38，此即P271/317加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2、3、5假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解注意到，加工零件为次品，当且仅当13道工序中至少有一道出现次品。记AI第I道工序为次品，I31,2,3则次品率PPUAII11PA1PA2PA310980970951090307009718三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为025，035，04求此密码被译出的概率。解记A译出密码，AI第I人译出，I31,2,3则PAPUAII11PA1PA2PA31075065061029250707519将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少有4次至6次出现正面的概率是多少解1；261010K4K220某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为075，求1在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；2在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；3在此时刻所有电梯都在运行的概率。解1110754102542552562407520252624307543481256习题四解答1下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。（1）PII,I1520,1,2,3,4,5；（2）PI5I,I60,1,2,3；（3）PI1,I42,3,4,5；（4）PII1,I251,2,3,4,5。I解要说明题中课给出后的数答列，是案否是网随机变W量W的W分布K律，H只D要A验W证PCI是O否M满足下列二个条件其一条件为PI0,I1,2,L，其二条件为PI1。I依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为P3594665200；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为PI1。I1252试确定常数C，使PXIC,I2I0,1,2,3,4成为某个随机变量X的分布律，并求PX2；P1X5。224解要使C2I成为某个随机变量的分布律，必须有CI021，由此解得C16；31（2）PX2PX01611PX1PX2128（3）P1X3124315PX1PX2161112。223124313一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有3，3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。解X可能取的值为3，1，2，且PX31,PX131,PX221，即X的分布律为6X312X的分布函数概率1113260X3FXPXX13563X11X21X24一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件X3表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即PX3115103；事件X4表示随机取出的3个球的最大31号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时PX425343；同理可得10126PX5。5103X的分布律为课后答案X网3WWW4KH5DAWCOMX的分布函数为概率1361010100X3FX11041013X44X5X55在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为06，求击中目标的次数X的分布律。解依题意X服从参数N55,PK06的二项分布，因此，其分布律5KPXK具体计算后可得06K04,K0,1,L,5，X012345概率3231254862514462521662516262524331256从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。解（1）设事件AI,I1,2,L表示第I次抽到的产品为正品，依题意，A1,L,AN,L相互独立，且PAI10,I131,2,L而K1PXKPALAAPALPAPA310,K1,2,L1K1K1K1K1313即X服从参数P10的几何分布。13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，PX110,PX2133105,131226PX332101312115143,PX432131211011101286X的分布律为X1234概率101355261431286（3）X可能取到的值为1，2，3，4，PX110,PX213311131333,169PX33212131313722197,PX432113131362197所求X的分布律为X123410337261316921972197概率由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。7设随机变量XB6,P，已知PX1PX5，求P与PX2的值。网W1解由于XB课6,P，后因此答PX案66PK1KWPW6K,KK0H,1,LD,6A。WCOM由此可算得PX16P1P5,PX56P51P,即6P1P56P51P,262解得P1；26此时，PX26112226512215。648掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为1，因此X服从N24,P1的二项分布，即2PXK41K4K,KK220,1,2,3,4由此可得X的分布函数0，1，X00X116FX5，1611，1615，161，1X22X33X4X49某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数4的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99的概率充分满足顾客的需要解设至少要进N件物品，由题意N应满足PXN1099,PXNK099,即PXN1N14E4099PXNK0KN4K4E099K0K查泊松分布表可求得N9。10有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为00001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。解设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从N1000,P00001的二项分布，即XB1000,00001，由于N较大，P较小，因此也可以近似地认为X服从NP10000000101的泊松分布，即XP01，所求概率为PX21PX010100E01PX01111E01109048370090484000467911某试验的成功概率为075，失败概率为025，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。解设事件AI表示第I次试验成功，则PAI075，且A1,L,AN,L相互独立。随机变量X取K意味着前K1次试验未成功，但第K次试验成功，因此有PXKPALAAPALPAPA025K1075所求的分布律为1K1K1K1KX12K概率075025075025K1075C12设随机变量课X的后密度函答数为案网WWWKHDAWCOMFX2X，0XA0，其他，试求（1）常数A；（2）X的分布函数。解（1）FX成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为FX0；其二为FXDX1，因此有A2XDX01，解得A1，其中A1舍去，即取A1。（2）分布函数FXPXXXX0DX00DX00DX0X21FXDXX2XDX012XDX0X0DX1X00X1X1X00X1X113设随机变量X的密度函数为FXX的分布函数。AEX,X，求（1）系数A；（2）P0X1；（3）解（1）系数A必须满足AEXDX1，由于EX为偶函数，所以AEXDX2AEXDX2AEXDX100解得A1；2（2）P0X111E02XDX11E02XDX11E1；2（3）FXXFXDXX1E201E2XDXXDXX1E02X0XDXX0X1EXDX201EXDX2X1E02X0XDXX01EXX02111EXX0221EXX02114证明函数1EXX02X2X0X2CFXE0（C为正的常数）X0为某个随机变量X的密度函数。X2X22X2证由于FX0，且FXDXXE2CDXCE2CDX02CE2C1，0因此FX满足密度函课数的后二个答条件案由此网可得FWXW为W某个K随H机D变的W密度C函O数M。15求出与密度函数05EXX0FX02500X2X2对应的分布函数FX的表达式。解当X0时，FXXFXDXX05EXDX05EX当0X2时，FXXFXDX005EXDXX025DX005025X当X综合有2时，FX005EXDX2025DX0X0DX20505105EX,X0FX051,025X,0X2X216设随机变量X在1,6解X的密度函数为上服从均匀分布，求方程T2XT10有实根的概率。FX1,51X6；0,其他方程T2XT10有实根的充分必要条件为X240，即X24，因此所求得概率为PX24PX2或X2PX2PX2061DX4。25517设某药品的有效期X以天计，其概率密度为FX20000,X0X10030，其他求1X的分布函数；2至少有200天有效期的概率。解1FXXFXDX0,X20000DX,X00X10030,X0X0110000,X1002X02PX2001PX2001F20011100001。18设随机变量X的分布函数为200100290,X0FX11XEX,X0求X的密度函数，并计算PX1和PX2。解由分布函数FXX与密度函数FX的关系，可得在FX的一切连续点处有FXFX，因此FXXE,X00,其他所求概率PX1F1111E112E1；PX21PX21F21112E23E2。19设随机变量X的分布函数为FX3随机变量X的密度函数。ABARCTANX,X，求1常数A,B；2PX1；X22解1要使F课X成后为随答机变案量网X的分W布W函W数，K必HD须A满W足LICMOFXM0,LIMFXX1，即LIMAXLIMAXBARCTANX0BARCTANX1AB0计算后得2AB12A1解得2B1另外，可验证当A1,B21时，FX11ARCTANX也满足分布函数其余的几条性质。2（2）PX1P1X1F1F1121（3）X的密度函数1ARCTAN1121441ARCTAN12FXFX1,X。1X220设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位MIN）服从1的指数分布，其密度函数5为FXX1E5,5X0，某顾客在窗口等待服务，若超过10MIN，他就离开。0其他（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。解（1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从且顾客等待时间超过10MIN就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为X1的指数分布，5PX101E1055DXE2；（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从N概率为5,PE2的二项分布，所求PY1PY0PY15E2010E255E21E4114E21E421设X服从0,1，借助于标准正态分布的分布函数表计算（1）PX22；（2）PX176；（3）PX078；（4）PX155；（5）PX25。解查正态分布表可得（1）PX222209861；（2）PX1761PX176117610960800392；（3）PX078078107810782302177；（4）PX155P155155X155115515521551551209394108788（5）PX251PX课25后1答22案51网WWWKHDAWCOM2225210993800124。22设X服从1,16，借助于标准正态分布的分布函数表计算（1）PX244（2）PX15；（3）PX28；（4）PX4；（5）P5X2；（6）PX11。解当X,2时，PAXBBA，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得（1）PX（2）PX244152444111514086108051；0125110125012505498；（3）PX282814045104510673603264；（4）PX441441125407512510750894410773406678；（5）P5X22145107514075110773408413109321；（6）PX111PX111P0X2121014410750251077240598708253。23某厂生产的滚珠直径服从正态分布的合格率。解所求得概率为205,001，合格品的规格规定为202，求该厂滚珠P202X2022220501182050115093321250993815109272524某人上班所需的时间X30,100（单位MIN）已知上班时间为830，他每天750出门，求（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。解（1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为PX4014030110110841301587；（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从N次的概率为5,P01587的二项分布，5天中最多迟到一PY150158701084135501587108413408192。1二维随机变量X,Y习题五解答只能取下列数组中的值0,0,1,1,1,13,2,0，且取这些组值的概率依次为1,1,1,5，求这二维随机变量的分布律。631212解由题意可得X,Y的联合分布律为11123000023116121166123PXYPX1,Y1PX2,Y2PX课后答案网WWW3KHDAWCOMXY0111001625122一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求X,Y的分布律及PXY。解X可能的取值为1,2,3，Y可能的取值为1,2,3，相应的，其概率为PX1,Y10,PX1,Y2121,PX4361,Y3111,4312PX2,Y1211,PX4362,Y2211,PX4362,Y3211,436PX或写成3,Y11,PX123,Y2121,PX4363,Y30XY10161123,Y10631。63箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下X0，若第一次取出正品；Y0，若第二次取出正品；1，若第一次取出次品；1，若第二次取出次品。分别就下面两种情况求出二维随机变量X,Y的联合分布律（1）放回抽样；（2）不放回抽样。解（1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且PX0,Y088101016,PX250,Y1824,101025PX或写成1,Y02810104,PX251,Y1221,101025XY01016425251412525（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为PX0,Y08710928,PX450,Y1828,10945PX或写成1,Y0281098,PX451,Y1211,10945课后答案网XYW0WW1KHDAWCOM0288454518145454对于第1题中的二维随机变量X,Y的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为X102概率512按列相加得Y的边缘分布律为Y015612113概率711121235对于第3题中的二维随机变量于X及关于Y的边缘分布律。X,Y的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关解在有放回情况下X的边缘分布律为X01Y的边缘分布律为概率4155Y01在无放回情况下X的边缘分布律为概率4155X01Y的边缘分布律为概率4155Y01概率41556求在D上服从均匀分布的随机变量X,Y的密度函数及分布函数，其中D为X轴、Y轴及直线Y2X1围成的三角形区域。解区域D见图52。易算得D的面积为S4,112X,Y11，所以24DX,Y的密度函数YFX,Y0,其他X,Y的分布函数1FX,YYXFX,YDXDY当X1或Y20时，FX,Y0；当1X20,0Y2X1时,YX2101XY11FX,YDY4DX024XY2YY；12图52当1X20,Y2X1时，FX,YXDX2X14DY024X24X1；2100511114312305131112441Y1当X0,0Y1时课，F后X,Y答YD案Y04网DX2YWYW2；WKHDAWCOM0Y12当X0,Y1时，FX,Y0DX2X14DY102综合有0,X1或Y02FX,Y4XY4X2Y22Y,4X1,1X0且0Y2X121X0且Y2X122YY2,1,X0且0Y1X0且Y17对于第6题中的二维随机变量解X的边缘密度函数为X,Y的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。FXXFX,YDY2X11104DY,0,2X0其他42X1,X00,2其他Y的边缘密度函数为FYYFX,YDX04DX,20,0Y1其他21Y,0,0Y1其他8在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么解在有放回情况下，由于PX0,Y016，而PX250PY04416，即5525PX0,Y0PX0PY0；容易验证PX0,Y1PX0PY1,PX1,Y0PX1PY0,PX1,Y1PX1PY1，由独立性定义知X与Y相互独立。在无放回情况下，由于PX0,Y028，而PX450PY044165525，易见PX0,Y0PX0PY0，所以X与Y不相互独立。9在第6题中，X与Y是否独立，为什么解F1,14，而F12,F14，易见F1,1F1F1，所以X与Y不相43互独立。X4Y3343X4Y310设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律XY概率概率写出表示X,Y的分布律的表格。解由于X与Y相互独立，因此PXXI,YYJPXXIPYYJ,I1,2,3,4,J1,2,3,例如PX2,Y05PX2PY05111428其余的联合概率可同样算得，具体结果为051311181616XY211124484811161212课后答案网6WW1W2K1H2DAWCOM111100511设X与Y是相互独立的随机变量，X服从0,02上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求X,Y的联合密度函数及PXY。解由均匀分布的定义知5,0X02FXX0,其他由指数分布的定义知5E5Y,Y0YFYY0,其他因为X与Y独立，易得X,Y的联合密度函数FX,YFXXFYY25E5Y,0X02,Y0概率PXY0,其他FX,YDXDY，G02X其中区域GX,Y|XY见图53，经计算有图53PXY02DXX25E5YDY0002510E5XDXE1。12设二维随机变量X,Y的联合密度函数为FX,YKE3X4Y,X0,Y00,其他求（1）系数K；（2）P0X1,0Y2；（3）证明X与Y相互独立。解（1）K必须满足FX,YDXDY1，即DY00KE3X4YDX1，经计算得K12；（2）P0X1,0Y22DY112E3X4YDX1E31E8；00（3）关于X的边缘密度函数12E3X4YDY,X0FXXFX,YDY00,其他3X3E,X00,其他同理可求得Y的边缘密度函数为4E4Y,X0FY易见FYX,Y0,其他FXXFYY,X,Y，因此X与Y相互独立。13已知二维随机变量X,Y的联合密度函数为FX,YK1XY,0X1,0YX0,其他（1）求常数K；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立解（1）K满足FX,YDXDY1，即1DXXK1XYDY1解得K24；（2）X的边缘密度函数X24100XYDY,0X1FXXFX,YDY00,12X21X,0,其他0X1其他X|Y2123P121P221P321P23P23P23Y的边缘密度函课数为后答案网WWWKHDAWCOMFYY1241Y0,12Y10,XYDX,Y2,0Y1其他0Y1其他（3）F1,124111，而FX12113,FY121927，易见1,12424311X422Y41616FFX24FY，因此X与Y不相互独立。2414设随机变量X与Y的联合分布律为XY0120B251A3252122525且PY么1|X03，（1）求常数A,B的值；（2）当A,B取（1）中的值时，X与Y是否独立为什52解（1）A,B必须满足3PIJ1，即2BA3121，可推出AB17，另外由条件概率定义及已知的条件得J1I12525252525PY1|X0PX0,Y1B3PX02B525由此解得BA即B3，结合AB25142532517可得到A2514，25（2）当A14,B253时，可求得PX02525,PY02517，易见25PX0,Y0PX0PY025因此，X与Y不独立。15对于第2题中的二维随机变量X,Y的分布，求当Y2时X的条件分布律。解易知P2PY21，因此Y22时X的条件分布律为概率16对于第6题中的二维随机变量X,Y的分布，求当XX,1X02时Y的条件密度函数。解X的边缘密度函数为（由第7题所求得）FXX42X1,0,1X02其他20502411111848633113231111136848014416117184243案2K1由条件密度函数的定课义知后当X答X,1网X40时WYW的W条件K密H度函D数A为WCOMFY|XY|XFX,Y,42X10Y2X1FXX0,其他1,2X10Y2X10,其他习题六解答1设X的分布律为X概率求出以下随机变量的分布律。（1）X解由X的分布律可列出下表2；（2）X1；（3）X2。概率1811114863X205024由此表可定出（1）X2的分布律为X2X1X2X200152463151134025041632462（2）X概率181的分布律为11114863X1概率（3）X2的分布律为X2概率其中PX24PX2PX2117。86242设随机变量X服从参数1的泊松分布，记随机变量Y布律。解由于X服从参数1的泊松分布，因此0,若X1,若X1试求随机变量Y的分1,PXK1E1E,K0,1,2,L,而PY0KKPX1PX0PX1E1E12E1；PY1PX11PX10112E1。01即Y的分布律为课后答案Y网W0WW1KHDAWCOM概率2E112E13设X的密度函数为FX2X,0X1求以下随机变量的密度函数（1）2X；（2）X1；（3）X2。0,其他,解求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果YGX为单调可导函数，则也可利用性质求得。（1）解法一设Y2X，则Y的分布函数FYYPYY0YP2XYPXY2Y0Y02YY222XDX01024Y12XDX2100Y2Y2FYYYFYY200Y2其他解法二Y2X，XYHY2，而HY1，则2FYYFXHYHYY1Y222,0210,其他Y,0Y22其他0（2）设YX1，则X1YHY,HY1，Y的密度函数FYYFXHYHY21Y101Y10其他2Y101Y1（3）设Y0X2，由于X只取0,1其他中的值，所以YX2也为单调函数，其反函数HYY,HY11，因此Y的密度函数为2YFYYFXHYHY2Y11,2Y0,1,0,0Y1其他0Y1其他4对圆片直径进行测量，测量值X服从5,6上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。解圆面积Y1X2，由于X均匀取45,6中的值，所以X的密度函数1,5X6FXX0,其他YY4课后答案网WWWKHDAWCOM且Y1X2为单调增加函数X5,6，其反函数HYY的密度函数为4Y2Y,HY1,2111，2YY2Y56FYYFXHYHYY0,1,Y0,其他,25Y94其他5设随机变量X服从正态分布10,1，试求随机变量的函数YX2X2的密度函数FY。解X0,1，所以FXXE2,X2，此时YX2不为单调函数不能直接利用性质求出FYY。须先求Y的分布函数FYY。02Y0FYYPYPYXYPXYYYYFXXDXPYXYY1X2E2DXY2Y0,1Y1E21Y1E2,Y0FYYFYY22Y22Y0,1YE2,2Y其他,Y0其他0,6设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数YEX的密度函数FY。解FXXEX,X00,其他YEX的反函数HYLNY,HY1，因此所求的Y的密度函数为YFYYFXHYHYELNY1,YLNY0其他,0,1,Y2Y1其他0,7设X服从0,1，证明XA服从A,21,其中A,X2为两个常数且0。证明由于X0,1,所以FXXE2,X2，记YXA，则当0时，YXA为单增函数，其反函数HYYA,HY1,因此Y的密度函数为FYYFXHYHY11E22YA21YA21E22,Y，2即证明了XAA,2。概率13114848XY1012概率1111184448课后答案网WWWKHDAW1,若CXO0M；8设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布，随机变量Y0,若X0；1,若X0试求随机变量函数Y的分布律。1解XR1,2，则FX3,1X2而PY1PX00,01DX1；133其他PY0PY1PX0PX00；21DX2。033因此所求分布律为Y1019设二维随机变量X,Y概率10233的分布律XY111448181188求以下随机变量的分布律（）X解Y；（）XY；（）2X；（）XY。概率111448111888X,Y1,11,21,32,12,22,33,13,23,3XYXY2101210XY123246369从而得到（1）XY（）（）从联合分布律可求得的边缘分布律为由此得2X的分布律为概率5118843课后答案概网率5WWW1K1HDAWCOM（）884XY1236概率13114848设随机变量、相互独立，XB1,14,YB1,1,4（）记随机变量ZXY，求Z的分布律；（）记随机变量U2X，求U的分布律。从而证实即使、服从同样的分布，XY与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。解（）由于XB1,14,YB1,14，且与独立，由分布可加性知XYB2,1，即4PZKPXYK21K2K,KK440,1,2,经计算有Z（）由于概率961161616X概率1344因此U2X概率1344易见XY与2X的分布并不相同。直观的解释是的XY与2X的取值并不相同，这是因为X与Y并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。设二维随机变量X,Y的联合分布律为XY192199（）求U（）求VMAXMINX,YX,Y的分布律；的分布律。221999解（）随机变量U可能取到的值为，中的一个，且9PU1PMA课XX,后Y1答P案X网1,Y1W1WWKHDAWCOMPU2PMAXX,Y2PX1,Y2PX2,Y1PX2,Y20211993PU3PMAXX,Y3综合有PX1,Y3PX2,Y3PX3,Y1PX3,Y2PX3,Y30022159999U概率115939（）随机变量V可能取到的值为，中的一个，且PV1PMINX,Y1PX1,Y1PX1,Y2PX1,Y3PX2,Y1PX3,Y1同理可求得1002259999PV21,PV331,综合有9V概率511939设二维随机变量X,Y服从在上的均匀分布，其中为直线X0,Y0，X2,Y2所围成的区域，求XY的分布函数及密度函数。解X,Y的联合密度函数为YDZ2202X图621,0FX,Y4X2,0Y2设ZXY，则Z的分布函数0,其他DDFZZPZ课Z后答案网WWWKHDAWCOMPXYZFDZZX,YDXDY其中区域DZX,YXYZ，当Z2时，积分区域见图62，此时YFZZ0DXDY0DZ2当2Z0时，积分区域见DZ图DZ63，此时FZZFX,YDXDYDZ1DXDY4Z1区域DZ的面积411242Z212Z28图63202X其中DZ是区域DZ限在0X2,0Y2Y中的那部分。当0Z2时，积分区域DZ见图64，此时2FZZFX,YDXDYDZ1DXDY4Z1DZ区域DZ的面积421412Z42112Z28202X图64其中DZ是区域DZ限在0X2,0Y2中的那部分。当Z2时，积分区域DZ见图65，此时YFZZFX,YDXDY1。2DZ综合有FZZ0,12Z2,8DZ202XZ22Z0Z的密度函数11281,12Z,41Z2,2Z0图650Z2Z2,FZZFZZ2Z,40,0Z213设X,Y的密度函数为FX,Y其他，用函数F表达随机变量XY的密度函数。解设ZXY,则Z的分布函数FZZPZZ课P后XY答Z案网FX,YDWXDYWWDXKHDFXA,YWDXDYC。OMZX对积分变量Y作变换UXYZXY，得到ZXFX,YDYZFX,UXDU于是FZZFZZZFX,UZFX,UXDUDX，交换积分变量X,U的次序得XDXDU从而，Z的密度函数为FZZFX,ZXDX，把X与Y的地位对换，同样可得到Z的密度函数的另一种形式FZZFZY,YDY。习题七解答1设X的分布律为，1X10122概11111率366124求（1）EX，（2）EX1，（3）EX2，（4）DX。解由随机变量X的分布律，得X1012X12112X21014120114所以EX11P0111111111366124121136261243EX12111110111236261243EX2110111114135364612424DXEX2EX235129724372另外，也可根据数学期望的性质可得EX1EX1112332设随机变量X服从参数为0的泊松分布，且已知EX解2X32，求的值。课EX后2答X案3网EX2W5XWW6EKXH2DA5EWXC6O2MDXEX22545EX62023设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为04，试求X2的数学期望EX2。解XB10,04所以EX10044,DX10040624故EX2DXEX224421844国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在2000，4000（单位吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大解设随机变量Y表示平均收益（单位万元），进货量为A吨Y3XAXXA3AXA则AEY4X2000A1DX200040003AA1DX2000120002A214000A8000000要使得平均收益EY最大，所以2A214000A80000000