自动控制原理课件 第八章 线性离散控制系统

第八章线性离散控制系统81概述82信号采样与保持83离散系统的数学模型84离散控制系统的稳定性85离散控制系统的动态性能分析86离散控制系统的稳态误差分析87离散控制系统的最少拍校正88利用MATLAB辅助离散控制系统的分析与校正89小结81概述本章知识体系离散控制系统的稳定性离散控制系统基本概念信号的采样与保持离散控制系统的数学模型离散控制系统的动态性能分析离散控制系统的稳态误差分析最少拍校正利用MATLAB辅助离散控制系统的分析与校正描述系统分析系统仿真分析、校正系统81概述时间上不连续的信号在现实系统中大量存在。例如许多化工生产过程无法在线连续测量产品的质量指标而是通过定期采样化验就能保证产品质量的稳定。系统内有一处或多处的信号仅存在于孤立的时间序列点上这类控制系统称为离散时间控制系统简称离散控制系统。与此相对各处信号均为连续时间函数的控制系统称为连续时间控制系统简称连续控制系统。81概述时间上离散的信号其幅值可能是连续的亦可能是离散的。将时间上、幅值上都连续的模拟信号转换成时间上离散、但幅值上仍然连续的离散模拟序列信号的过程而这一过程就称为采样又称为波形的离散化过程相应的控制系统则称为采样控制系统。若由数字计算机实现控制受计算机字长限制还需要进一步将幅值连续的理想化序列信号量化为数字序列信号进一步得到时间和幅值上都是离散的数字序列信号相应的控制系统则称为数字控制系统。81概述811离散控制系统的基本概念1采样控制系统大惯性、大滞后控制系统出现的问题采样系统较早出现与某些大惯性、大滞后对象的控制系统中如炉温控制系统。这类对象的相位滞后非常明显为保证系统的相位裕度开环传递系数一般取很小值难以有很高的稳定精度提高稳态精度的一个方法在偏差信号和执行电机之间安装一个开关使其每隔较长时间才闭合一次且闭合时间很短。当开关闭合时系统根据偏差闭环控制电机当开环断开时电机停止等待炉温变化。由于闭合时间短开环放大系数可取较大值有利于保持动态性能的同时提高稳态精度。81概述在上述对连续对象实现离散控制的场合采样是必不可少的环节。由连续信号获得相应的时间上离散的脉冲序列信号需要采用一种类似开关的装置对连续信号进行采样见图81中的采样开关S。开关因开合将连续偏差信号ET采样为脉冲序列形式的信号ETET0、ET1、ET2、故称系统为采样控制系统或脉冲控制系统。2、数字控制系统数字控制系统的典型结构是由工作于离散状态下的数字计算机数字控制器与工作于连续状态下的广义豢囟韵蠛痛衅髯槌傻娜缤2所示。采样开关每隔一段时间对连续信号进行采样采样值经转换器量化编码后送给数字控制器数字控制器根据由差分方程表述的预定算法得到数字形式的控制量交由转换器转换成脉冲序列信号去断续控制被控对象或经保持器去连续控制被控对象。在图82中ET为时间和幅值上均连续的模拟信号ET表示时间上离散而幅值上连续的离散模拟信号而代表时间和幅值上均离散的数字序列信号。TE81概述3离散控制系统采样控制系统脉冲序列信号为离散时间信号只需采样不需要编码和解码数字控制系统数字序列信号为离散时间信号对采样值进行编码和对控制量进行解码说明编、解码均为非线性过程会引入量化误差其中的转换和计算过程也需要一定时间会引入额外的延迟。无论是采样控制还是数字控制系统均为离散控制系统可采用同一的离散系统分析方法来进行研究。在实际系统中可能存在固定周期和不定周期等多种采样方式。本章仅讨论固定周期这种简单的采样方式。81概述本章讨论的离散控制系统如图83所示。系统工作原理1对偏差信号ET进行采样获得偏差脉冲序列ETET0、ET1、ET2、2经控制器产生控制量脉冲序列UTUT0、UT1、UT2、直接作用于被控对象或者经保持器得到连续控制量UHT再作用于被控对象3所得对象的输出YT被反馈到输入端与参考输入RT形成偏差信号ET。其中ET和YT为连续信号而UHT为连续或者分段连续信号ET和UT为离散脉冲序列系统内各部分的信号波形特征如图中所示。81概述两点说明1保持器将UT转换为连续信号UHT但其并非采样控制系统必须的组成糠若参考输入信号与反馈到输入端的测量信号通常已为脉冲序列RT和YT两者相减直接获得偏差脉冲序列ET。81概述812离散控制系统的分析与校正设计方法1研究线性定常离散控制系统的分析工具是线性定常差分方程、Z变换即脉冲序列的拉普拉斯变换和脉冲传递函数。2线性离散控制系统的校正设计方法分为仿真设计法和离散设计法两种。仿真设计法是先用线性连续系统的分析和综合方法设计校正环节然后通过选择合适的采样周期将连续校正环节离散化来实现离散校正。离散设计法是完全采用离散系统的分析和综合方法来直接设计离散控制器。82信号采样与保持821信号采样1采样信号的数学表示1采样的形状多样对同一连续信号采样方式和采样装置不同所得的脉冲序列的形状包括高度和宽度等也不一样。采样结果可能为幅值恒定而宽度正比于采样值大小的脉冲调宽序列亦可能为幅值正比于采样值而宽度恒定的脉冲调幅序列或者其他形式的脉冲序列。82信号采样与保持2脉冲序列的数学表达当脉冲宽度相对于采样周期足够小可统一将其近似为宽度为零且冲量等于其面积的理想脉冲。数学上采样信号FT可用连续信号FT与周期为TS的单位脉冲序列来描述。18000TTKTTKTFKTTTFTTFTFKSSKSTSTST计时起点T00TS采样周期TKTS出现在时刻TKTS且强度为1的理想单位脉冲函数FKTS第K个采样时刻的采样值反映采样信号脉冲的强度简记为FK与连续信号FT对应FK称为离散信号。82信号采样与保持2采样定理28TSTJKKKTSSECT用傅立叶级数表示为单位脉冲序列的周期为381122STTTJKTSKTDTETTCSSSS其中481KTJKSTSSETT采样角频率/2SST581KTJKSSETFTTF681100KSSKTJKSSSTJKSFTDTETFTDTETFSFS781KSSKJFTJF拉普拉斯变换频率特性82信号采样与保持的分析对频率特性1KSSKJFTJF的高次谐波分量其余分量均为采样产生采样频率主分量01STJFK周期的延拓。为以采样角频率是连续信号频谱的频谱采样信号ST2JFJFFA连续信号幅频谱B采样信号幅频谱连续信号FT的幅频谱单一高频分量的幅值随着频率的升高而逐渐减小即存在一个频率上界值MAX使得当GTMAX时FJ0主分量FJ/TS与FJ的幅频谱形状一致幅值为FJ的1/TS倍FJ/TS包含了全部信息。82信号采样与保持时MAX2S各分量FJKSK012互不重叠将FT中频率GTMAX的部分滤除即可得到频谱与FJ形状一致的信号从而可不失真地复原信号若能构造一理想低通滤波器GJ使其在频段S/2S/2内频率特性为GJTS而其余频段内恒为0则FT经GJ滤波后即为原信号FT其中GT为滤波器的单位脉冲响应。82信号采样与保持时MAX2S采样频谱的主分量与相邻的高频谐波分量以及各相邻的谐波分量之间将出现重叠这种现象称为混叠。显然此时仅通过低通滤波已无法复原信号。香农定理CESHANNON若采样角频率S满足以下条件则原连续信号FT可从采样信号FT中唯一确定。882MAXS说明对于实际控制系统而言为保证控制系统的动态性能及抗干扰能力采样周期的选择往往远大于2MAX例如可取为闭环系统带宽的20倍以上。当然采样频率过大往往需要增大计算机和A/D及D/A转换器的字长提高其运算与转换速度增加系统实现成本。82信号采样与保持822零阶保持器1引入零阶保持器原因理想的低通滤波器物理上不可实现将离散信号FT转化为FT在工程上最常用、也最简单的方法就是采用零阶保持器。2零阶保持器将时刻KTS的采样值FKTS一直保持到下一采样时刻K1TS到来之前以此方法重构连续信号。9811T1TSSHHTTTTGTG矩形脉冲。的持续时间为的幅值为则其响应单位脉冲理想若给零阶保持器输入一低通滤波82信号采样与保持11SHTTTTG10811SESESSGSTSTHSS传递函数118SIN222SIN12SSSJSSSJTSSSTJHEETTTJEJG频率特性/2SSTSIN22SIN128SSSSSSHTTTTJG幅频特性式432320138SSSSSSSSSHJG相频特性式82信号采样与保持3零阶保持器的特性1低通滤波特性由于其幅值随频率的增大而迅速衰减说明零阶保持器具有低通滤波特性。但其高频段幅频特性不完全为零因此会让部分高频分量通过从而造成其输出信号的频谱在高频段存在纹波82信号采样与保持2相角滞后特性零阶保持器使采样信号FT变成阶梯信号FHT。FHT与连续信号FT相比形状一致但在时间上平均落后TS/2即零阶保持器相当于滞后时间常数为TS/2的延迟环节。从相频特性可知所引入的滞后角度随的增大而增大在S处相角滞后为180因此采样频率的选择不能过小当小于20倍闭环系统带宽时控制系统的分析和设计一般需要考虑零阶保持器的影响。83离散系统的数学模型831Z变换000TTKTTKTFKTTTFTTFTFKSSKSTS1480000KSKTSKSKTSKSSKSSSSEKTFTLEKTFKTTLKTFKTTKTFLTFLSFSSTEZ令15800KKKKSZKFZKTFZFZFKFZZFTFZZFTFZ简记这种变换为Z变换对连续信号FT采样所得脉冲序列FT作Z变换对离散信号FK所构成的脉冲序列FT作Z变换Z变换本质上只能反映信号在采样时刻的值而不能描述采样点间信号的状态因此不同的连续信号往往可能具有相同的Z变换结果。83离散系统的数学模型1Z变换的求解方法按定义直接计算其Z变换表达式00KKKKSZKFZKTFZF例81试求序列PZ210为复数其中变换的KEKFSPKT解按定义有010KKPTKKZEZKFZFSSSPTPTKKKKEZZZEQQSZF11111LIMLIM11Q1ZEZESSPTPT等比收敛半径的一一对应关系点与对应的离散系统的极稳定极点则证明了连续系统的采样理解为对运动模态若1Z0REPEEKFPTPKTS83离散系统的数学模型更多的详见277页表81内容。83离散系统的数学模型2Z变换的性质根据Z变换定义可证明Z变换性质利用性质进行Z变换。1线性定理2121ZBFZAFTBFTAFZ2延迟定理00TTFZFZKTTFZKS3超前定理10KIIKSZIFZFZKTTFZ4复数位移定理SATATZEFTFEZ83离散系统的数学模型5初值定理6终值定理7卷积定理存在LIMLIM0ZFZFFZZ83离散系统的数学模型例82已知FT的拉普拉斯变换为11SSSF试求相应的Z变换FZ111SSSF解111SSSTTTEZZEZEZZZZZF查性质表可得例83设SATEZZTFZZFAGT0试利用终值定理确定FK的终值。011LIM1LIM1LIMLIM111ZEZEZZZZFZKFSSATZATZZK解83离散系统的数学模型例84试证明表82中的延迟定理和复位移定理。证明分别证明如下1利用TLT0时有FT0的Z变换条件可证得000ZFZZPTFZZPTFZZKTNTFZZKTNTFKTTFZKPPSKPKPSKKNNSSKNNSSS2由Z变换可直接证得SSSSATATNNSNATNSNANTNSATZEZZEFZFZNTFZENTFZENTFTFEZ11100083离散系统的数学模型832Z反变换从FZ求相应脉冲序列FK的过程称为Z反变换记为1681ZFZKF常用的Z反变换方法有部分分式法长除法和留数法反演积分法。1部分分式法步骤是先将FZ展开成部分分式之和再对其中的每个分式逐项查Z反变换表见表81求解。例85设11SSTTEZZEZZFSTEZZZZF111SKTEZFZKF11查表210K83离散系统的数学模型2长除法若FZ为一有理分式则可直接通过长除法得到一个无穷项幂级数的展开式。根据ZK的系数便可以得出FK在各时刻的值。例86设21ZZZZF试用长除法求FK23212ZZZZZZZF3232121211143212141514217676932323157323ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ3210730ZZZZZFF00F11F23。长除法以序列的形式给出各时刻的值但不容易得出的解析表达形式。83离散系统的数学模型3留数法设函数FZZK1除有限个极点Z1Z2ZN外在Z平面上是解析的则有178RES11NIZZKIZZFKF处的留数。在表示函数IKZZKZZZFZZFI11RES其计算方法如下1若ZII12N均为单极点则2若ZI为M阶重极点则188LIMRES11KIZZZZKZZFZZZZFII1981M1LIMRES1111KMIMMZZZZKZZFZZDZDZZFII83离散系统的数学模型例87考虑例86中的FZ试用留数法求FK21ZZZZF2102122112121RES21211KZZZZZZZZZZZZKFKZKZKIZZKI83离散系统的数学模型833差分方程1连续系统的离散化对于线性定常连续系统可通过离散化方法得到系统的离散模型。208TUTKTTYTY218111SSSSTKTTKYKYTTKYKTYTYS228111KUTTKKYTTKYSS微分近似计算83离散系统的数学模型一般来说描述线性离散系统输入与输出关系的差分方程模型为23801MLLNIILKUBIKYAKY第K时刻的输出不仅取决于当前时刻的输入还与历史时刻的输入输出有关第KI时刻的输出第KL时刻的输入NMAZAZAZAAZBZBZBBZAZBZUZYNNNNMMMMNIIIMLLL10111101111000在零初始条件下对823取Z变换得到离散系统的输入输出数学模型。82483离散系统的数学模型2离散系统响应序列的求取与拉普拉斯反变换的作用类似可用Z反变换来求取离散系统的响应序列。例88设初始值为Y00和Y10输入为0001KKKU试用Z反变换法求由差分方程YK13YK12YKUK所描述的离散系统的响应。解查表81知1KUZZU对差分方程两端作Z变换并应用超前定理得123031023222ZUZYZZZYZYYZZYZZ1223112ZZZZZZZZY1211KKY83离散系统的数学模型834脉冲传递函数1脉冲传递函数的定义离散系统的分析和设计借助的就是Z变换建立起来的传递函数模型此时所建立的模型称为脉冲传递函数模型。故离散系统的传递函数为258ZGZUZYSUSYTULTYLSG脉冲传递函数记为GZ即在零初始条件下系统输出的Z变换与输入的Z变换之比。83离散系统的数学模型利用脉冲传递函数的定义2681111111110NNNNMMMMZAZAZAZBZBZBBZUZYZG此时两个系统输入均可视为1TZZU而两个系统的输出亦均可视为ZGZUZGZY所以系统脉冲传递函数可由对连续系统单位脉冲响应GT的采样信号的GTGK求Z变换来获得ZGKGZTGZ变换。的为称简单记为ZSGZGSGZZG83离散系统的数学模型。通常对于其他输入UTYTYT应理解为按图812A所示信号关系求出GS所对应的GZ而不能理解为图812B所示的GZ是对GS直接进行Z变换的结果。由定义知脉冲传递函数性质1脉冲传递函数是复变量Z的复函数。2脉冲传递函数只与系统自身的结构和参数有关。3系统的脉冲传递函数与其差分方程一一对应均可描述系统的动力学特性。4脉冲传递函数是系统单位脉冲响应序列的Z变换。图812理想虚拟采样开关SGZZG83离散系统的数学模型例89设图812A中11SSSG试求其脉冲传递函数及差分方程。解其脉冲传递函数为SSSSSTTTTTEZEZZEEZZEZSSZZG1111112ZUZYZG112ZZUEZYEZEZSSSTTT11211KUEKYEKYEKYSSSTTT83离散系统的数学模型2开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数可归纳为并联、串联和包含零阶保持器的三种基本情况下面讨论后两种相对复杂的情况。1环节的串联21ZGZGZG11ZUZGZU12ZUZGZY2121ZGGZGZG一般27821ZGZGZG2882121ZGGSGSGZZG83离散系统的数学模型SSG/11例810设图813和图814中均有1/12SSG试求两个开环系统的脉冲传递函数GZ。111ZZSZZG112STEZZSZZG12