2015-2016学年沪科版数学九年级上册第第二十二章第 三节相似三角形的性质（教案 练习 答案

相似三角形的性质；相似多边形的性质；位似图形一教学要求1、理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中位线的比都等于相似比。理解并掌握相似多边形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。2、了解位似图形及其有关概念，了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，能够利用作位似图形等方法将图形放大或缩小。二重点及难点重点1、理解和掌握相似多边形周长和面积比。2、理解位似的概念，会用位似概念作图。难点1、对相似多边形面积比的认识。2、应用位似的概念来解决有关问题。三课堂教学知识要点知识点1、相似三角形的性质1、相似三角形对应角相等、对应边成比例，且对应边之比就是相似比。2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。知识点2、相似多边形的性质1、相似多边形对应角相等，对应线段之比等于相似比，对应周长比等于相似比，对应面积比等于相似比的平方，而相似三角形是相似多边形的特例，因此，相似三角形具有相似多边形的一切性质。2、四条边以上的多边形可分割成若干个三角形，相似多边形还具有“对应三角形相似的性质”。3、相似多边形面积比等于相似比的平方，反之，相似多边形的相似比等于面积比的算术平方根。说明相似多边形的定义、性质与相似三角形基本一致，而相似多边形的判别与相似三角形是有区别的，对应角相等或对应边成比例的三角形相似，而只有对应角相等且对应边成比例的多边形才相似，所以不能把判别三角形相似的方法套用在多边形相似上，如两个矩形各角都相等，但对应边不一定成比例，所以矩形不一定相似，又如，两个菱形对应边成比例，但对应角不相等，所以菱形不一定相似，另外，研究多边形相似通常利用添加辅助线划为三角形。知识点3、相似多边形的性质的作用。1、用来证明角相等，线段成比例。2、证明线段的平方比。3、证明三角形相似。4、用于有关计算。知识点4、位似图形定义如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。知识点5、位似比位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比。说明（1）位似图形上任意两组对应点连线的交点或其延长线的交点就是位似中心，位似中心和两对对应点构成“A型”或“X型”的基本图形。（2）利用位似图形的定义可将一个图形放大或缩小。（3）位似图形是相似图形的特例，不仅要求形状相同，而且还要求对应点的连线相交于同一点，因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。【典型例题】例1如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CECD，连结AE分别交BC，BD于点F，G若EDGABS求,4分析注意到ABDE，则ABGEDG，则可利用相似三角形的面积比求解。解因为四边形ABCD是平行四边形，所以CDABCE，ABDE12，因为ABDE，所以ABGEDG，所以412DEABSG即41E所以6D说明本题中ABG与EDG是相似三角形的基本型，要善于在复杂的图形中将其分解出来。例2如图，在ABC中，D为AB的中点，DEBC交AC于E，BE，CD相交于点G。（1）求BCE（2）ABCDESG与的周长的周长分析由DEBC，可得ADEABC，DEGCBG，然后利用相似三角形的性质不难求出BCDE，及周长比，面积比。解（1）因为DEBC，可得ADEABC，A因为D是AB的中点，所以21ABD所以BCE21（2）因为DEBC，所以DEGCBG，所以的周长的周长GBCED21因为DEBC，所以ADEABC所以ABCDES412例3如图在ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形321,T的面积分别为4、9和49，（1）求PDPEHG（2）求PDBC（3）求ABC的面积。分析图中有三组平行线，则可得三组相似三角形，利用相似三角形的性质可将面积比转化为边之比。解（1）因为PEBC，FGAC，所以FDPB，PFDA，所以FDPABC同理可得FDPPHGIPEABC所以329421TPED，734932THGPE所以PDPEHG237（2）因为DEBC，ABIH所以四边形PDBH是平行四边形。所以DPBH，同理PEGC所以PDBC223721216（1）因为FDPABC所以132DPBCSFA所以46说明经过三角内部一点作各边的平行线（也称部分三角形），我们可以得到以下结论（1）FDPPHGIPEABC（2）1ABECIHG（3）3FD例4如图，求作内接于已知三角形ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DEEF12分析要做出DEFG的关键是确定它的一个顶点，如果我们选择B作位似中心，那就在ABC中作矩形GFED，使,在BC上，D在AB上，且21，连结延长交AC于点G，就可以做出符合条件的矩形DEFG。做法（1）在AB上靠近B点取一点，经过作BCED，是垂足。（2）在C上取EF2（3）经过作BC的平行线，经过,的平行线作，这两条直线相交于点G，（4）连结，并延长B交AC于点G，（5）经过G作GDBC交AB于点D，作GFBC于点F。（6）经过D作DEGF。四边形DEFG是所求作的矩形。例5如图，已知ABC中，AB5，BC3，AC4，PQAB，P点在AC上（与点A，C不重合），Q点在BC上（1）当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。（2）当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。分析（1）由PQAB，可知CPQCAB，则可由面积比求出CP（2）将PQC与四边形PABQ的周长关系转化为CPQ与CAB对应边的关系。解（1）因为PQBACPS四边形所以21ABPQS因为PQAB所以PQCABC所以2ABCPQ所以142所以（2）因为PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，所以PCCQPAABQB21ABC的周长6因为PQAB所以364,CPBQCAP解之，得7【模拟试题】（答题时间30分钟）一、填空题1、若ABCABC，AB4，BC5，AC6，ABC的最大边长为15，那么它们的相似比是_，ABC的周长是_。2、两个相似三角形的相似比为23，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是_。3、如图所示，在平行四边形ABCD中，延长AB到E，使BE21AB，延长CD到F，使DFDC，EF交BC于G，交AD于H，则BEG与CFG的面积之比是_。4、把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21，那么边长应缩小到原来的_倍。5、如果线段A、B、C、D是成比例线段且A3，B4，C5，则D_；6、如果两个相似三角形对应高的比为45，那么这两个相似三角形的相似比为_；对应中线的比为_；对应角平分线的比为_；对应周长的比为_；对应面积的比为_。7、如图，线段AC、BD相交于点O，要使AOBDOC，应具备条件_，还需要补充的条件是_或_或_。8、两个相似三角形的最短边分别是9CM和6CM，它们的周长和是60CM，则大三角形的周长_CM，小三角形的周长_CM。二、选择题1、如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（）A21B31C21D412、如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，ADE和四边形BCED的面积分别记为S1、S2，那么1S的值为（）A2B4C31D23、如图，在RTABC中，AD为斜边BC上的高，若SCAD3SABD，则ABAC等于（）A13B14C13D124、顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（）A14B13C12D125、两地实际距离是500M，画在图上的距离是25CM，若在此图上量得A、B两地相距为40CM，则A、B两地的实际距离是A800MB8000MC32250CMD3225M6、RTABC中，CD是斜边AB上的高，该图中共有X个三角形与ABC相似，X的值为A1B2C3D47、下列各组三角形中，相似的为（）A、ABC中，A35，B50ABC中，A35，C105B、ABC中，AB15，BC125，B38ABC中，AB2，BC35，B38C、ABC中，AB12，BC15，AC26ABC中，AB20，BC25，CA40三、计算题1、某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1200和1500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比。2、如图，ABC是一块锐角三角形余料，其中BC12CM，高AD8CM，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少【试题答案】一、填空题1、2572、753、1164、5、206、4545454516257、AOBDOCBCADOCB8、36CM24CM二、选择题1、C