2016年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 P=x|1 x 2， Q=x|2x 0，若 U=R，则 P ） A 0， 2 B（ 0， 2 C（ 1， 2 D 1， 2 2已知复数 z 满足 z（ 1+i） =1（其中 i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 是（ ） A + i B i C + i D i 3等差数列 ， ， ，则 前 5 项和 ） A 14 B 25 C 35 D 40 4在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，直线 l： x =0 与圆 C： x2+ 相交于 A， = + 若点 M 在圆 C 上，则实数 k=（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 5若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A B 1 C 2 D 3 6运行如图所示的程序框图后，输出的 m 值是（ ） A 3 B C D 2 7如图，一个摩天轮的半径为 18m， 12 分钟旋转一周，它的最低点 地面 2m， 5，摩天轮上的一个点 P 从 始按逆时针方向旋转，则点 P 离地 面距离 y（ m）与时 间 x（分钟）之间的函数关系式是（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 8随机变量 a 服从正态分布 N（ 1， 2），且 P（ 0 a 1） =知 a 0， a 1，则函数 y= a 图象不经过第二象限的概率为（ ） A 某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A B C D 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f（ x） = x2+1 a，若函数 f（ x）为 R 上的单调减函数，则 a 的取值范围是 （ ） A a 1 B 1 a 0 C a 0 D a 1 11点 S， A， B， C 在半径为 的同一球面上， 边长为 的正三角形，若点 距离为 ，则点 S 与 心的距离为（ ） A B C D 1 12若存在 （ 0， 1），使得（ 2 e 2+实数 a 的取值范围是（ ） A（ +） B（ 1， +） C（ ， +） D（ 0， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 第 3 页（共 22 页） 13若 + ） = ，则 14平面向量 与 的夹角为 60， =（ 0， 3）， | |=2，若 R，则 | + |的最小 值是 15如图， 双曲线 C： 的左右焦点，过 直线 l 与C 的左、右两支分别交于 B， A 两点若 等边三角形，则双曲线的离心率为 16在正项等比数列 ， ， a6+，则满足 a1+最大正整数n 的值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤 17在 ，角 A、 B、 C 分别是边 a、 b、 c 的对角，且 3a=2b， （ ）若 B=60，求 值； （ ）若 ，求 值 18如图，在四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 ， ，E、 F 分别是线段 中点 （ ）证明： （ ）若 平面 成的角为 45，求二面角 A F 的余弦值； 19某工厂新研发的一种产品的成本价是 4 元 /件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下 6 组数据： 单价 x（元） 8 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 第 4 页（共 22 页） （ ）若 90 x+y 100，就说产品 “定价合理 ”，现从这 6 组数据中任意抽取 2 组数据， 2 组数据中 “定价合理 ”的个数记为 X，求 X 的数学期望； （ ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 L=销售收入成本） 附：线性回归方程 中系数计算公式： ，其中 、 表示样本均值 20已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆 M 的离心率为 ，椭圆上异于长轴顶点的任意点 A 与左右两焦点 成的三 角形中面积的最大值为 （ ）求椭圆 M 的标准方程； （ ）若 A 与 C 是椭圆 M 上关于 x 轴对称的两点，连接 椭圆的另一交点为 B，求证：直线 x 轴交于定点 P，并求 的取值范围 21已知函数 f（ x） =2 x a） 2+3， g（ x） =f（ x） （ ）当 a 为何值时， x 轴是曲线 y=g（ x）的切线？ （ ）当 a 1 时，证明： g（ x）在 0， +）有唯一零点； （ ）当 x 0 时， f（ x） 0，求 实数 a 的取值范围 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图，正方形 长为 2，以 D 为圆心、 半径的圆弧与以 直径的半圆O 交于点 F，连结 延长交 点 E （ 1）求证： B； （ 2）求 C 的值 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的 极坐标方程是 ，圆 C 的极坐标方程是 =4 （ ）求 l 与 C 交点的极坐标； 第 5 页（共 22 页） （ ）设 P 为 Q 为 交点连线的中点，已知直线 t 为参数），求 a， b 的值 选修 4等式选讲 24已知实数 a， b， c 满足 a 0， b 0， c 0，且 （ ）证明：（ 1+a）（ 1+b）（ 1+c） 8； （ ）证明： 第 6 页（共 22 页） 2016 年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 P=x|1 x 2， Q=x|2x 0，若 U=R，则 P ） A 0， 2 B（ 0， 2 C（ 1， 2 D 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： Q=x|2x 0=x|x 2 或 x 0， x|0 x 2， 则 P x|0 x 2， 故选： B 2已知复数 z 满足 z（ 1+i） =1（其中 i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 是（ ） A + i B i C + i D i 【考点】 复数的基本概念 【分析】 把等式 z（ 1+i） =1 两边同时乘以 ，然后利用复数的除法运算化简复数 z，求出z 后可得 z 的共轭复数 【解答】 解：由 z（ 1+i） =1， 得 ， = 故选： A 3等差数列 ， ， ，则 前 5 项和 ） A 14 B 25 C 35 D 40 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式求解 【解答】 解： 等差数列 ， ， ， 前 5 项和： = = =35 故选： C 4在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，直线 l： x =0 与圆 C： x2+ 相交于 A， = + 若点 M 在圆 C 上，则实数 k=（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 【考点】 直线与圆相交的性质；平面向量的基本定理及其意义 第 7 页（共 22 页） 【分析】 设 中点为 D，有 = + =2 ，即圆心到直线的距离等于半径的一半，由点到直线的距离公式列方程 解出实数 k 的值 【解答】 解：设 中点为 D，有 = + =2 ， | |=2| |=R=2， | |=1 由点到直线的距离公式得 1= ，解得 k=0， 故选： C 5若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A B 1 C 2 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 由 z=2x y 得 y=2x z， 平移直线 y=2x z， 由图象可知当直线 y=2x z 经过点 C 时，直线 y=2x z 的截距最小， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 C（ 1， ） 将 C 的坐标代入目标函数 z=2x y， 得 z=2 = 即 z=2x y 的最大值为 故选： A 6运行如图所示的程序框图后，输出的 m 值是（ ） 第 8 页（共 22 页） A 3 B C D 2 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出前几次循环得到的 m， i 的值，观察规律可知， m 的取值周期为 4，由于 2016=504 4，可得当 i=2017 时不满足条件 i 2016，退出循环，输出 m 的值为 2 【解答】 解：模拟执行程序，可得 m=2， i=1 满足条件 i 2016， m= 3， i=2 满足条件 i 2016， m= ， i=3 满足条件 i 2016， m= ， i=4 满足条件 i 2016， m=2， i=5 观察规律可知， m 的取值周期为 4，由于 2016=504 4，可得 满足条件 i 2016， m= ， i=2016 满足条件 i 2016， m=2， i=2017 不满足条件 i 2016，退出循环，输出 m 的值为 2 故选： D 7如图，一个摩天轮的半径为 18m， 12 分钟旋转一周，它的最低点 地面 2m， 5，摩天轮上的一个点 P 从 始按逆时针方向旋转，则点 P 离地 面距离 y（ m）与时间 x（分钟）之间的函数关系式是（ ） 第 9 页（共 22 页） A B C D 【考点】 在实际问题中建立三角函数模型 【分析】 根据选择项设出函 数的解析式，利用待定系数法结合三角函数的图象和性质求出 A， 和 的值即可 【解答】 解：由选项设 y= x+） +k 摩天轮 12 分钟旋转一周，则函数的周期 T=12，即 =12，则 = ，排除 A， B 最小值 2，最大值为 36+2=38， 即 A+k=38， A+k=2，得 k=20， A=18， 即 y= 18x+） +20， 当 5，对应的时间 x= = ，函数取得最小值 2， 即 18 +） +20=2， +） =1， 则 +=2 =2， k Z， 则当 k=0 时， = ， 即 y= 18x ） +20= 18 x ） +20， 故选： D 8随机变量 a 服从正态分布 N（ 1， 2），且 P（ 0 a 1） =知 a 0， a 1， 则函数 y= a 图象不经过第二象限的概率为（ ） A 考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2），得到曲线关于 x=1 对称，根据曲线的对称性得到大于 2 的数据的概率，根据概率的性质得到结果 第 10 页（共 22 页） 【解答】 解： y= a 图象不经过第二象限， 1 a 1， a 2， 随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2），且 P（ 0 a 1） = P（ 1 a 2） = P（ a 2） = 函数 y= a 图象不经过第二象限的概率为 = 故选： C 9某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体， 其中截面是平面 且棱柱和棱锥底面是俯视图：等腰直角三角形，两条直角边是 2， 棱柱高为 2，棱锥的高是 2， 底面面积 S= 2 2=2， 几何体的体积 V= = ， 故选： C 第 11 页（共 22 页） 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f（ x） = x2+1 a，若函数 f（ x）为 R 上的单调减函数，则 a 的取值范围是 （ ） A a 1 B 1 a 0 C a 0 D a 1 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进行求解即可 【解答】 解 ： 函数 f（ x）是奇函数， f（ 0） =0， 若函数 f（ x）为 R 上的单调减函数， 则满足当 x 0 时，函数为减函数，且当 x=0 时， 1 a 0， 此时 ，即 ， 即 1 a 0， 故选： B 11点 S， A， B， C 在半径为 的同一球面上， 边长为 的正三角形，若点 距离为 ，则点 S 与 心的距离为（ ） A B C D 1 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 设 外接圆的圆心为 M，协 S 作 平面 D，连结 S，过 S 作 垂线 点 E，由题意求出 O=1，从而得到 D= ，进而求出 E= ，由此能求出点 S 与 心的距离 【解答】 解：如图， 点 S、 A、 B、 C 在半径为 的同一球面上， 点 S 到平面 距离为 ， C=， 设 外接圆的圆心为 M，过 S 作 平面 D， 连结 S 作 垂线 点 E， 半径 r=1， = =1， 矩形， D= ， E= = = ， = = 故选： B 第 12 页（共 22 页） 12若存在 （ 0， 1），使得（ 2 e 2+实数 a 的取值范围是（ ） A（ +） B（ 1， +） C（ ， +） D（ 0， +） 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 由存在 （ 0， 1），使 2+x） 2 x）能成立， 0 x 1令 f（ x）=2+x） 2 x），则 f（ x）能成立，故 a 大于或等于 f（ x），再根据 f（ x）的单调递增，且 f（ 0） =1，从而求得 a 的范围 【解答】 解： 存在 （ 0， 1），使得（ 2 e 2+ 1， 2+ 2 即 2+x） 2 x）能成立， 0 x 1 令 f（ x） =2+x） 2 x），则 f（ x）能成立（ 0 x 1）， 故直线 y=能恒在函数 y=f（ x）的下方， 故直线 y=斜率 a 大于或等于 f（ x） 则 f（ x） = + = 1， f（ x）在（ 0， 1）上单调递增 x （ 0， 1）， f（ x）是增函数，又 f（ 0） =1， f（ x） 0，故 a 1， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若 + ） = ，则 【考点】 二倍角的正弦 【分析】 由条件利用半角公式求得 值 【解答】 解： + ） = = ， 则 ， 第 13 页（共 22 页） 故答案为： 14平面向量 与 的夹角为 60， =（ 0， 3）， | |=2，若 R，则 | + |的最小值是 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 对 | + |取平方，将问题转化为求关于 的二次函数得最值问题解决 【解答】 解： =3， =3 2 3 | + |2= =92+6+4=9（ + ） 2+3 当 时， | + |2 取得最小值 3 | + |的最小值为 故答案为： 15如图， 双曲线 C： 的左右焦点，过 直线 l 与C 的左、右两支分别交于 B， A 两点若 等边三角形，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 边长为 m，则由双曲线的定义， 等边三角形，可求 m 的值，在 ，由余弦 定理，可得结论 【解答】 解：设 边长为 m，则由双曲线的定义，可得 |m 2a |2m 2a | |2a 2m 2a m=2a m=4a 在 ， |6a， |4a， |2c， 0 由余弦定理可得 4 6a） 2+（ 4a） 2 26a4a c= a = 故答案为： 第 14 页（共 22 页） 16在正项等比数列 ， ， a6+，则满足 a1+最大正整数n 的值为 12 【考点】 等比数列的前 n 项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前 【分析】 设正项等比数列 项为 比为 q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之 可得数列的通项公式和 a1+ 表达式，化简可得关于 n 的不等式，解之可得 n 的范围，取上限的整数部分即可得答案 【解答】 解：设正项等比数列 项为 比为 q， 由题意可得 ，解之可得： ， q=2， 故其通项公式为 =2n 6 记 Tn=a1+= ， Sn= 5 2 4 2n 6=2 5 4+n 6= 由题意可得 ， 化简得： 2n 1 ，即 2n 1， 因此只须 n ，即 13n+10 0 解得 n ， 由于 n 为正整数，因此 n 最大为 的整数部分，也就是 12 故答案为： 12 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在 ，角 A、 B、 C 分别是边 a、 b、 c 的对角，且 3a=2b， （ ）若 B=60，求 值； （ ）若 ，求 值 【考点】 正弦定理 【分析】 （ ）利用正弦定理化简已知可得 3已知可求 用大边对大角可得 A 为锐角，可求 用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求 （ ）设 a=2t， b=3t，由已知可求 ，利用余弦定理即可得解 值 第 15 页（共 22 页） 【解答】 （本题满分为 14 分） 解：（ ）在 ， 3a=2b， 3 B=60，代入得 3解得 a： b=2： 3， A B，即 （ ）设 a=2t， b=3t，则 ， 则 18如图，在四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 ， ，E、 F 分别是线段 中点 （ ）证明： （ ）若 平面 成的角为 45，求二面角 A F 的余弦值； 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ I）连接 勾股定理可得 平面 线面垂直性质定理可得 由线面垂直的判定定理得到 平面 由线面垂直的性质定理得到 （ ）由 平面 得 平面 成 的角，即 5，取中点 M，则 平面 平面 ，过 M 作 N，连接 平面 为二面角 A F 的平面角，解三角形 得答案 【解答】 （ ）证明：连接 ， 又 ， 平面 F=A， 第 16 页（共 22 页） （ ） 平面 平面 成的角，且 5 B=1 取 中点 M， 则 平面 平面 ，过 M 作 N，连接 平面 为二面角 A F 的平面角 ， ，且 0 ， ， 19某工厂新研发的一种产品的成本价是 4 元 /件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下 6 组数据： 单价 x（元） 8 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 （ ）若 90 x+y 100，就说产品 “定价合理 ”，现从这 6 组数据中任意抽取 2 组数据， 2 组数据中 “定价合理 ”的个数记为 X，求 X 的数学期望； （ ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 L=销售收入成本） 附：线性回归方程 中系数计算公式： ，其中 、 表示样本均值 【考点】 线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差 第 17 页（共 22 页） 【分析】 （ ）根据题意，得出 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出 X 的分布列与数学期望 （ ）计算 、 ，求出 、 ，写出 y 关于 x 的线性回归方程，得出利润函数 L（ x）的解析式，利用二次函数的性质求出 L（ x）的最大值与对应 x 的值 【解答】 解：（ ） X 的可能取值为 0， 1， 2；满足 90 x+y 100 的有 3 组， 所以 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ； X 的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为 +1 +2 =1； （ ）因为 = =80， =（ ）（ ） = 14； 所以 = = 20， = =250； y 关于 x 的线性回归方程是 = 20x+250， 利润函数 L（ x） =x（ 20x+250） 4（ 20x+250） = 2030x 1000； 当 x= =， L（ x）取得最大值 故当单价定为 时，工厂可获得最大利润 20已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆 M 的离心率为 ，椭圆上异于长轴顶点的任意点 A 与左右两焦点 成的三角形中面积的最大值为 （ ）求椭圆 M 的标准方程； （ ）若 A 与 C 是椭圆 M 上关于 x 轴对称的两点，连接 椭圆的另一交点为 B，求证：直线 x 轴交于定点 P，并求 的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）利用椭圆的离心率，三角形的面积，椭圆几何量的关系，求出 a， b， c 得到椭圆的方程 第 18 页（共 22 页） （ ）设 A（ B（ C（ 推出 y=kx+m代入 利用韦达定理，以及 B， C， 线，得到 ，推出 m= 4k说明 x 轴交于定点 P（ 4， 0），然后求解 的取值范围 【解答】 解：（ ）由题意知 ， ， a2=c2+得 c=1， a=2， 椭圆的标准方程是 （ ）设 A（ B（ C（ y=kx+m将 y=kx+m，代入得（ 4） 12=0 则 ， 因为 B， C， 线，所以 ，即 整理得 2 m k）（ x1+ 2m=0， 所以 ， m= 4k y=k（ x 4），与 x 轴交于定点 P（ 4， 0） 因为 ， 所以= 因为 2 2，所以 的取值范围是 21已知函数 f（ x） =2 x a） 2+3， g（ x） =f（ x） （ ）当 a 为何值时， x 轴是曲线 y=g（ x）的切 线？ （ ）当 a 1 时，证明： g（ x）在 0， +）有唯一零点； （ ）当 x 0 时， f（ x） 0，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可 （ ）当 a 1 时，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性的性质即可证明：g（ x）在 0， +）有唯一零点； 第 19 页（共 22 页） （ ）当 x 0 时， f（ x） 0 的等价条件 f（ x）在 0， +）最小值大于或等于，求函数的导数，利用函数最值和导数之间的关系即可 求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） g（ x） =2（ x+a），设曲线 y=g（ x）与 x 轴相切于点（ 0），则 g（ =0， g（ =0即 ， 解得 ， a= 1， 因此当 a= 1 时， x 轴是曲线 y=g（ x）的切线 （ ）由（ ）知，当 a= 1 时，曲线 y=g（ x）与 x 轴相切于点（ 0， 0） 当 x 0 时， g（ x） =2（ 1） 0， g（ x）在 0， +）单调递增当 a 1 时， g（ 0）=2（ 1+a） 0 所以曲线 y=g（ x） 在 y 轴两侧与 x 轴各有一个交点因此 g（ x）在 0， +）有唯一零点 （ ）当 x 0 时， f（ x） 0，等价于 f（ x）在 0， +）最小值大于或等于 0 首先， f（ 0） 0，即 2 0，解得 当 时，由（ ）知 f（ x） f（ 0） 0所以 f（ x）在 0， +）内单调递增，f（ x） f（ 0） 0； 当 时， f（ x）在 0， +）有唯 一零点，设零点是 t，则 et=t a 当 x （ 0， t）时， f（ x） 0；当 x （ t， +）时， f（ x） 0 所以 f（ x）在（ 0， t）上单调递减，在（ t， +）上单调递增 所以 f（ x）在 0， +）最小值是 f（ t） =2 t a） 2+3=（ ）（ 3） 由 f（ t） 0，得 0 t 由于 a=t h（ x） =x x （ 0， +）时， h（