山东省临沂市临沭县2016届高三上期末数学试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1已知全集为 R，集合 A=x|（ ） x 1， B=x|x 2， A（ =（ ） A 0， 2） B 0， 2 C（ 1， 2） D（ 1， 2 2复数 z= 的共轭复数是（ ） A 2+i B 2 i C 1+2i D 1 2i 3下列说法中正确的是（ ） A命题 “若 x y，则 x y”的逆命题是 “若 x y，则 x y” B若命题 P： x R， 0，则 P： x R， 0 C设 l 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 l ， l ，则 D设 x， y R，则 “（ x y） 0”是 “x y”的必要而不充分条件 4设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 5已知 ，则向量 的夹角为（ ） A B C D 6已知： x 0， y 0，且 ，若 x+2y m 恒成立，则 实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， 2 4， +） B（ ， 4 2， +） C（ 2， 4） D（4， 2） 7运行如图所示程序框，若输入 n=2015，则输出的 a=（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 8函数 f（ x） =3）的部分图象可能是（ ） A B CD 9一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10对任意 ，不等式 f（ x） f（ x）恒成立，则下列不等式错误的是（ ） A B CD 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知圆 C 过点（ 1， 0），且圆心在 x 轴的负半轴上 ，直线 l： y=x+1 被该圆所截得的弦长为 2 ，则圆 C 的标准方程为 _ 12在区间 ， 上随机取一个数 x，则 1， 的概率是 _ 13在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b2=角A 为 _ 14定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足： 对任意 x，都有 f（ x+3） =f（ x）成立； 当时， f（ x） = |，则方程 f（ x） = 在区间 4， 4上根的个数是 _ 第 3 页（共 19 页） 15 双曲线 C： （ a 0， b 0）的焦点， A、 B 分别为双曲线的左、右顶点，以 直径的圆与双曲线的 渐近线在第一象限的交点为 M，且满足 0，则该双曲线的离心率为 _ 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 75 分 16某公司有男职员 45 名，女职员 15 名，按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻关小组 （ 1）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数； （ 2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名 女职员的概率； （ 3）实验结束后，第一次做实验的职员得到的实验数据为 68， 70， 71， 72， 74，第二次做实验的职员得到的实验数据为 69， 70， 70， 72， 74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由 17函数 f（ x） =x+）（其中 ）的图象如图所示，把函数 f（ x）的图象向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象 （ ）求函数 y=g（ x）的表达式； （ ）已知 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c=3， g（ C） =0若向量与 共线，求 a， b 的值 18如图， 边长为 4 的等边三角形， 等腰直角三角形， 面平面 平面 （ 1）证明： 平面 （ 2）证明： 19已知数列 首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为 第 4 页（共 19 页） （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，求数列 前 2n 项和 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率 e= ，直线 y=x+1 经过椭圆 C 的左焦点 （ I）求椭圆 C 的方程； （ ）若过点 M（ 2， 0）的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，设 P 为椭圆上一点，且满足 +=t （其中 O 为坐标原点），求实数 t 的取值范围 21设函数 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x）在 存在零点，求 k 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2015年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1已知全集为 R，集合 A=x|（ ） x 1， B=x|x 2， A（ =（ ） A 0， 2） B 0， 2 C（ 1， 2） D（ 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 的补集，即可确定出所求的集合 【解答】 解：由集合 A 中（ ） x 1，得到 x 0，即 A=0， +）， B=x|x 2， （ =x|x 2=（ ， 2）， 则 A（ =0， 2）， 故选： A 2复数 z= 的共轭复数是（ ） A 2+i B 2 i C 1+2i D 1 2i 【考点】 复数代数形式的 乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则复数 z= 的共轭复数可求 【解答】 解： z= = ， 则复数 z= 的共轭复数是： 1+2i 故选： C 3下列说法中正确的是（ ） A命题 “若 x y，则 x y”的逆命题是 “若 x y，则 x y” B若命题 P： x R， 0，则 P： x R， 0 C设 l 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 l ， l ，则 D设 x， y R，则 “（ x y） 0”是 “x y”的必要而不充分条件 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 运用命题：若 p 则 q 的逆命题：若 q 则 p，即可判断 A； 由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断 B； 运用面面平行的判定定理：同垂直于一条直线的两个平面平行，即可判断 C； 运用充分必要条件的判断，即可判断 D 第 6 页（共 19 页） 【解答】 解：对于 A命题 “若 x y，则 x y”的逆命题是 “若 x y，则 x y”，则 对于 B若命题 P： x R， 0，则 P： x R， 0，则 B 错误； 对于 C设 l 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 l ， l ，由线面垂直的性质定理， 垂直于同一直线的两平面平行，则有 ，则 C 正确； 对于 D设 x， y R， “（ x y） 0”可推出 “x y”，但反之，不成立，比如 x=0， 则为充分不必要条件，则 D 错误 故选： C 4设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最 小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 B（ 1， 1）时，直线 y=的截距最小，此时 z 最小 此时 z 的最小值为 z=1+2 1=3， 故选： B 5已知 ，则向量 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 ，代入夹角公式计算 【解答】 解： （ ） = = 4， = 4= 3 = = = 第 7 页（共 19 页） = 故选： A 6已知： x 0， y 0，且 ，若 x+2y m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， 2 4， +） B（ ， 4 2， +） C（ 2， 4） D（4， 2） 【考点】 基本不等式；函数恒成立问题 【分析】 x+2y m 恒成立，即 m x+2y 恒成立，只需求得 x+2y 的最小值即可 【解答】 解： x 0， y 0，且 ， x+2y=（ x+2y）（ ） =2+ + +2 8（当且仅当 x=4， y=2 时取到等号） （ x+2y） x+2y m 恒成立，即 m （ x+2y） ， 解得： 4 m 2 故选 D 7运行如图所示程序框，若输入 n=2015，则输出的 a=（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图是计算 a= + 的值， i=4029 时，计算 a 的值，输出 a，程序结束 【解答】 解：执行程序框图，有 n=2015 a=0， i=1， a= ， 第 8 页（共 19 页） 不满足条件 i 2n 1， i=3， a= ， 不满足条件 i 2n 1， i=5， a= + ， 不满足条件 i 2n 1， i=4029， a= + + ， 满足条件 i 2n 1，退出循环，输出 a 的值为 + + a= + + = （ ） = 故选： D 8函数 f（ x） =3）的部分图象可能是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 由函数解析式判断函数的性质 ，从而利用排除法求解即可 【解答】 解：易知函数 f（ x） =）是偶函数， 故排除 B、 D； ） 0， 正有负； 故排除 C； 故选： A 9一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 9 页（共 19 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此 四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可 【解答】 解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为 2 的正方形，故其底面积为 =2 由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形 由于此侧棱长为 ，对角线长为 2，故棱锥的高为 =3 此棱锥的体积为 =2 故选 B 10对任意 ，不等式 f（ x） f（ x）恒成立，则下列不等式错误的是（ ） A B CD 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 构造函数 g（ x） =f（ x） 函数的导数，利用导数研究函数的单调性，然后利用单调性进行判断即可 【解答】 解：构造函数 g（ x） =f（ x） 则 g（ x） =f（ x） f（ x）， f（ x） f（ x）， g（ x） =f（ x） f（ x） 0， 即 g（ x）在 上为增函数， 则 g（ ） g（ ）， 即 f（ ） f（ ） 即 f（ ） f（ ）， 即 f（ ） f（ ）， 又 g（ 1） g（ ）， 即 f（ 1） f（ ） 第 10 页（共 19 页） 即 ， 故错误的是 D 故选： D 二、填空题：本大题共 5 小 题，每小题 5 分，共 25 分 11已知圆 C 过点（ 1， 0），且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l： y=x+1 被该圆所截得的弦长为 2 ，则圆 C 的标准方程为 （ x+3） 2+ 【考点】 圆的标准方程 【分析】 根据题意设圆心 C 坐标为（ x， 0），根据圆 C 过（ 1， 0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到圆 心坐标及半径，写出圆 C 的标准方程即可 【解答】 解：设圆心 C（ x， 0），则圆的半径 r=|x+1| 圆心 C 到直线 l 的距离 | ，弦长 |2 ， 则 r= =|x+1|， 整理得： x=1（不合题意，舍去）或 x= 3， 圆心 C（ 3， 0），半径为 2， 则圆 C 方程为（ x+3） 2+ 故答案为：（ x+3） 2+ 12在区间 ， 上随机取一个数 x，则 1， 的概率是 【考点】 几何概型 【分析】 本题是几何概型的考查，只要求出区间 ， 的长度以及满足 1， 的对于区间长度，利用几何概型公式解答 【解答】 解：由题意，本题符合几何概型，区间 ， 的长度为 ， 第 11 页（共 19 页） 满足 1， 的区间为 x+ 即 x 0， ，区间长度为 ， 由几何概型公式得到所求概率为： ； 故答案为： 13在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b2=角A 为 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可 【解答】 解：由 正弦定理可知： c=2b，代入 b2= 可得 所以 = ， 0 A ， A= 故答案为： 14定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足： 对任意 x，都有 f（ x+3） =f（ x）成立； 当时， f（ x） = |，则方程 f（ x） = 在区间 4， 4上根的个数是 5 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由题意作函数 f（ x）与 y= 的图 象，从而化方程的解的个数为图象的交点的个数 【解答】 5 解：由题意作函数 f（ x）与 y= 的图象如下， 第 12 页（共 19 页） ，函数 f（ x）与 y= 的图象在 4， 4上有 5 个交点， 故 f（ x） = 在 4， 4上根的个数是 5， 故答案为： 5 15 双曲线 C： （ a 0， b 0）的焦点， A、 B 分别为双曲线的左、右顶点，以 直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，且满足 0，则该双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点 M 的坐标，结合 0求出 a， b 之间的关系，进而求出离心率即可 【解答】 解：由题得以 直径的圆的圆心是（ 0， 0），半径为： c； 故圆的标准方程为： x2+y2= 又双 曲线的其中一条渐近线方程为： y= x 联立 可得： ，即 M（ a， b） 故 直于 所以 = = 即 = = = = 故双曲线的离心率为 第 13 页（共 19 页） 故答案为： 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 75 分 说明证明过程或演算步骤） 16某公司有男职员 45 名，女职员 15 名，按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻关小组 （ 1）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数； （ 2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率； （ 3）实验结束后，第一次做实验的职员得到的实验数据为 68， 70， 71， 72， 74，第二次做实验的职员得到的实验数据为 69， 70， 70， 72， 74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）直接利用条件求出某职员被抽到的概率，然后求解科研攻关小组中男、女职员的人数； （ 2）列出基本事件的所有情况，求出选出的两名职员中恰有一名女职员的数目，即可求解概率； （ 3）实验结束后，第一次做实验的职员得到的实验数据为 68， 70， 71， 72， 74，第二次做实验的职员得到的实验数据为 69， 70， 70， 72， 74，求出两组数据的 均值与方差，即可判断 【解答】 解：（ 1） 即：某职员被抽到的概率为 设有 x 名男职员，则 x=3 即：男、女职员的人数分别是 3， 1 （ 2）把 3 名男职员和 1 名女职员记为 b， 则选取两名职员的基本事件有（ （ （ b），（ （ （ b），（ （ （ b），（ b， （ b， （ b， 共 12 种，其中有一名女职员的有 6 种， 第 14 页（共 19 页） 所以，选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为 （ 3） ，即第二次做实验的职员做的实验更稳定 17函数 f（ x） =x+）（其中 ）的图象如图所示，把函数 f（ x）的图象向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象 （ ）求函数 y=g（ x）的表达式； （ ）已知 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c=3， g（ C） =0若向量与 共线，求 a， b 的值 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 （ ）由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数f（ x）的解析式；再根据 y=x+）的图象变换规律，求得 g（ x）的解析式 （ ）已知 ，由 c=3， g（ C） =0 求得 C 的值，再由向量 与共线利用正弦定理求得 b=2a，再利用余弦定理求得 a、 b 的值 【解答】 解：（ ）由函数的图象可得 A=1， = = ，求得 =2 再根据五点法作图，可得 2 +=，求得 = ， f（ x） =2x+ ） 把函数 f（ x）的图象向右平移 个单位，再向下平移 1 个单 位， 得到函数 y=g（ x） =（ x ） + 1=2x ） 1 的图象，即 g（ x） =2x ） 1 （ ）已知 ， c=3， g（ C） =2C ） 1=0， 2C ） =1 第 15 页（共 19 页） 由 0 C ，可得 2C ， 2C = ， C= 向量 与 共线， = = ， b=2a 再由余弦定理可得 =2a2a求得 a= ， b=2 18如图， 边长为 4 的等边三角形， 等腰直角三角形， 面平面 平面 （ 1）证明： 平面 （ 2）证明： 【考点】 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）取 中点 F，连接 已知可证 C，可得四边形 平行四边形，可得 面 而可证 平面 （ 2）以 x， y， z 轴的正方向建立直角坐标系，求出向量 ， 的坐标，由 =0，即可证明 【解答】 证明：（ 1）取 中点 F，连接 边长为 4 的等边三角形， 等腰直角三角形， 面 平面 又 平面 有： C，故四边形 平行四边形， 面 得 平面 （ 2）以 x， y， z 轴的正方向建立直角坐标系， 则有： A（ 2， 0， 0）， D（ 0， 0， 2）， B（ 2， 0， 0）， E（ 0， 2 ， 2） =（ 2， 0， 2）， =（ 2， 2 ， 2） 由于 =0， 故 第 16 页（共 19 页） 19已知数列 首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，求数列 前 2n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ I）利用等差数列的通项公式即可得出； （ 题意知， ，再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ I）设数列 公差为 d， 令 n=1，得 ，所以 令 n=2，得 ，所以 5 解得 ， d=2，所以 n 1 （ 题意知， ， 所以 =（ 12 1） +（ 23 1） +（ 34 1） +（ 45 1） + 2（ n 1） 2n 1+2n（ 2n+2） 1 =4+8+4n= 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率 e= ，直线 y=x+1 经过椭圆 C 的左焦点 （ I）求椭圆 C 的方程； 第 17 页（共 19 页） （ ）若过点 M（ 2， 0）的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，设 P 为椭圆上一点，且满足 +=t （其中 O 为坐标原 点），求实数 t 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）直线 y=x+1 与 x 轴交点为（ 1， 0），即椭圆的左焦点，可得 c=1又 = ，b2=可得出 （ ）由题意知直线 斜率存在设直线 方程： y=k（ k 2），与椭圆方程联立可得：（ 1+282=0利用 0，解得 设 A（ B（ P（ x， y）利用根与系数的关系及 + =t ，可得 P 坐标，代入椭圆方程即可得出 【解答】 解：（ I）直线 y=x+1 与 x 轴交点为（ 1， 0），即椭圆的左焦点， c=1 又 = ， a= ， b2= 故椭圆 C 的方程为 =1