集合之间的关系

上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务1.2 集合之间的关系观察下面几个例子:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;设C=x|x是两条边相等的三角形,D=x|x是等腰三角形;E=2,4,6,F=6,4,2.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子中集合A是集合B的子集,例子中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子,类比实数中的结论:“若ab,且ba,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子中集合A和集合B.(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若ab,且bc,则ac”相类比,在集合中,你能得出什么结论? (1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果AB,但存在xB,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).(3)实数中的“”类比集合中的.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当AB时,AB或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为,并规定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A).(9)类比子集.结果：(1)集合A中的元素都在集合B中;集合A中的元素都在集合B中;集合C中的元素都在集合D中;集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子中AB,但有一个元素4B,且4A;而例子中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若AB,且BA,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若AB,BC,则AC;若AB,BC,则AC.【当堂训练】1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？AB,BA,AC,CA.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.2.写出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集.3.已知集合P=1,2,那么满足QP的集合Q的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.14.集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？5.已知集合A=-1,3,2m-1,集合B=3,m2.若BA,则实数m=_.6.已知集合M=x|2-x0,集合N=x|ax=1,若NM,求实数a的取值范围.7.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:,a,a,b,a,b,c.(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？8.已知集合A2,3,7,且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个9.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )10.集合A=x|-1x3,xZ,写出A的真子集.11.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.1是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )10,1,2 1,-3=-3,1 0,1,21,0,2 0,1,2 0A.5 B.2 C.3 D.4(3)M=x|3x4,a=,则下列关系正确的是 ( )A.aM B.aM C.aM D.aM12.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A=x|x=2k-1,kZ,B=x|x=2m+1,mZ;(2)A=x|x=2m,mZ,B=x|x=4n,nZ.13.已知集合P=x|x2+x-6=0,Q=x|ax+1=0满足QP,求a所取的一切值.14.已知集合A=xR|x2-3x+4=0,B=xR|(x+1)(x2+3x-4)=0,要使APB,求满足条件的集合P.15.设A=0,1,B=x|xA,则A与B应具有何种关系？16.集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,(1)若BA,求实数m的取值范围;(2)当xZ时,求A的非空真子集个数;(3)当xR时,没有元素x使xA与xB同时成立,求实数m的取值范围.17.已知AB,且AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,则满足上述条件的集合A共有多少个？【家庭作业】一、选择题1，下列八个关系式0= =0 0 0 0 其中正确的个数 （ ）A、4 B、5 C、6 D、72、集合1，2，3的真子集共有 （ ）A、5个 B、6个 C、7个 D、8个3、设一元二次方程ax2+bx+c=0(a2,则N=或N.当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;当N时,关于x的方程ax=1中有解,则a0,此时x=,又NM,M.2.0a.综上所得,实数a的取值范围是a=0或0a,即实数a的取值范围是a|0a7. 答案：(1)的子集有:,即有1个子集;a的子集有:、a,即a有2个子集;a,b的子集有:、a、b、a,b,即a,b有4个子集;a,b,c的子集有:、a、b、c、a,b、a,c、b,c、a,b,c,即a,b,c有8个子集.(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;当n=1时,集合M有2=21个子集;当n=2时,集合M有4=22个子集;当n=3时,集合M有8=23个子集;因此含有n个元素的集合M有2n个子集.8. A=或2或3或7或2,3或2,7共有6个.答案：D9. 解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当xB时必有xA,则xA时也必有xB.10. 解：因-1x3,xZ,故x=0,1,2,即a=x|-1x2m-1即m2m-1,得m4.综上有m4.点评：此问题解决要注意：不应忽略;找A中的元素;分类讨论思想的运用.17. 活动：学生思考AB,且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.思路1:写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;思路2:分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数.解法一：因AB,AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此,满足AB,有:,0,1,2,3,4,0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3,4,0,1,2,3,4,共25=32(个).又满足AC的集合A有:,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4,0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8,共24=16(个).其中同时满足AB,AC的有8个:,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4,实际上到此就可看出,上述解法太繁.解法二：题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个).点评：有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.【家庭作