二项式定理知识点总结

二项式定理一、二项式定理：（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1） 二项展开式有项（2） 字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到（3） 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（）（4） 要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1） 字母的次数和组合数的上标相同（2） 与的次数之和为（3） 在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例1等于 （ ）A B。 C。 D.例2（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即二项展开式的各系数的和等于，令，即；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1） 二项式系数最大的项；（2） 项的系数绝对值最大的项；（3） 项的系数最大的项和系数最小的项；（4） 二项式系数的和；（5） 各项系数的和4、 多项式的展开式及展开式中的特定项（1） 求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式的展开式（2） 求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求的展开式中的系数例题：（1）如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 （2）求的展开式的常数项。【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：已知，求：（1）； （2）； （3）.六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：（1）进行近似计算（2）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式。如证明：取的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法当n不是很大，|比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。例题：的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）A1.23 B1.24 C1.33 D1.34（2） 整除性问题或求余数的处理方法解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的通常为1，若为其他数，则需对幂的底数再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了要注意余数的范围，对给定的整数，有确定的一对整数和，满足，其中为除数，为余数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题：求除以7所得的余数例题： 若为奇数，则被9除得的余数是 （ ）A0 B。2 C。7 D.8例题：当且1，求证【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在的展开式中，的系数为（ ） A B C D2 已知， 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于（ ）A4 B9 C10 D113已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为112，则n是（ ） A10 B11 C12 D1345310被8除的余数是（ ）A1B2C3D75 (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）A1.23 B1.24 C1.33 D1.346二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ） A1 B2 C3 D47设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是（ ）A B1 C2 D38在的展开式中的系数为（ ）A4 B5 C6 D7 9展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（ ） A330 B462 C680 D79010的展开式中，的系数为（ ） A40 B10 C40 D4511二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在0，2内的值为（ ）A或 B或C或 D或12在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n5的（ ）A第2项 B第11项 C第20项 D第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.13展开式中的系数是 .14若，则的值为_.15若 的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 16对于二项式(1-x)，有下列四个命题：展开式中T= Cx；展开式中非常数项的系数和是1；展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是1其中正确命题的序号是_（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分.17（12分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列（） 求n的值；（）此展开式中是否有常数项，为什么？18（12分）已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数 19（12分）是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由20（12分）某地现有耕地亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？21. （12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这