等差数列课件.ppt

等差数列复习课,高三（1）李赟,基础梳理,1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示.2.等差数列的通项公式一般地，对于等差数列an的第n项an,有an=a1+(n-1)d.这就是等差数列an的通项公式，其中a1为首项，d为公差.,3.等差中项如果三个数a,A,b组成的数列是等差数列，那么,把叫做a和b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(nm)d(n,mN*).(2)若an为等差数列，且p+q=m+n(p,q,m,nN*),则ap+aq=am+an.,典例分析,题型一等差数列的基本运算,5.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和.,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的二次函数且常数项为0，即Sn=an2+bn.7.在等差数列an中，若a10,d0，则Sn存在最大值;若a10,d0，则Sn存在最小值.,等差数列的和的基本运算,题型二等差数列的判定,an-an-1=d(nN*且n2,d为常数)或an+1-an=d(nN*);an+1+an-1=2an(nN*且n2);an=kn+b(k,b为常数);Sn=An2+Bn(A,B为常数).,学后反思,(1)数列an是等差数列,(2)判断或证明数列是等差数列的方法有：定义法：（，d是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列；通项公式法：（是常数）是等差数列；前项和公式法：（是常数，）是等差数列.,题型三等差数列性质的应用例4(1)一个等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则公差d=_.,3,题型三等差数列性质的应用【例4】(2)等差数列an的前10项和为30,前20项和为100,求它的前30项的和.,方法一：S10=a1+a2+a10,S20-S10=a11+a12+a20,S30-S20=a21+a22+a30.(S20-S10)-S10=100d=(S30-S20)-(S20-S10).所以S10,S20-S10,S30-S20成等差数列.从而有2(S20-S10)=S10+(S30-S20),S30=3(S20-S10)=210.,题型三等差数列性质的应用【例4】(2)等差数列an的前10项和为30,前20项和为100,求它的前30项的和.,题型三等差数列性质的应用【例4】(2)等差数列an的前10项和为30,前20项和为100,求它的前30项的和.,方法二：将S10=30,S20=100代入得,解方程组得,方法三：由等差数列an的前n项和公式知Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A,B是常数)，将S10=30,S20=100代入上式，得代入S30=A(30)2+B30=210.,题型三等差数列性质的应用【例4】(2)等差数列an的前10项和为30,前20项和为100,求它的前30项的和.,学后反思运用通项公式an=a1+(n-1)d和前n项和公式结合方程思想是解决此类问题的通用方法.,题型四数列中的最值问题例5：在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.,解法一：,即当n12时，an0;n=13时Sn=0；当n14时，an0当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为,方法二：同方法一求得nN*,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130,方法三:同方法一求得又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0.5a13=0,即a13=0.当n=12或13时，Sn有最大值，最大值为S12=S13=130,学后反思求等差数列前n项和的最值常用的方法：,（1）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（2）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,易错警示,【例】等差数列an中，a1=-5,从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为.错解由错解分析此解法忽略了条件a90.学生由于未能理解“从第10项开始为正数”的含义，主观认为a100,导致答案不够完整，因此学生在审题过程中一定要深刻把握题设条件的隐藏含义，避免出现类似的错误.正解由题意知a10=-5+9d0且a9=-5+8d0,举一反三（2009全国）已知等差数列中，求an的前n项和.,解析:设的公差为d,则即解得或所以,当时，当，,举一反三,2.设等差数列的前n项和为Sn,已知,(1)求公差d的取值范围；(2)指出中哪一个值最大，并说明理由.,解析：(1)依题意，得即，,由,得.将式分别代入、式，得因此(2)由d0,可知因此，若在1n12中存在自然数n，使得,则就是中的最大值.由于,即,因此,故在中的